Dimension |
| 19.03.2008, 18:33 | Mathegast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Dimension Der Unterraum U teilmenge von R^4 sei die Menge aller Punkte, die der Gleichung 2v + 3x + y - 2z = 0 genügen. a)Welche Dimension besitzt U. b)Geben Sie eine Basis von U an. ich habe die lösungen in der hand, weis aber nicht wie man auf sie kommt... mein ansatz ist, dass die vektoren einer basis die dimesion bestimmen und die vektoren der basen linear unabhängig sind...das wars aber auch schon...in der praxis weis ich nicht wie ich das anzuwenden habe, muss ich umformen und wenn ja dann wie? bin verzweifelt...hilfe 
hab im forum gesucht und nichts ähnliches gefunden...sry wenn es sowas schon gab... |
||||||||||||
| 19.03.2008, 18:35 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das ist ein LGS, welches es zu lösen gilt. Vielleicht erinnerst du dich auch an die Schule, wie ihr aus der Koordinatengleichung einer Ebene die Parametergleichung bestimmt habt. Das ist hier nichts anderes. |
||||||||||||
| 19.03.2008, 19:48 | Mathegast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hmmm aber wenn ich das in die parameterform umschreibe hab ich doch linear abhängige vektoren oder? |
||||||||||||
| 19.03.2008, 20:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
was meinst du damit? |
||||||||||||
| 19.03.2008, 22:55 | Mathegast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ok ist ne ganz schön lange zeit her, dass ich das gemacht habe, aber ich hab das mal umgewandelt...hoffe es ist richtig: v 1 0 0 x = r * 0 + s* 1 + t* 0 y -2 -3 2 z 0 0 1 was ich damit meinte war, dass es halt, da die summe "= 0" ist ich alles nach null umstellen kann und somit ich vektoren bekomme die die triviale lösung =0 liefern, somit sind diese vektoren nicht linear unabhängig... hoffe man versteht mich
|
||||||||||||
| 19.03.2008, 23:29 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
wenn du das ganze so darstellst: . Dann bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem und wenn sie linear unabhängig sind, sogar eine Basis von U. Und dass der Vektor linear abhängig zu ist, ist doch völlig normal. Alles andere würde wenig Sinn machen. |
||||||||||||
| Anzeige | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
| 20.03.2008, 01:33 | Mathegast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
aso ^^ aber die vektoren a, b, c sind untereinander unabhängig :O ok danke für die hilfe 
|
||||||||||||
| 20.03.2008, 09:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Dimension
Natürlich gabe es sowas hier schon zu Genüge. Wenn man die Systematik zur Lösung linearer GLS anwendet, dann trägt man als erstes die Koeffizienten der Gleichungen (hier ist es nur eine, aber was soll's) in eine Matrix ein: Wenn die Matrix in Zeilenstufenform ist (bei einer Zeile ist das keine Kunst), dann sind die nicht frei wählbaren Variablen genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Hier ist das also die Variable v. Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig. |
||||||||||||
| 17.11.2008, 16:14 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich bin zwar mit Mathematik beschäftigt, aber leieder nicht mit dieser. Nun sollte ich jemandem erklären,wie man die Basis zu dem durch die Lösungen einer Gleichung entstehenden Unterraum angibt bzw. ermittelt. Der einzige Beitrag, der wenigstens in diese Richtung geht, ist dieser ier. Meine Gleichung: x+y-2z=0. Da wäre wohl die "matrix" (1 1 -2) und x das erste Nichtnullelement. Entsprechend könnte ich y =1 wählen und z =0. Wie geht das aber weiter? Ich glaube ich brauche ein durchgerechnetes Beispiel. Ich hatte gehofft, die Basis so berechnen zu können. Zu allem Überfluss steht in der Originalaufgabe sogar: Finde eine Basis des R3, die eine Basis des Lösungsraumes enthält. Das wird ja dann sicher erst noch richtig wüst. |
||||||||||||
| 17.11.2008, 17:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also nun eins nach dem anderen.
Die Anzahl der Basisvektoren der Lösung entspricht der Anzahl der freien Variablen. Die nicht freien Variablen entsprechen denjenigen Spalten, wo in den jeweiligen Zeilen das erste Nicht-Null-Element steht. (Toller Satz, nicht?
)Aber hier ist das ganz einfach. Die nicht freie Variable ist x, die freien Variablen sind y und z. Wenn man diese hat, wählt man suksessiv eine Variable gleich 1, die anderen gleich Null. Hier also: einmal y=1 und z=0 und einmal y=0 und z=1. Dann löst man jeweils nach x auf hat, o Wunder, die Basisvektoren der Lösung.
Da muß man nur noch schauen, was der Basis fehlt, damit man mit der ergänzten Basis den kompletten R³ aufspannt. Sehr praktisch ist, wenn man einen Vektor findet, der auf den Basisvektoren senkrecht steht. |
||||||||||||
| 17.11.2008, 18:02 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ich weiss nicht warum, aber ich habe ja Deine Hinweise sogar vorausgesehen, aber "einmal y=0 und z=1" nicht mit aufgeschrieben, weil ich unsicher bin, welche Gleichung ich inbeiden Fällen eigentlich da nach x umstelle. Ich finde halt keinerlei Beispiel in meinen Büchern. Der zweite Teil ist offenbar trivial, wenn man das Kreuzprodukt kennt. |
||||||||||||
| 17.11.2008, 18:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jedes mal die gleiche: x+y-2z=0 
|
||||||||||||
| 18.11.2008, 11:27 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| weiterführung der Basisberechnungen Ich habe jetzt oben im Thema gelesen, dass ich das bisherige auch geometrisch auffassen könnte, also brauche ich das auch nicht mehr als neue Erkenntnis hier zu posten. Nun hätte ich aber meine Kenntnisse zur Basenberechnung auf "echte matritzen" erweitert. Ich habe zwei Gleichungen im R^4 , also wirklich ein GS, aber natülich unterbestimmt. x1+x2-x3+x4=0 und x1-2x3+x4=0 Matrix erste Zeile: (1 1 -1 1) Matrix zweite Zeile (1 0 -2 1) Umgeformte zweite Zeile: 0 1 1 0 (mehr Stufenform geht ja wohl nicht, oder?) frei gewählte variablen x3=0 und x4=1 in das GS eingesetzt ergeben den Vektor ((-1,0,0,1) mit x3=1 und x4=0 habe ich den zweiten Basisvektor (1 2 1 1 ) Geht das so und woher bekomme ich denDritten? PS: Gibt es hier irgendwo eine Latexhilfe? |
||||||||||||
| 18.11.2008, 11:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: weiterführung der Basisberechnungen
Unter Werkzeugen gibt es den Formeleditor und irgendwo haben wir auch einen Latex-Workshop.
Das mal mit Latex ergibt: Wird dann umgeformt zu:
Richtig.
Im Prinzip ja. Allerdings weiß ich nicht, wie du auf den zweiten Basisvektor gekommen bist, zumal du doch x4=0 gewählt hast.
Einen dritten Basisvektor für die Lösung gibt es nicht. Siehe auch meine Regel.
|
||||||||||||
| 18.11.2008, 14:12 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
na ja, mal wieder verrechnet ist jetzt hoffentlich besser. Ich muss mir aber irgendwie die Anzahl der Vektoren einer Basis nochmal klarmachen. Es handelt sich also auch hier um einen zweidimensionalen Unterraum allerdings des R4? Da beschreiben 3 Variable im R3 eine Ebene (zweidimensionler Unterraum, also zwei Basisvektoren), da denke ich wohl gerade in die falsch Richtung. |
||||||||||||
| 18.11.2008, 14:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Tut mir leid, der stimmt auch nicht.
Ja. Bei deinem letzten Satz weiß ich nicht, was du sagen willst. |
||||||||||||
| 18.11.2008, 16:34 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| 15 Minutenfrist verpasst Ich habe jetzt weiter oben nachgelesen. Ich glaube ja immer noch, dass der Unterraum drei Basisvektoren braucht.
Das heisst in der ersten Zeile ist danach x1 nicht frei wählbar, dann müsste man aber den "Rest" frei wählen können und kommt dann auf drei Vektoren. Ich hatte x3 und x4 gleich 1 gesetzt, sollte man es nochmal mit x2 versuchen? |
||||||||||||
| 18.11.2008, 17:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
OK. Der Satz war nicht sauber genug formuliert. Besser ist dieser:
Nicht frei sind also x1 und x2. |
||||||||||||
| 18.11.2008, 18:04 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt ist das mit den freien V. geklärt, aber wohl fühle ich mich nicht, bei zwei Gleichungen mit 4 Variablen erwarte ich gefühlsmäßig noch immer 3 Basisvektoren. Hier wäre ja Dim(u)=2. Bei der vorherigen Aufgabe bekam ich ja schließlich auch 2 Vektoren . Und das war ein Unteraum von R3 und zar eine Eebene, also Dim(u)=2. Ich habe inzwischen nachgeprüft, dass die beiden Vektoren die Linearkombination der Lösungsvektoren ermöglichen. Bleibt mein Problem mit der dimnsion von Unterräumen |
||||||||||||
| 19.11.2008, 07:45 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Ergänzung Ich habe jetzt in meinen Unterlagen gelesen, dass die Anzahl der freien Variablen die Anzahl der Basisvektoren bestimmt. Leider habe ich die Quelle nicht notiert. Meine gestellten Fragen sind damit beantwortet. Ich habe jetzt eine Anschluss frage zur Summe von zwei Unterräumen. Es geht darum, eine Basis für die Summe zu finden. Unterraum 1: (1,0,-1,1) (2,1,0,2) (1,-1,-3,1) Unterraum 2: (2,1,1,0) (-1,0,0,1) |
||||||||||||
| 19.11.2008, 09:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Ergänzung Trage die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. |
||||||||||||
| 20.11.2008, 14:03 | roedigekanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| also nichts neues? Habe ich das richtig verstanden, es ist also egal, ob ich zu einer Koeffizientenmatrix aus einem Gleichungsystem oder zu einer Summe von Unterräumen, oder auch zu einer beliebigen Anzahl von Vektoren eine Basiszu berechnen habe? |
||||||||||||
| 20.11.2008, 14:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: also nichts neues? Nun ja, das Verfahren ist im Prinzip gleich, die Ergebnisse jeweils andere. |
||||||||||||
| 20.11.2008, 16:43 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also ich habe zwei Vektoren, die die Basis eines Unterraumes bilden (das war der Lösungsraum eines Gleichungssystems) und dann habe ich drei Vektoren als weiteren Unterraum gegeben. Zahlen waren: Unterraum : (1,0,-1,1) (2,1,0,2) (1,-1,-3,1) Basis: (2,1,1,0) (-1,0,0,1) Ich mche also aus die Stufenform: Wo sind freie Variable? Dein SAtz gibt mir noch immer Rätsel auf. Unfreie stehen in den Spalten, wo jeweils in den Zeilen das erste Nichnullelemnt steht. Wegen der letzten Zeile bleibt doch da gar nichtsmehr übrig?? |
||||||||||||
| 20.11.2008, 18:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Erstmal ging es hier um die Bestimmung einer Basis, nicht um die Lösung eines GLS. Die Basisvektoren sind jetzt alle Nicht-Nullzeilen. Offensichtlich hast du wohl eine Nullzeile erhalten, die du weggelassen hast. |
||||||||||||
| 20.11.2008, 18:31 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| drehen im Kreis Ich verstehe jetzt nichts mehr: Natürlich wollte ich eine Basis. Ich habe hier gelernt, dass ich dazu ein LGS in Stufenform bringen muss. Wenn es eine Nullzeile gibt, kann ich die beim lösen eines homogenen Gleichungssystems weglassen. Hier habe ich das auch getan. Wenn ich die Nullzeile wieder dazu schreibe, ändert das nichts daran,dass ich keine freien Variablen finde. Ich will ja zufrieden sein, wenn die "restlichen" Vektoren jetzt eine Basis bilden, aber wie soll man das aus dem bisher hier berechneten schlußfogern? Gilt demnach die von Dir aufgeschriebene Regel nur dann, wenn ich ein unterbstimmtes GS habe? Und ist das Aufreten einer Nullzeile ein Signal dafür, dass die restlichen Vektoren eine Basis bilden? Kann man das mal igendwo systematisch nachlesen? |
||||||||||||
| 20.11.2008, 18:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: drehen im Kreis Du verwechselst ständig "Basis bestimmen" und "Lösen eines homogenen Gleichungssystems". Meine Regel gilt nur für letzteres. Beim Thema "Basis bestimmen" gibt es keine Variablen, erst recht keine freien Variablen. Da kommt es am Ende nur auf die erhaltenen Nicht-Nullzeilen an, denn diese bilden eine Basis. |
||||||||||||
| 20.11.2008, 18:58 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| verwechslung? Ich hatte doch aber hier damit begonnen, Lösungsräume von Gleichungen zu berechnen. Das waren dann doch Basen des entsprechenden Unterraumes. Die ersten zwei Zeilen wurden ja auch mit Hilfe freier Variablen im Gleichungssystem als Basis eines Unterraumes ermittelt. Ich dachte, ich hätte das verstanden. Die Lösungen des Gleichungssystems waren die Basisvektoren? |
||||||||||||
| 20.11.2008, 22:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Ergänzung Der Lösungsraum eines homogenen GLS ist ein Unterraum. Wie man eine Basis dieses Unterraums bestimmt, hatte ich weiter oben erklärt. Daß du dann eine neue Aufgabe mit einer völlig anderen Fragestellung auspackst, dafür kann ich nichts:
Daß man zur Lösung dieser Aufgabe ebenfalls Matrizen verwendet, die man auf Zeilenstufenform bringt, ist eher Zufall und hat mit dem Lösen eines homogenen GLS nichts zu tun. |
||||||||||||
| 20.11.2008, 22:53 | roedigenkanter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| entschuldigung Das war für mich halt keine völlig andere Fragestellung. Die klassische Variante, darüber irgendwie eine lehrbuchartige Darstellung zu lesen, hätte uns vielleicht die diskussion erspart. Alle Algebraskripte oder -bücher, die ich bisher durchforstet habe, beschränken sich auf die Mitteilung von Selbstverständlchkeiten.Die offlinediskussion parallel hierzu hat aber jetzt langsam Klarheit hervorgerufen. Ich hoffe, ich kann das jetzt. Vielen Dank |
||||||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
