Wahrscheinlichkeit außerhalb des 1-sigma-Intervall

19.09.2005, 18:15

HelloWorld

Wahrscheinlichkeit außerhalb des 1-sigma-Intervall

Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit psigma, dass ein Versuchsergebnis außerhalb des 1-sigma-Intervalls [µ-sigma;µ+sigma] um Erwartungswert µ liegt?

$\begin{eqnarray*} psigma=\sum_{k<u-sigma oder k>u+sigma}^n~P(n;p;k)= .... ? \end{eqnarray*}$

Gibt es da einen Zusammenhang zwischen Anzahl der Ausführungen (n), Erfolgswahrscheinlichkeit (p), Erfolge (k) und sigma oder µ?

19.09.2005, 18:41

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Also mit $\begin{eqnarray*} P(n;p;k) \end{eqnarray*}$ meinst du vermutlich die Einzelwahrscheinlichkeit für genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Erfolge im Bernoullimodell $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ .

Besser für's Auge:

$\begin{eqnarray*} p_{\sigma} = \sum_{k<\mu-\sigma \;\vee\; k>\mu+\sigma} ~ P(n;p;k) \end{eqnarray*}$

Und was das Ausrechnen betrifft: Schlicht und einfach summieren. Für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt es natürlich auch Näherungsformeln über die Normalverteilung, auf der Basis des Zentralen Grenzwertsatzes.

Zitat:

Original von HelloWorld
Gibt es da einen Zusammenhang zwischen Anzahl der Ausführungen (n), Erfolgswahrscheinlichkeit (p), Erfolge (k) und sigma oder µ?

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ sind nur Symbole, deren Bedeutung du uns noch sagen musst, nicht umgekehrt!

P.S.: Kann schon sein, dass du damit Erwartungswert und Standardabweichung dieser Binomialverteilung meinst, aber dann musst du es auch sagen. Diese Symbole sind keinesfalls automatisch dafür reserviert!

19.09.2005, 19:58

azur

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hallo,
bei sigma handelt es sich um die Standardabweichung und mit µ ist der Erwartungswert gemeint.

azur

P.S.: bin im gleichen Kurs wie HelloWorld ;-)

20.09.2005, 00:34

HelloWorld

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Ok, das ganze einmal ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \mu = \sum_{k=0}^n~P(n;p;k)*k = n *p \end{eqnarray*}$

Mit P(n;p;k) ist die die Einzelwahrscheinlichkeit für genau k Erfolge im Bernoullimodell B(n,p) gemeint.
$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist der Erwartungswert.

$\begin{eqnarray*} V= \sum_{k=0}^n~ P(n;p;k) *(k-\mu)^2 = [n*p*(1-p)] \end{eqnarray*}$

V ist die Varianz.

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{V}=\sqrt{n*p*(1-p)} \end{eqnarray*}$

Somit beschreibt $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Standardabweichung.

Jetzt die Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_{\sigma} \end{eqnarray*}$ , dass ein Versuchsergebnis außerhalb des 1- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Intervalls $\begin{eqnarray*} [\mu-\sigma;\mu+\sigma] \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ liegt?

$\begin{eqnarray*} p_{\sigma} = \sum_{k<\mu-\sigma \;\vee\; k>\mu+\sigma} ~ P(n;p;k) \end{eqnarray*}$

Ausrechnen, kein Problem. Mit Excel kann man sich da auch herrlich viele Werte darstellen lassen.

Doch gibt es auch einen ähnlichen Zusammenhang wie beim Erwartungswert ( $\begin{eqnarray*} ...=n*p \end{eqnarray*}$ ) oder bei der Varianz ( $\begin{eqnarray*} ...=n*p*(1-p) \end{eqnarray*}$ )?

Jetzt sollte jedenfalls alles eindeutig von mir dargestellt sein.

20.09.2005, 07:19

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Zitat:

Original von HelloWorld
Doch gibt es auch einen ähnlichen Zusammenhang wie beim Erwartungswert ( $\begin{eqnarray*} ...=n*p \end{eqnarray*}$ ) oder bei der Varianz ( $\begin{eqnarray*} ...=n*p*(1-p) \end{eqnarray*}$ )?

Nein, gibt es nicht - nur Näherungen:

Binomialverteilung??

01.10.2005, 15:05

HelloWorld

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Ok, es gibt also nur Näherungen...
und die soll so aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq k) \approx \Phi \left( \frac{k - \mu + 0{,}5}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

Erste Frage: Was ist $\begin{eqnarray*} \Phi ? \end{eqnarray*}$

Zweite Frage: Ich brauche das ganze für
$\begin{eqnarray*} k<\mu - \sigma + k>\mu + \sigma \end{eqnarray*}$

Stimmt die Näherung auch für
$\begin{eqnarray*} P(X\leq \mu-\sigma) + P(X\geq \mu+\sigma) \end{eqnarray*}$ ?

01.10.2005, 15:21

sqrt(2)

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Zitat:

Original von HelloWorld
Erste Frage: Was ist $\begin{eqnarray*} \Phi ? \end{eqnarray*}$

Das ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, $\begin{eqnarray*} \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x~e^{-\frac{1}{2}t^2}~\dd t \end{eqnarray*}$ . Das Integral lässt sich nur nähern, in deiner Formelsammlung solltest du eine Tabelle finden.

Zitat:

Original von HelloWorld
Stimmt die Näherung auch für
$\begin{eqnarray*} P(X\leq \mu-\sigma) + P(X\geq \mu+\sigma) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du die Stufenanpassung richtig machst, dann ja. Schau mal da:

http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverte...ntistreubereich
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Approximation

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