Skalarprodukt

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Skalarprodukt
Hallo,

ich muss für meine Klausur am Donnerstag lernen und bin nun auf eine Aufgabe gestoßen bei der ich nicht mehr weiter weiß bzw. gar keinen Lösungsansatz finde.

Zeige das <A ,B> = sp(AB(Transponoiert)) ein Skalarprodukt ist.

Wie kann ich das beweisen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal mit dem kryptischen ""sp(.)" meinst du die Spur einer Matrix?
Ausserdem sind und irgendwelche quadratischen Matrizen?
Edit: Oder vielleicht auch garnicht so quadratisch, sondern beides Matrizen



Um ein Skalarprodukt nachzuweisen musst du eben die Axiome überprüfen, die findest du zb hier.
Suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit sp() mein ich die Spur und Die Matritzen sind m*n

Also mir ist schon aufgefallen, dass die Spur sich dann zusammensetzt aus

(x1²+x2²...+xj²)+(x2²+......+xl²).... usw.

Aber wie komme ich nun darauf, dass das eine Skalarprofukt ist. Also ich versteh das grad komplett nicht.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent

Um ein Skalarprodukt nachzuweisen musst du eben die Axiome überprüfen, die findest du zb hier.
Suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir schon angeschaut! Aber durchblicken tue ich immernoch nicht.

Ist jetzt nicht so, dass ich nicht eigenständig bin. Hab schon gesucht etc. aber nichts dazu gefunden. Ich steig da einfach nicht durch. Kannst du das bitte mal etwas genauer erklären?

Für dich scheint das einfach, aber ich blick da rein gar nichts. unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

OK, du musst also die Spur von einer Matrix betrachten, das heisst du hast

also die Summe der Diagonaleinträge.

Nun ist deine Matrix aber ein bischen speziell, denn . Nun versuche mal zu schreiben, wie man das i-te Diagonalelement von aus den Elementen bzw. der Matrizen bzw. erhält.
Bilde dann wieder , wie oben.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Bilinearität nachzuweisen, ist es nicht erforderlich, eine Koordinatenrechnung zu betreiben. Denn sowohl das Transponieren also auch die Spurbildung sind (offensichtlich) lineare Abbildungen. Ferner ist die Matrizenmulitplikation distributiv. Man kann also zum Nachweis der Axiome mit den Matrizen direkt rechnen, was den Rechenaufwand erheblich verringert. Lediglich bei der positiven Definitheit sehe ich keine Abkürzungmöglichkeit (oder sieht das jemand?). Für



braucht man vermutlich eine Koordinatenrechnung, die aber nicht weiter schwer ist. Man muß sich ja nur um die Elemente der Hauptdiagonalen von kümmern.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du wohl recht, hatte da fälschlicherweise Probleme gesehen weil ja nur für quadratische Matrizen definiert ist, aber ist doch kein Problem smile

Es ist sicherlich nicht schlecht wenn sich der Threadsteller noch mit der Koordinatenvariante beschäftigt smile


Immerhin ist die - Richtung ohne Koordinaten möglich Big Laugh

Edit: Man könnte sich erinnern dass bei das "Vektoren" - Skalarprodukt verwendet wird...
Suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank. Bin da nun mit eurer hilfe drauf gekommen! Vielen dank.

Nun hat sich mir aber im Bezug auf Matrizen ein kleines Problem ergeben welches in nicht lösen kann..

1 2 3
A= 4 5 6
7 8 9

A*x = 0

Wie berechne ich nun diesen Vector x?

Das ganze geht darauf nun dass ich eigenvektoren berechnen will. Den Eigenwert kann ich berechnen ist nun nicht so schwer. Aber das berechnen der Eigenvectoren stellt sich mir nun als Problem dar. Bin in Mathe nicht so das Ass, daher hapert es bei mir schon an den kleinsten Dingen unglücklich .

Könnt ihr mir kurz erklären wie ich nun auf diesen Vektor x kommen kann? Also wie ich diesen berechne? Wäre sehr nett und denkt bitte dran das ich in Mathe eine 0 bin daher so einfach wie möglich erklären.

Wäre sehr nett.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Könnt ihr mir kurz erklären wie ich nun auf diesen Vektor x kommen kann? Also wie ich diesen berechne?


Gaussalgorithmus. Das ist Lösen eines Gleichungssystemes (im Normalfall Schulstoff), das solltest Du eigentlich blind können wenn Du Dich mit allgemeinen Skalarprodukten beschäftigst. Fang doch einfach mal an, vielleicht klappts ja mit dem Gaussalgorithmus. Wenn nicht kann man Dir die Fehler zeigen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du nun?
Das Gleichungssystem lösen oder Eigenwerte und -vektoren bestimmen?


Falls das Gleichungssystem lösen willst: Das kann man mit der Gauss-Elimination machen (manchmal auch genannt das Verfahren für die "Zeilenstufenform")
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