Dreieckskoordinaten

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Qvinna Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieckskoordinaten
Hallo, ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen helfen. Ich habe mein Thema für meine Mathepräsentation bekommen, das lautet "Dreieckskoordinaten".... das Prinzip verstehe ich, nur habe ich jetzt mal ein bisschen im Internet rumgeguckt und fast nichts zu diesem Thema gefunden.
Kann mir jemand ein paar Sätze zu diesem Thema erklären?
Danke schonmal
Tanzen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

"Dreieckskoordinaten"?
Das mußt du schon genauer erläutern!

Heißt das, daß du Dreiecke in einem kartesischen Koordinatensystem betrachten willst?
Oder geht es zum baryzentrische Koordinaten oder trilineare Koordinaten?

Welche Klasse? Welche Altersstufe? Vorwissen?
Qvinna Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mein Thema für meine Abiturpräsentation, also Stufe 13. Vorwissen ist halt die analytische Geometrie.
Ich soll halt in erster Linie beweisen bzw. erklären, dass x1+x2+x3 immer der Gleiche ist, bzw. zum Beispiel 100% ergibt.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das genauer erläutern? Meinst du mit x1, x2 und x3 die Komponenten der Vektoren im R3?
Qvinna Auf diesen Beitrag antworten »

Also fasst man die drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks als Koordinatenachsen auf, so kann man jedem Punkt innerhalb des Dreiecks drei Koordinaten in Bezug auf diese Achse zuordnen.
Jetzt soll ich die wesentlichen Eigenschaften dieser Dreieckskoordinaten darstellen. z.B. wie viele Punkte mit ganzzahligen Koordinaten es dort gibt etc...
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist dann ein Punkt im R2 durch 3 Koordinaten nicht überbestimmt?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Qvinna

Es geht also um baryzentrische Koordinaten. Mit diesen lassen sich Punkte der Ebene in Bezug auf ein vorgegebenes Dreieck beschreiben. Für markante Punkte des Dreiecks wie die Seitenmitten, den Schwerpunkt, den Inkreismittelpunkt usw. gibt man die baryzentrischen Koordinaten in Abhängigkeit von den Seiten des Dreiecks an.

Hier ist nicht der Platz für eine Darstellung dieses umfangreichen Gebietes. Daher in Kürze das Nötigste.

Man geht von drei fest gewählten unabhängigen Punkten der Ebene aus. Unabhängigkeit bedeutet, daß die Punkte nicht auf einer Geraden liegen und somit die Ecken eines nichtentarteten Dreiecks bilden. Wie üblich seien die Dreiecksseiten oder je nach Zusammenhang auch deren Längen mit bezeichnet. Jeder Punkt der Ebene kann dann durch drei baryzentrische Koordinaten eindeutig beschrieben werden. Das sind drei reelle Zahlen mit der Eigenschaft



(@ Duedi: Es besteht also infolge der Normierungsbedingung keine Überbestimmtheit.)

Hierbei ist ein irgendwie fest gedachter Punkt der Ebene (der Name soll an Origo = Ursprung erinnern). Auf den ersten Blick sieht es so aus, als seien die baryzentrischen Koordinaten von abhängig. Man kann aber leicht zeigen, daß beim Übergang von zu einem andern Ursprung sich nicht ändern (beachte die Regel von Chasles). Die baryzentrischen Koordinaten von sind also nur von abhängig.

Man kann die baryzentrischen Koordinaten auch anders beschreiben: Es seien die orientierten (orthogonalen) Abstände des Punktes von den Seiten des Dreiecks. So wird etwa positiv gemessen, wenn auf derselben Seite der Geraden wie der Punkt liegt, und negativ, wenn auf der anderen Seite liegt. Liegt auf , so ist natürlich zu setzen. Entsprechend geht das mit und . Sind weiter wie üblich positiv gemessen die Höhen des Dreiecks, so gilt:



Diese kurze Einleitung enthält viele Behauptungen, für deren Beweis dann du zuständig wärst.

Die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes gibt man oft in der sogenannten homogenen Form an:

(wobei sein muß)

Das bedeutet so viel wie



Homogene baryzentrische Koordinaten sind also nur bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt. (Wenn man die Forderung fallen läßt, kann man die euklidische Ebene zur projektiven Ebene erweitern.)

Markante Punkte des Dreiecks in baryzentrischen Koordinaten:



(Seitenmitten)

(Schwerpunkt)

(Inkreismittelpunkt)

(Umkreismittelpunkt)

Für eine Einführung in baryzentrische Koordinaten google unter Paul Yiu, barycentric ...
Eine Liste interessanter Dreieckspunkte findet sich in Kimberlings ETC.
Qvinna Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leopold Freude
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