ach du lieber Kreis...

17.03.2008, 22:59

Pieter

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ach du lieber Kreis...

moin moin,

Schule ist einfach schon zu lange her...
Mein Problem, ich habe 2 Punkte P1 und P2 und den Radius gegeben.

P1.X = 100
P1.Y = 100
P2.X = 178
P2.Y = 81
R = 47

Um den Kreismittelpunkt zu bestimmen wollte ich wie folgt rechnen:

A^2 + B^2 = R^2

C = dX - B
D = A - dY

(dX - B)^2 + (A - dY) = R^2

Die Kreisgleichung sollte so lauten:

A^2 - 2dYA + B^2 - 2dXB + dX^2 + dY^2 - R^2 = 0

In Excel habe ich mit einer Tabelle als Lösung A=33,25.. und B= 33,21.. ermittelt, haut auch hin.
Nur wie komme ich rein rechnerisch darauf?

Schon mal Danke.
Mit Gruß
Pieter

17.03.2008, 23:31

dieter36

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RE: ach du lieber Kreis...
Du sagst du hast zwei Punkte gegeben. Du hast zwei unbekannte und kannst zwei Gleichungen aufstellen. Haut doch alles hin.

Du hast die Form:

$\begin{eqnarray*} (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Für x und y setzt du einmal den Punkt P1 ein und einmal den Punkt P2 und löst dann anschließend nach x_S und y_S auf-

18.03.2008, 00:14

Pieter

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moin moin

wie komme ich von

A^2 - 2dYA + B^2 - 2dXB + dX^2 + dY^2 - R^2 = 0

auf

(x-xs)^2 + (y-ys)^2 = r^2

xs,ys sind doch die Koordinaten des Kreismittelpunktes...und genau die will ich doch erst errechnen traurig

traurig

Mit Gruß
Pieter

18.03.2008, 08:43

mYthos

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Wenn du das Ganze noch in LaTex setzt, dann ist das auch schöner lesbar.

code:
1:	[latex](x - x_s)^2 + (y - y_s) = r^2[/latex]

Das ist ein allgemeiner Ansatz, wobei für x und x jeweils die Koordinaten für P1, P2 eingesetzt werden und das dabei entstehende System nach xs und ys aufzulösen ist.

Der Nullpunkt des Koordinatensystemes ist M, dann lautet P1(-B; A) und P2(C; D).

$\begin{eqnarray*} (-B - x_s)^2 + (A - y_s) = r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (C - x_s)^2 + (D - y_s) = r^2 \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------

Und das löst du nach xs und ys auf.

mY+

18.03.2008, 10:56

Pieter

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moin moin,

oooh, das wird kompliziert...und schwer zu programmieren.
Habe etwas geschlafen und mir nun folgenden Lösungsansatz überlegt:

aus dX und dX den Winkel w1 errechnen

$\begin{eqnarray*} w1 = arctan( dy/dx ) \end{eqnarray*}$

da P1-M-P2 ein gleichschenkliges Greieck bilden (müssen!), kann w2 aus:

$\begin{eqnarray*} w2 = arccos(\sqrt{ (dx^2 + dy^2)/2R} ) \end{eqnarray*}$

bestimmt werden.

dann sollte sein:

$\begin{eqnarray*} A = R * sin(w1 + w2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = R * cos(w1 + w2) \end{eqnarray*}$

..und da kommt auch die schon bekannte Lösung heraus.

bleibt nur die Frage, ob an der Rechnung noch was zu vereinfachen geht...

Mit Gruß
Pieter

18.03.2008, 11:11

Pieter

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moin,

ups, w2 ist nicht ganz richtig...

$\begin{eqnarray*} w2 = arccos(\sqrt{ dx^2 + dy^2} /2R ) \end{eqnarray*}$

Pieter

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18.03.2008, 11:32

Alex-Peter

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RE: ach du lieber Kreis...
Es ist doch so einfach und vor allem auch sehr lehrreich,
mit einem kostenlosen Zeichenprogramm in weniger als 15 Minuten solche Aufgaben erst konstruktiv zu loesen, und danach dann eine mathematische Loesung anzugehen.
Hier das als ein Beispiel:

18.03.2008, 12:46

riwe

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RE: ach du lieber Kreis...
3 minuten und 10 sekunden
schneller Big Laugh

Big Laugh

18.03.2008, 13:21

Pieter

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moin moin,

@Werner,

der MikroController an der Fräse muß erst die Kreise berechnen und kann dann erst zeichen(fäsen).
Aber Mythos hatte mich da auf eine Idee gebracht und da ich eine rein numerische Lösung brauche..
Wie auch in

Bahnberechnung

soll das mit Innen/Aussenbahn funktionieren. Mal sehen.
Das mit dem roten und dem baluen Kreis könnte noch eine Definitionsfrage werden.

Mit Gruß
Pieter

18.03.2008, 13:44

riwe

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das zu berechnen ist ja ein ganz einfaches ding und steht ja schon oben.

ich wollte
a) nur darauf hinweisen, dass es 2 lösungen gibt und
b) die zeit, in der man eine skizze macht, eigentlcih wurscht ist unglücklich

unglücklich

18.03.2008, 23:13

Pieter

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moin Werner,

zu den Vorgaben 2 Punkte + Radius gibt es noch eine weitere Vorgabe, die Kreisrichtung mit oder gegen den Uhrzeigersinn. Da eine Fräse nur fortlaufend fräsen/zeichen kann ist damit die Mittelpunktsauswahl klar.
Beispiel: 2 Punkte auf einer waagerechten Graden, beide Mittelpunkte liegen "übereinander":
- mit Uhrzeigersinn wird nach oben gearbeitet
- gegen den Uhrzeigersinn wird nach unten gearbeitet

...ich eile zur nächsten Baustelle...

Mit Gruß
Pieter

18.03.2008, 23:35

riwe

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muß einem ja gesagt werden.
wenn du lust hast, kannst du damit deine rechnungen überprüfen unglücklich

unglücklich

19.03.2008, 09:34

Pieter

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moin Werner,

habe mal die Excel-Tab geladen.
Die zeigt genau, warum ich lieber Trigonometrische Funktionen benutze.
Wird P2.Y auf 100 gesetzt (wie auch P1.Y) gibt es überall ##DIV0!##

$\begin{eqnarray*} w1 = arctan2( dy,dx ) \end{eqnarray*}$
w1=0
(Anmerkung: ArcTan2 werden 2 Werte übergeben, der Funktionswert liegt im richtigen Quadranten)

$\begin{eqnarray*} w2 = arccos(\sqrt{ dx^2 + dy^2} /2R ) \end{eqnarray*}$
w2=0,592(rad)

$\begin{eqnarray*} A = R * sin(w1 + w2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = R * cos(w1 + w2) \end{eqnarray*}$

A=26,227
B=39,002

Mit Gruß
Peter

19.03.2008, 09:46

AD

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Für alle die, denen "atan2" bzw. "arctan2" erstmal nichts sagt:

atan2 berechnen (Inverse Kinematik)

Die Bezeichnung ist also leicht irreführend, da die Funktion mehr leistet als bloße Arcustangensberechnung. Es ist vielmehr die Winkelberechnung bei der Polarkoordinatentransformation, die sowohl alle vier Quadranten als auch die Achsen (mit ggfs. Polstellen beim Tangens!) richtig berücksichtigt.

19.03.2008, 10:30

riwe

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ja, da hast du natürlich recht.
eine verbesserte version ohne arcustangens, den mag ich wieder nicht besonders, hat ja auch seine tücken unglücklich

unglücklich

der titel verrät den einfachen weg

wenn die 2 punkte nicht identisch sind, sollte es nun funktionieren

20.03.2008, 19:32

Pieter

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moin Werner,

ob Wurzel oder Trigonometrie ist erstmal Nebensache. Der Berechnungsweg ist wichtig. Dann kommt die Anzahl der notwendigen Berechnungen.
Habe im anderen Thread mal ein "Spielprogramm" hochgeladen.

Zusammengefast ist der Stand nun so:

Kein Problem:
Punkt-Strecke-Punkt-Strecke-Punkt

Nicht richtig gelöst ist:
Punkt-Strecke-Punkt-Kreis
Punkt-Kreis-Punkt-Strecke

Mit Gruß
Pieter

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