Extremwertaufgabe mit Lampe& Tisch

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X-Marti-X Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit Lampe& Tisch
Hallo bin auf einem Wirtschaftsgymnasium in der 12. Klasse und muss eine GFS über folgende Aufgabe halten(s.u.).
Irgendiwe komm ich mit der Aufgabe nicht ganz klar. Kann mir da vllt jem weiterhelfen. Habe schon viele ähnliche Aufgabestellungen auf UNi Seiten gesehn aber leider ohne Lösung. Vllt könnt mir jem. beim Ansatz helfen?!
Muss ich den Ansatz vllt mit de Satz des Pythagoras machen?!
Wink

Folgende Aufgabe:
Über der Mitte eines kreisförmigen Tisches vom Radius r befindet sich eine Lampe, die in den Vertikalen verschirebbar ist. In welcher Höhe über dem Tisch muss sich die Lampe befinden, damit ein Punkt am Tischrand möglichst hell beleuchtet wird?
Anleitung: Für die Lichtstärke I im Punkt A gilt: I= k* (sinß)/l² wobei k einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet.

P.S.: Kann die Winkelbezeichnung von sin(siehe Bild) nicht eingeben und habe deshalb ß verwendet.

http://foto.arcor-online.net/palb/alben/36/5818436/400_3166666561653664.jpg

Würde mich um eine Antwort freuen.
Danke
Gruß Marty
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Soll in deiner Formel eigentlich sein?

Wenn ja, dann drücke jeweils Phi und l durch eine Abhängigkeit von h aus, mache eine Funktion I(h) draus und ermittle das Maximum.

air
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Funktion für die Lichtintensität. Diese wird (rein logisch) maximal, wenn die länge l minimal ist Augenzwinkern

Es gibt also zwei Nebenbedingungen, die dir helfen.

1. Satz des Pythagoras. (ersetze damit doch mal )
2. Was gilt denn für ?

Wenn du diese beiden Nebenbed einbaust, bekommst du eine Funktion, die du dann mit Quotientenregel bearbeiten kannst Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rare676
Du hast die Funktion für die Lichtintensität. Diese wird (rein logisch) maximal, wenn die länge l minimal ist Augenzwinkern

verwirrt Dieser Logik kann ich nicht folgen.
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Was stört dich denn daran?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Länge l ist dann minimal, wenn sie identisch mit dem Radius r ist, wenn also der Winkel phi = Null ist. Dann ist aber die Lichtintensität ebenfalls Null, also keinesfalls maximal.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ X-Marti-X

Du solltest dir zunächst überlegen, welche der Bezeichner für echte Variable stehen und welche für Parameter.





Du mußt nun versuchen, in der gegebenen Formel mit Hilfe von Nebenbedingungen (die hier durch die Geometrie des rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind - andere habe dir hier schon Tips gegeben) nur noch durch eine echte Variable auszudrücken. Dabei ist es teilweise Geschick, teilweise Geschmackssache, für welche der drei Variablen man sich entscheidet. Ich verrate dir zur Kontrolle die Ergebnisse. Wie man darauf kommt, mußt du selber herausfinden:

als verbleibende Variable:

als verbleibende Variable:

als verbleibende Variable:

Du hast nun die Wahl ... (Thema: Geschick)
Es schadet aber auch nicht, alle drei Ansätze durchzurechnen. Dabei lernst du viel.

Wie auch immer du dich entscheidest, der nächste Schritt ist es, den der Aufgabe angemessenen Definitionsbereich der Funktion festzulegen. Dieser Punkt wird bei solchen Aufgaben von den meisten Leuten sträflich vernachlässigt. Dabei ist eine Extremwertuntersuchung nur im Verbund mit einer Untersuchung des Randverhaltens einer stetigen Funktion vollständig und aussagekräftig.

Zum allgemeinen Vorgehen siehe hier. Da wird ein Beispiel in allen Facetten beleuchtet.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es für mich noch ein Randproblem. Ist nicht die Lichtmenge L(h), die im Punkt A ankommt, das Integral ?

Und ist dann nicht das maximale L(h) gesucht?

EDIT: war Unfug. Diesen Beitrag und den folgenden einfach überlesen. Sorry. traurig
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oh! Jetzt kommt auch noch Physik ins Spiel. Da würde ich mich an die Angaben der Aufgabe halten. Ich denke, steht für Intensität, oder? Und die wäre wohl zu maximieren.

Ist es im übrigen sinnvoll, einen Winkel zu betrachten? (Dimensionen!)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Da würde ich mich an die Angaben der Aufgabe halten. Ich denke, steht für Intensität, oder? Und die wäre wohl zu maximieren.

Davon steht aber nichts in der Aufgabe. Da steht, daß der "Punkt am Tischrand möglichst hell beleuchtet wird". Also muß man sich die einfallende Lichtmenge anschauen. smile

Zitat:
Original von Leopold
Ist es im übrigen sinnvoll, einen Winkel zu betrachten? (Dimensionen!)

Da hast du recht. Also nehmen wir:



Dabei ist noch zu beachten, daß die Länge l implizit vom Winkel alpha abhängt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

Mir ist nicht ganz klar, worauf du hinaus willst. Im vorliegenden Fall liegt (idealisiert) eine punktförmige Lichtquelle vor. Dein Integral steht eher für eine in der Mitte senkrecht aufgehängte Leuchtstoffröhre... verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ach natürlich. geschockt Keine Ahnung, was ich mir da gedacht habe. Hammer

Also ich nehme den ganzen Quatsch mit dem Integral zurück.
X-Marti-X Auf diesen Beitrag antworten »

Daaaanke für die vielen Antworten! Augenzwinkern
Versuche mit Rares und Leopolds Ratschläge einmal weiter zu kommen.
Die Integral Idee lass ich lieber mal weg;D

Lieben Gruß Marty
X-Marti-X Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auch an Leopold.
Lieder komm ich jetzt am Anfang schon nicht weiter verwirrt

Wenn ich mir nun diese Formel hernehme, muss ich also die Parameter durch echte variablen ersetzten, allerdings habe ich keine Idee wie ich k ersetzten soll?!


als verbleibende Variable:

r² kann ich ja durch (l² - h²) ersetzten (Pythagoras).
Außer h und l ist nun aber noch k übrig das mich stört.
Muss ich die gegebenen Anleitung nach k umstellen, sodass ich weiter komme oder wie?! Oder ist diese Anleitung in der Aufgabe ein Ersatz für die 3 Formeln aus der Physik und überflüssig, wenn ich mit diesen arbeite??

Lieben Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das k ist irgendeine Konstante und wird einfach nur mitgeschleppt. In diesem Fall hat es für die Lösung des mathematischen Teils keine Auswirkung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von X-Marti-X
Wenn ich mir nun diese Formel hernehme, muss ich also die Parameter durch echte variablen ersetzten, allerdings habe ich keine Idee wie ich k ersetzten soll?!


Ich habe mich mißverständlich ausgedrückt. Gemeint habe ich, daß von den drei echten Variablen zwei hinauszuwerfen sind. Die Parameter und stören überhaupt nicht, in welcher Form auch immer sie noch vorkommen. (Wie du meinen Formeln für ansiehst, kommen die Parameter ja auch noch vor.)
X-Marti-X Auf diesen Beitrag antworten »

Haaallo!
Ich habe die Aufgabe jetzt mit der Formel ausgerechnet, die in der Aufgabenstellung gegeben ist und bin zum Ergebnis für h gekommen:

h= 0,71 *r


Hat jemand das gleiche Ergebnis heraus bekommen oder ist es falsch???

Außerdem habe ich bei den Randwertuntersuchungen immer Probleme

Für h= 0 ist l=r känge l entspricht dann Länge r

ich denke diese Stimme, aber wie hoch soll der 2.Randwert für h sein?!
Hat da jemand eine Idee?!

Danke für eure Antworten> freut michAugenzwinkern !

mfg Marty
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von X-Marti-X
h= 0,71 *r

Schöner wäre natürlich . Augenzwinkern

Zitat:
Original von X-Marti-X
Für h= 0 ist l=r känge l entspricht dann Länge r

verwirrt Welchen Wert hat die Intensität bei h=0?

Zitat:
Original von X-Marti-X
aber wie hoch soll der 2.Randwert für h sein?!

Wie man leicht an der AUfgabenskizze sieht, kann h beliebig groß werden, es sei denn es ist durch andere Gegebenheiten wie Raumhöhe begrenzt. smile
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