Wenn Ebenen parallel oder identisch sind

20.09.2005, 13:10	Sven	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Ebenen parallel oder identisch sind Hi! Wir schreiben Freitag unsere Mathearbeit und unserer Lehrer sagte, dass auch die Lagebeziehung zwischen Ebenen drann kommt, die Parallel oder Identisch sind. Leider haben wir nie eine AUfgabe zu gerechnet und komischer weise stehn im Buch auch keine. Das Einziege was im BUch steht und wir auch gemacht haben, ist wenn die Ebenen geschnitten sind. Deswegen wollte ich euch fragen ob ihr vielleicht nen paar Aufgaben habt in der als Ergebniss raus kommt, dass die Ebenen Parallel oder Identisch sind? Schön wäre es wenn ihr mir auch ein Ergebniss nennen könntet, damit ich weiss ob ich richtig gerechnet habe. Eine Verständnisfrage hätte ich dazu auch noch. Stimmt es das man bei Ebenen egal ob die Linear Abhänig sind oder nicht einfach nur die beiden Parameterformen gleichsetzen muss und dann ausrechnet? Hoffe ihr könnt mir helfen. MFG Sven
20.09.2005, 13:28	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
[Workshop] Vektorrechnung
20.09.2005, 13:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Ebenen sollte man generell mit der Normalenform, nicht mit der Parameterform arbeiten - einfach wegen des geringeren Rechenaufwandes. Zwei Ebenen, in Normalenform gegeben: $\begin{eqnarray} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1' x_1 + a_2' x_2 + a_3' x_3 = b' \end{eqnarray}$ sind parallel, falls die linken Seiten der Gleichungen Vielfache voneinander sind, und sogar identisch, falls auch noch die rechten Seiten Vielfache voneinander sind. Beispiel: $\begin{eqnarray} E: \ \ \ 6 x_1 - 3 x_2 + 1{,}5 x_3 = 4{,}2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E': \ \ \ -4 x_1 + 2 x_2 - x_3 = -2{,}8 \end{eqnarray}$ Diese Ebenen sind identisch. $\begin{eqnarray} E: \ \ \ 6 x_1 - 3 x_2 + 1{,}5 x_3 = 4{,}2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E': \ \ \ -4 x_1 + 2 x_2 - x_3 = 2 \end{eqnarray}$ Diese Ebenen sind parallel, aber nicht identisch, also echt-parallel.
20.09.2005, 22:06	Sven	Auf diesen Beitrag antworten »
cool thx also muss ich diese Werte einfach in ne MAtrix einsetzen ne? habt ihr auch ncoh welche die in ner Paramterform sind, weil damit haben wir bsi jetzt immer gerechnet?
20.09.2005, 23:01	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
na wenns denn sein muss parallel, wenn sie den gleichen normalenvektor besitzen (spannvektoren kreuzen) identisch, wenn sie zusätzlich einen punkt gemeinsam haben mfg jochen
21.09.2005, 06:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja wieder die Normalenform. Wenn es um Parameterdarstellungen $\begin{eqnarray} E: \ \ \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F: \ \ \vec{x} = \vec{b} + \sigma \vec{p} + \tau \vec{q} \end{eqnarray}$ geht, dann sind $\begin{eqnarray} E,F \end{eqnarray}$ parallel, wenn sowohl die Richtungsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v}, \vec{p} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v}, \vec{q} \end{eqnarray}$ linear abhängig sind.
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