Verständnisproblem mit sigma-Algebra

28.03.2008, 21:12

zwergnase

Verständnisproblem mit sigma-Algebra

Hallo Leute ich verstehe eine Aufgabenstellung gar nicht, vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Tipps geben:

Es sei $\begin{eqnarray*} X: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2 \end{eqnarray*}$ eine Abbildung einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ in eine Menge $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ . Man zeige:

I) $\begin{eqnarray*} S_1 := \{ X^{-1} (B_2)|B_2 \in A_2\} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} S_2 := \{B_2 \subseteq \Omega_2 |X^{-1} (B_2) \in A_1\} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$

Also ich denke ich soll für die Menge S zeigen, dass die Eigenschaften einer $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra erfüllt sind.
Meine erste Verständnisfrage, was ist die Menge $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Das Inverse zu X?

28.03.2008, 21:22

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Urbildmenge: $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) := \Big\{ \omega\in\Omega_1 \Bigm| X(\omega) \in B \Big\} \end{eqnarray*}$

Oder in Worten: Das ist die Menge aller Argumente, deren Funktionswerte in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegen.

Dieses $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ ist also nicht die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \Omega_2\to \Omega_1 \end{eqnarray*}$ , wie du sie vielleicht sonst kennst - das würde ja nur für bijektive $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ klappen. Sondern es ist eine Mengenfunktion $\begin{eqnarray*} \wp(\Omega_2)\to \wp(\Omega_1) \end{eqnarray*}$ . Sollte in der Vorlesung gekommen sein, wenn man sie denn besucht... Augenzwinkern

P.S.: Mit $\begin{eqnarray*} \wp(U) \end{eqnarray*}$ meine ich die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

29.03.2008, 11:42

zwergnase

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Also verstehe ich das so richtig:

I) $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ , welcher in $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ liegen, dann ist $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß: $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist somit Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ . Nun soll man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ ist, aber wie? Würde die Bijektivität von $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ dies zeigen?

@Arthur Dent: P.S Besuchen bedeutet nicht unbedingt gleich Verständnis... ;-)

29.03.2008, 13:40

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Zitat:

Original von zwergnase
I) $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ , welcher in $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ liegen, dann ist $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ .

??? Weder grammatisch, geschweige denn inhaltlich für mich irgendwie verständlich. unglücklich

Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist somit Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$

Nein, eben nicht: Gemäß Definition enthält $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ nur Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ , oder mit der Potenzmenge geschrieben: $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \wp(\Omega_1) \end{eqnarray*}$ .

Anscheinend hast du $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ noch immer nicht verstanden. Mal ein einfaches Beispiel, noch ohne irgendwelche Sigmaalgebren:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega_1 = \{a,b,c\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Omega_2 = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ und die Abbildung

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; \omega=a \;\mbox{oder}\; \omega=b\\ 2 &\;\mbox{für}\;\omega=c\end{cases} \end{eqnarray*}$ . <--- zweite Zeile korrigiert, da stand erst falscherweise b statt c.

Dann ist z.B.

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{2\}) = \{c\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{3\}) = \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{2,3\}) = \{c\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b,c\} \end{eqnarray*}$

usw.

29.03.2008, 16:45

zwergnase

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Zitat:

Anscheinend hast du noch immer nicht verstanden. Mal ein einfaches Beispiel, noch ohne irgendwelche Sigmaalgebren:

Stimmt... Fällt mir schwer!

Etwas ist mir an deinem Beispiel noch unklar: Warum ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{2\}) = \{c\} \end{eqnarray*}$

und

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{2,3\}) = \{c\} \end{eqnarray*}$

, müsste es nicht $\begin{eqnarray*} X(\omega) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; \omega=a \;\mbox{oder}\; \omega=b\\ 2 &\;\mbox{für}\;\omega= c\end{cases} \end{eqnarray*}$ heißen? Oder verstehe ich schon wieder irgendwas nicht so recht? unglücklich

29.03.2008, 17:02

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Richtig - ein dummer Copy+Paste-Schreibfehler. geschockt

Ich korrigiere es gleich ...

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