integral aus spaß

15.03.2008, 17:56

psd

integral aus spaß

Hallo!
Gestern hat uns unser Mathelehrer aus Spaß ein Integral gegeben.
Wir könnten es nicht lösen, aber vielleicht schafft es einer von euch!

Danke im Voraus!
mfg psd
$\begin{eqnarray*} \int~e^{-kx}\cdot\frac{1}{\sqrt{7-\pi\cdot x}\cdot\ln{\frac{k}{1-x}} } ~dx \end{eqnarray*}$

Freude

15.03.2008, 18:33

mathe760

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Ich würde einfach mal Partiell Integrieren indem du e^(-kx) integrierst und denn anderen faktor ableitest, dass ist zwar zeitaufwendig führt aber zum Ziel smile

Viel Erfolg und Spaß

Bis denn mathe760 Wink

17.03.2008, 18:46

psd

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die idee hatte ich auch schon, aber es bringt einen nicht wirklich weiter, weil dadurch ja wieder ein integral entsteht, was nur die ableitung von den ganzem bruch enthält.

aber zum anstoß hab ich es mal probiert(1. ist es richtig?)..vllt hat ja wer noch ne idee..vllt eine substitution?

ich hab erstmal die teilfunktionen einzeln abgeleitet/aufgeleitet:
$\begin{eqnarray*} ( \frac{k}{1-x} )'= \frac{0\cdot(1-x)-k\cdot(0-1)}{(1-x)^2}=\frac{+k}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (ln{\frac{k}{1-x}})'= \frac{1}{\frac{k}{(1-x)}}\cdot \frac{k}{(1-x)^2} = \frac{\frac{k}{(1-x)^2}}{\frac{k}{(1-x)}}=\frac{1}{(1-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{7-\pi\cdot x} )'=\frac{1}{2\cdot \sqrt{7-\pi\cdot x}} \cdot -\pi=\frac{-\pi}{2\cdot \sqrt{7-\pi\cdot x}} \end{eqnarray*}$

hab mal den bruch mit z "abgekürzt"
$\begin{eqnarray*} (z=\frac{1}{\sqrt{7-\pi\cdot x}\cdot\ln{\frac{k}{1-x}}})'=\frac{-(\frac{-\pi}{2\cdot \sqrt{7-\pi\cdot x}} \cdot ln{\frac{k}{1-x}+\sqrt{7-\pi\cdot x} \cdot \frac{1}{(1-x)})}}{(\sqrt{7-\pi\cdot x}\cdot\ln{\frac{k}{1-x})^2}}=\frac{\frac{\pi}{2\cdot \sqrt{7-\pi\cdot x}} \cdot ln{\frac{k}{1-x}-\sqrt{7-\pi\cdot x} \cdot \frac{1}{(1-x)})}}{{(7-\pi\cdot x)}\cdot(\ln{\frac{k}{1-x})^2}}=z' \end{eqnarray*}$
das kann man bestimmt noch zusammenfachen und vereinfachen geschockt

$\begin{eqnarray*} \int~e^{-kx}~dx=-\frac{1}{k} \cdot e^{-kx}+C \end{eqnarray*}$

also hätten wir für die partielle integration mit:
$\begin{eqnarray*} u'=e^{-kx} \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} v=z \end{eqnarray*}$

und nun gehts ab LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} \int~e^{-kx}\cdot\frac{1}{\sqrt{7-\pi\cdot x}\cdot\ln{\frac{k}{1-x}} } ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{k} \cdot e^{-kx} \cdot z - \int {-\frac{1}{k} \cdot e^{-kx}\cdot z'}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{k} \cdot e^{-kx} \cdot z + \frac{1}{k}\int {e^{-kx}\cdot z'}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{k} \cdot e^{-kx} \cdot \frac{1}{\sqrt{7-\pi\cdot x}\cdot\ln{\frac{k}{1-x}}} + \frac{1}{k}\int {e^{-kx}\cdot \frac{\frac{\pi}{2\cdot \sqrt{7-\pi\cdot x}} \cdot ln{\frac{k}{1-x}-\sqrt{7-\pi\cdot x} \cdot \frac{1}{(1-x)})}}{{(7-\pi\cdot x)}\cdot(\ln{\frac{k}{1-x})^2}}}~dx \end{eqnarray*}$

naja..meiner ansicht nach, bringt einen das nicht wirklich weiter traurig

P.S.: Wie kann ich im Latex-Code Zeilenumbrüche einfügen? Hilfe

17.03.2008, 20:03

bishop

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zeilenumbrüche machst du mit \\
Das ist glaube ich auch das einzige, was ich sinnvoll dazu beitragen kann verwirrt

Du weisst, dass bei einer willkürlich gewählten Funktion die Chancen sehr gut stehen, dass man keine Stammfunktion in geschlossener Form findet?
Hast du sowas wie Maple oder Mathematica, oder ein anderes CAS? Lass das mal da durchlaufen um zu schaun obs überhaupt eine Stammfunktion gibt

17.03.2008, 20:44

psd

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danke für den hinweis mit \\ Freude

was meinst du mit

Zitat:

Stammfunktion in geschlossener Form

???

nee..leider nicht..könnte nur mal nen freund fragen, der MuPAD hat, ob er das mal durchlaufen lassen könnte.

18.03.2008, 12:27

bishop

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ich weiss nich ob du das wusstest, aber mit den Ableitungsregeln, die man so in der Schule lernt (Kettenregel, Quotientenregel, Potenzregel, etc) kann man praktisch jede Funktion ableiten, die einem unterkommt. (Ich sage hier praktisch jede, weil mir sonst jemand mit irgendeinem Gebilde kommt, dass man eben doch nicht so ableiten kann, aber das sind ganz exotische Sachen^^)

Eine Stammfunktion in geschlossener Form bedeutet eben, dass du eine Funktion hast, die als Verkettung von Funktionen, die man elementar nennt, also z.B e^x, x^n, sin, cos, etc besteht (Die Aussage ist nicht ganz korrekt, man würde Funktionen, in denen unendliche Reihen stehen auch geschlossene Lösungen nennen)

Im großen und Ganzen ist eine geschlossene Lösung nichts weiter als wenn du eine Funktion hast, aus der das Integralzeichen komplett verschwunden ist. Und das Interessante ist eben, dass man nicht jede beliebige Funktion geschlossen integrieren kann! z.B ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x²} \end{eqnarray*}$ an sich harmlos, aber du wirst keine elementare Stammfunktion dazu finden.
Ein Beispiel für eine Mischform ist z.B der erste Schritt bei der partiellen Integration, wenn du für den zweiten Term unter dem Integral keine Stammfunktion findest.

Summa summarum gilt also, dass eine willkürlich ausgewählte Funktion mit steigender komplexität (viele verschiedene Funktionen, Brüche..) immer unwahrscheinlicher integrierbar ist wenn du eine Stammfunktion findest. Ich glaube der Ausdruck geschlossene Stammfunktion kommt daher, dass die Mathematiker diese betrübliche Tatsache relativ früh erkannt haben, und sich heutzutage auch einfach mit $\begin{eqnarray*} F(x)=\int f(x)~dx \end{eqnarray*}$ zufriedengeben. Man sagt quasi "ja, die Funktion ist integrierbar (dafür gibt es kriterien, die nichts mit einer Stammfunktion zu tun haben), und die Stammfunktion F ist die obige, wir können sie nur leider nicht vereinfachen"

Das ist jetzt etwas länger geworden, sry dafür, vllt hast du jetzt verstanden wie problematisch das Lösen von Integralen "aus Spaß" ist, im gegensatz zum aleiten Augenzwinkern

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