Äquivalenzrelation

21.03.2008, 18:13

focus

Äquivalenzrelation

Hallo,

hab hier eine Aufgabe wo ich einfach nicht drauf komme wie ich anfangen soll.

Aufgabe:
M = N x N. Menge besteht aus Paaren der Form (a,b).
Relation R = ((a,b),(c,d)) <=> ad = bc
Weisen Sie nach dass R eine Äquivalenzrelation auf M ist.

Klar ist, dass ich die Eigenschaften "reflexiv", "symmetrisch" und "transitiv" beweisen soll.

Ich weis, dass M = {(a,b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ NxN} ist.
Die Relation R müsste sein: R = {((a,b),(c,d)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M | a*d=b*c}.

(Richtig?)

Habe die Äquivalenzrelation bis jetzt nur mit einfachen Paaren und Operationen also z.B. mit R={(x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M | x<y} gerechnet. Da war das nicht so ein großes Problem.

Mir fällt es im Moment schwer einen Einstieg zu finden. Vielleicht sollte ich noch sagen, dass wir dieses Thema noch nicht in der Vorlesung hatten. Ich versuche schon etwas Stoff vorzuarbeiten.

Bin für jeden Tipp/Lösungsweg oder dergleichen danbkar!

Grüße
focus

21.03.2008, 18:35

tmo

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RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von focus

Die Relation R müsste sein: R = {((a,b),(c,d)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M | a*d=b*c}.

Richtig wäre es so:

$\begin{eqnarray*} R = \{((a,b),(c,d)) \in M \times M | a \cdot d=b \cdot c\} \end{eqnarray*}$

dann zu dem beweis.

Du musst folgende Dinge zeigen.

1. $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$ . Das ist doch trivial.

2. Aus $\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} ((c,d),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$

3. Aus $\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

wo genau liegt dein problem? Du musst halt immer die charakeristische Eigenschaft aller Elemente aus R benutzen (nämlich $\begin{eqnarray*} a \cdot d=b \cdot c \end{eqnarray*}$ ).

21.03.2008, 18:35

kiste

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Du hast eigentlich schon alles gesagt was man dazu sagen könnte, dein Problem sollte eigentlich keines sein. Naja ich schreibe einmal was du für reflexiv machen musst, vllt. hast du nur eine Denkblockade.

reflexiv heißt das (a,b) in Relation mit (a,b) ist $\begin{eqnarray*} \forall (a,b) \in N\times N \end{eqnarray*}$ , der Rest ist genauso im Prinzip. Das Beweisen ist dann nur ausschreiben der Definition

21.03.2008, 18:37

Irrstern

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hi focus,

bin da auch nicht so bewandert drin, aber das was du bisher aufgeschrieben hast sieht gut aus.

nun musst du, wie du selbst schon erkannt hast, reflexivität, symmetrie und transitivität zeigen.
ich würde mit der reflexivität $\begin{eqnarray*} a \sim a \end{eqnarray*}$ anfangen!! dazu musst du nur zeigen das du das paar gleiche rausbekommst, wenn du es in die äquivalenzrealation reinpackst

hoffe ich konnte dir helfen

21.03.2008, 18:38

system-agent

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RE: Äquivalenzrelation
Also du hast geordnete Paare $\begin{eqnarray*} (a,b)\in\mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ und wir wollen $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d) \end{eqnarray*}$ äquivalent nennen, falls $\begin{eqnarray*} ad=bc \end{eqnarray*}$ gilt, also man schreibt:
$\begin{eqnarray*} (a,b)R(c,d)\,:\Leftrightarrow ad=bc \end{eqnarray*}$ (*)

Nun zum Nachweis, nutze immer die Definition (*):
Zum Beispiel die Reflexivität, also dass $\begin{eqnarray*} (a,b)R(a,b) \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} (a,b)\in\mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ .
Es gilt immer $\begin{eqnarray*} ab=ba \end{eqnarray*}$ , also....

Edit:
Ich bin zu langsam...

21.03.2008, 19:15

focus

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RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von tmo
Du musst halt immer die charakeristische Eigenschaft aller Elemente aus R benutzen (nämlich $\begin{eqnarray*} a \cdot d=b \cdot c \end{eqnarray*}$ ).

Hier hats gefehlt. Aber ich habs jetzt geschnallt Augenzwinkern

Ich hab mich wohl durch die Eigenschaft "a*d = b*c" zu sehr beieindrucken lassen und bin dann irgendwie mit den Paaren (a,b),(c,d) durcheinander gekommen.

Zeige, dass R reflexiv ist:

Es gilt (a,b) (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R (jetzt setze ich es in die Eigenschaft ein), also a*b = b*a -> (Kommutativgesetz) a*b = a*b, also R reflexiv.

Wäre das so Formal korrekt?

21.03.2008, 19:46

tmo

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RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von focus

Es gilt (a,b) (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R (jetzt setze ich es in die Eigenschaft ein), also a*b = b*a -> (Kommutativgesetz) a*b = a*b, also R reflexiv.

Wäre das so Formal korrekt?

Du meinst wohl jetzt das richtige, aber das ist formal leider falsch.

Du fängst an mit

Zitat:

Es gilt (a,b) (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R

.

Das ist aber doch die Behauptung. Du verwendest es aber wie eine Vorraussetzung und folgerst daraus dann a*b = a*b.

Du musst es aber genau andersrum machen.

21.03.2008, 20:25

focus

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RE: Äquivalenzrelation
Also nochmal:

Reflexivität:

Sei ((a,b) (a,b)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, also a*b = b*a, also a*b = a*b, also R reflexiv.

Symmetrie:

zu Beweisen: (a,b) (c,d) => (c,d) (a,b)

Sei ((c,d) (a,b)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, also c*b = a*d, also a*d = c*b, also R symmetrisch.

Transitivität:

zu Beweisen: Wenn (a,b) (c,d) und (c,d) (e,f) => (a,b) (e,f)

Sei ((a,b) (c,d)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R und ((c,d) (e,f)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R

I. ad = bc und
II. cf = de

I. nach a auflösen, II. nach f auflösen und a*f rechnen:

af = (bc/d)(de/c) = be

also a*f = b*e, also R ist transitiv.

21.03.2008, 20:36

system-agent

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RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von focus

Reflexivität:

Sei ((a,b) (a,b)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, also a*b = b*a, also a*b = a*b, also R reflexiv.

Du verwendest immernoch die Behauptung, wie tmo schon erwähnt hat.

21.03.2008, 20:39

focus

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RE: Äquivalenzrelation
Dann stimmts wohl sonst auch nicht.
Wie würde es dann korrekt aussehen?

Sorry aber meine letzte Mathestunde liegt schon ein paar Jahre zurück.

21.03.2008, 20:52

system-agent

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Speziell für die Reflexivität:
Du stellst fest, dass $\begin{eqnarray*} ab=ba \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, damit folgt auch schon, dass $\begin{eqnarray*} (a,b)R(a,b) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (a,b)\in\mathbb N^2 \end{eqnarray*}$

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