Knobelaufgabe zu geometrische Reihe

24.03.2008, 15:34

Surfer

Knobelaufgabe zu geometrische Reihe

Also einem regelmäßigen achteckigen Weihnachtsstern (Oktagramm) werden wiederholt verkleinerte konzentrische Sterne einbeschrieben. Dabei wird der jeweilige Nachfolger in das innere Achteck (Oktagon) des Vorgängers eingepasst.
Die Punkte A und B (Beschreiben die Seite von einer Ecke des Weihnachtssterns zu Gegenüberliegenden bzw. zur gespiegelten Seite) haben beim äußersten Stern den Abstand 1. In welchem Verhältnis stehen die Längen L(n) dieser Grundseiten aufeinanderfolgender Sterne zueinander? Berechnen Sie die Gesamtlänge der schwarzen Randlinien sowie die Summe der Flächen bei der Grenzfigur, also die Fläche die von dem äußeren Stern und dem inneren Stern eingegrenzt wird!

Hab die Aufgabe auch nochmal im Anhang, aber ist irgendwie ne zu harte Nuss für mich!

Wäre super wenn mir jemand bei dieser knifflichen Aufgabe helfen könnte!
lg Surfer

24.03.2008, 19:26

Romaxx

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Hallo,

hast du denn schon das Verhältnis der Grundseiten? Wie weit bist du mit deinen Überlegungen?

Gruß

24.03.2008, 20:17

Surfer

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Nein ich weiss ehrlich gesagt gar nicht wie ich anfangen soll! Deshalb wäre ich über gute Tips sehr froh...

24.03.2008, 21:08

Romaxx

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Hallo,

überlege dir mal was durch die Aussage "regelmäßigen achteckigen Weihnachtsstern (Oktagramm)" alles gegeben ist. Wie groß ist denn der Winkel der Sternecken? Wenn du das weisst, kannst du die Grundseite des ersten eingeschriebenen Oktagramms schonmal mit Leichtigkeit auszrechnen. Versuche die Rechenschritte, die du bis zur Berechnung der ersten eingeschriebenen Grundseite verwendest, allgemein in eine Gleichung zu schrieben und umzuformen.

Gruß

24.03.2008, 23:41

Surfer

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also ich habe jetzt mal die Aufgabe gerechnet, so wie ich es machen würde, vielleicht kannst du sie mal überfliegen oder eventuell sogar nachrechnen, ob es stimmt!
also die Grundseite allgemein L(n) = n-2*(n-sqrt(n^2/2))

dann die Randlinien_gesamtlänge habe ich : 8*(2-sqrt(2))

und schließlich die graue Fläche : 40*sqrt(2) - 56

???? Also wäre super wenn du es auch rechnen könntest, damit ich sicher gehen kann, ob ich es richtig gemacht habe, wäre dir sehr dankbar dafür!!

lg Surfer

25.03.2008, 16:46

Romaxx

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Zitat:

L(n) = n-2*(n-sqrt(n^2/2))

Hallo,

ich gehe jetzt einmal davon aus, dass das n für die nummer des eingeschriebenen Oktagramms steht, wobei mit größer werden der n, L(n) kleiner werden sollte.

L(1) = 1-2*(1-sqrt(1^2/2)) = 0,4142...
L(2) = 2-2*(2-sqrt(2^2/2)) = 0,8284...
L(3) = 3-2*(3-sqrt(3^2/2)) = 1,2426...

hm, scheint mir nicht der fall zu sein.

Schreibe mir doch mal dein vorgehen auf, damit ich das nachvollziehn kann.

Gruß

25.03.2008, 17:10

Surfer

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Also n ist meine Grundseite der eingeschriebenen Dreiecke (bzw. die Hypotenuse). X nenne ich die beiden Kaheten, mit dem Phytagoras folgt: n^2 = 2x^2 daraus folgt x = sqrt(n^2/2) dann berechnen ich die Länge der grauen Sternzacke mit n-sqrt(n^2/2) und berechne dann die Länge des Quadrates mit n - 2*(n - sqrt(n^2/2)) Endergebnis ist dann (- n + 2n/sqrt(2)) ... also das hier ist mein Endergebnis, nicht die Formel die ich beim letzten Thread angegeben habe!

lg Surfer

25.03.2008, 22:09

Romaxx

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Hallo,

deine Rechnung ist bisher richtig. Nun ist aber das Verhältnis gefragt, zwischen den aufeinanderfolgenden Grundseiten. Dazu kannst du in deiner Rechnung eine leichte Umformung machen.

$\begin{eqnarray*} l_1 :\text{ Grundseite des ersten Oktagramms} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_2 :\text{ Grundseite des zweiten Oktagramms} \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} l_1-2\cdot (l_1-\sqrt{\frac{l_{1}^{2}}{2} })=l_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow l_1-2l_1+2\sqrt{\frac{l_{1}^{2}}{2} })=l_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -l_1+\sqrt{\frac{4l_{1}^{2}}{2} })=l_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -l_1+\sqrt{2l_{1}^{2} })=l_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -l_1+l_1\sqrt{2}=l_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow l_1\cdot (\sqrt{2} - 1)=l_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\sqrt{2} - 1)=\frac{l_2}{l_1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{(da die Rechnung immer wieder auf dem nächsten l aufbaut)}(\sqrt{2} - 1)=\frac{l_{n+1}}{l_{n}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist verständlich.

Gruß

p.s. bei den anderen Ergebnissen, würde ich mich auch um eine kurze Erläuterung freuen, wie du da drauf gekommen bist

25.03.2008, 22:49

Surfer

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Hallo, danke für deine Rechnung, aber hast du bei den letzten beiden Umformungen nicht das Vorzeichen falsch gesetzt? Müsste es nicht heißen:

l1*(1-sqrt(2)) = l2
und dann (1- sqrt(2)) = l2/l1 = l(n+1)/l(n)

d.h. mein Verhältnis L(n) = l(n+1)/l(n) oder?

Auf die Gesamtlänge der schwarzen Randlinien komme ich indem ich eine Kathete ausrechne diese ist sqrt(2)/2 und subtrahiere diese von der Länge der Grundseite also 1 - sqrt(2)/2 somit habe ich die Länge einer Zacke und diese nehme ich 16 mal also 16*((2 - sqrt(2))/2) = 8*(2 - sqrt(2)) ?

Zur Berechnung der Fläche errechne ich zunächst die Länge einer Seite des weißen Quadrates mit 1 - (2*(2 - sqrt(2))/2) = 1 - (2 - sqrt(2)) = -1 + sqrt(2)
jetzt ziehe ich von dieser Länge noch die Länge einer grauen Dreieckskante ab um die Seitenlänge eines kleinen weißn Dreiecks zu erhalten: also
-1 + sqrt(2) - ((2-sqrt(2))/2) = -2 +3/2*sqrt(2) meine Fläche des weißenkleine Dreiecks ist dann (-2+3/2*sqrt(2))^2 nun kann ich von der Fläche eines grauen Dreiecks die weiße Dreiecksfläche abziehen also: (1 - sqrt(2)/2)^2 - (-2+3/2*sqrt(2))^2 und erhalte dann = -7 + 5sqrt(2) diese graue Fläche nehme ich nun mal 8 und erhalte mein Endergebnis = 40*sqrt(2) - 56

??? Ich hoffe du kommst mit bei der komplizierten Beschreibung und stimmst mir hoffentlich zu!!!

lg

25.03.2008, 22:52

Romaxx

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Ja, da hast du recht, kleiner Schreibfehler. smile

p.s. dein Verhältnis ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} - 1=\frac{l_{n+1}}{l_{n}} \end{eqnarray*}$

25.03.2008, 23:02

Romaxx

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So wie ich das sehe, hast du bei deiner Rechnung nur das erste Oktagramm berücksichtigt, aber es wird die Länge der Randlinien, sowie die graue Fläche aller Oktogramme verlangt (auch die eingeschriebenen). Deine Überschrift dieses Themas sagt dir schon sehr genau was du in etwa machen sollst.

Gruß

25.03.2008, 23:11

Surfer

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nee mein Verhältnis ist 1-sqrt(2) = l(n+1)/l(n) !!!

ok Stichwort geometrische Reihe oder? D.h. ich muss das Ding hier auch wieder verallgemeinern...

Hmm helf mir auf die Sprünge bitte, kann ich bereits errechnetes irgendwie verwenden?

lg

25.03.2008, 23:15

Surfer

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OOOhh dein Verhältnis stimmt natürlich, sorry

25.03.2008, 23:47

Romaxx

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Das du die Randlinien des ersten Okotgramms berechnet hast, hilft dir schon weiter. Versuche dir zu überlegen, wie du von dieser Rechnung nun auf die Randlinien von dem zweiten Oktogramm gelangst. Wenn dir das gelingt, sollte dir eigentlich gleich auffallen, das man das allgemein schreiben kann und zwar als eine Geometrsiche Reihe. Dazu hilft dir der erste Teil, der Berechnung des Verhältnisses.

Gruß

19.04.2008, 19:59

guest007

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mit a_0 = 16 * (1 - sqrt(2)/2) = 4,685
q = (sqrt(2)-1) ) = 0,414

und der formel für die geometrische reihe von wikipedia
(http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe)

sagt mein taschenrechner für große n, dass die grenzlänge 8 entspricht, stimmt das?

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