Bsp Zahlentheorie, 13 teilt (4^(2n+1)+3^(n+2))

30.03.2008, 18:53

gothino

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Bsp Zahlentheorie, 13 teilt (4^(2n+1)+3^(n+2))

Hallo,

Zu zeigen ist das $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray*} 4^{2n+1}+3^{n+2} \end{eqnarray*}$ teilt. Dabei ist Induktion zu verwenden.

Mein Ansatz:
Induktionsanfag: für $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} 4 + 3^{2} = 13 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt von n-1 auf n $\begin{eqnarray*} 4^{2n+1}+3^{n+2} = 48(4^{2n-1}+3^{n+1})-(2*4^{2n+1}+15*3^{n+2}) \end{eqnarray*}$

Wie aber komm ich da weiter?
Beide Möglichkeiten
1) zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} 48(4^{2n-1}+3^{n+1}) \end{eqnarray*}$ durch 13 teilbar ist oder,
wenn ich diesen Term auf die linke seite bringe, zu zeigen dass wenn
$\begin{eqnarray*} (3*4^{2n+1}+16*3^{n+2}) \end{eqnarray*}$ durch 13 teilbar ist (was ich ja aus der Induktion weiß), dass dann auch $\begin{eqnarray*} 4^{2n+1}+3^{n+2} \end{eqnarray*}$ durch 13 teilbar ist?
Danke für jeden Ratschlag
lg
gothino

30.03.2008, 19:05

Leopold

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Du bist nahe dran. Besser ist es aber so:

$\begin{eqnarray*} 4^{2n+1} + 3^{n+2} = 16 \cdot 4^{2n-1} + 3 \cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist es nur eine Kleinigkeit, die $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ ins Spiel zu bringen und die Induktionsvoraussetzung zu verwenden. Siehst du es?

30.03.2008, 19:05

AD

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(gelöscht))

30.03.2008, 20:56

gothino

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Hallo,

hab jetzt einige Zeit draufgeschaut aber seh's leider nicht
Das einige das mir auffällt ist das 16 - 3 = 13
aber ich muss ja irgendwie wegen der Induktionsvoraussetzung auf den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} 4^{2n-1}+3^{n+1} \end{eqnarray*}$ kommen, und ich sehe nicht wie ich diese Ausdruck freistellen kann?

30.03.2008, 21:49

Mathespezialschüler

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Genau durch die dir aufgefallene Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 16\cdot 4^{2n-1}+3\cdot 3^{n+1}=(13+3)\cdot 4^{2n-1}+3\cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

30.03.2008, 22:14

gothino

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ok, danke, jetzt hab ichs kapiert smile

smile

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30.03.2008, 23:53

Dark Knight

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Ich hab keine Ahnung wie ihr auf die Gleichungen gekommen seit...

31.03.2008, 00:59

kiste

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Zitat:

Original von Dark Knight
Ich hab keine Ahnung wie ihr auf die Gleichungen gekommen seit...

und wir haben keine Ahnung wo dein genaues Problem liegt

31.03.2008, 13:06

Dark Knight

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Entschuldigung es war wirklich zu wage formuliert

Also ich kenne Induktion vom Prinzip her. Aber ich kenne es nur so, dass ich beweisen kann dass ich eine Zahlenreihe auch in einem einfacherem Term darstellen kann
Als klassisches beispiel alle Zahlen von 1 bis n

$\begin{eqnarray*} 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Aber Hier habe ich bereits eine Gleichung. Und muss nur noch beweisen dass dann auch gilt

$\begin{eqnarray*} 1+2+...+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} +(k+1) \end{eqnarray*}$

Aber wo ihr aus dem Term und der Annahme er sei durch 13 Teilbar eine Gleichung hernehmt ist mir schleierhaft
Ihr scheint dabei ja einen Weg über einen Gegensatz Beweis zu gehen.
Ich hab versucht mir das so zu erklären, dass ihr beweis wollt die Annahme, es gäbe ein kleinstes n für das die Form nicht mehr gilt, gibt es eben doch nicht

Denn wenn ich in der Form
$\begin{eqnarray*} 4^{2n+1} + 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

n durch k-1 ersetze komme ich auf
$\begin{eqnarray*} 4^{2k-1} + 3^{k+1} \end{eqnarray*}$

Und Leopold hat die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 4^{2n+1}+ 3^{n+2} = 16*4^{2n-1} + 3*3^{n+1} \end{eqnarray*}$

gepostet.

ich verstehe nicht wo ihr die 16 und die 3 hernehmt damit ihr es gleichsetzen könnt.

31.03.2008, 13:09

Dark Knight

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Oh man... Jetzt fällt es mir wie schuppen von den augen^^

$\begin{eqnarray*} 16 = 4^{2} \end{eqnarray*}$
Und weil

$\begin{eqnarray*} 4^{2} * 4^{2n-1} = 4^{2n-1+2}= 4^{2n+1} \end{eqnarray*}$

Sind die beiden Seiten gleich...(das selbe gilt dann auch für den 2ten Summanden)

Stimmt soweit?

31.03.2008, 13:16

kiste

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genau, das ist eine Anwendung der Potenzgesetze. Mit 16 = 13 +3 und ausklammern kann jetzt die Induktionsvoraussetzung benutzt werden

31.03.2008, 13:53

Dark Knight

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Um das nochmal Aufzurollen:
Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} 4^{2*0+1} + 3^{0+2} = 91 \end{eqnarray*}$ stimmt

Induktionsvorraussetzung: Es gibt einen Wert in N für n für den der Term nicht durch 13 Teilbar ist. Aber für n-1 ist der Term durch 13 Teilbar
Also
$\begin{eqnarray*} 4^{2n-1}+ 3^{n+1}=13m \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss

$\begin{eqnarray*} 4^{2n+1}+ 3^{n+2}=16* 4^{2n-1}+ 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13*4^{2n-1}+ 3* ( 4^{2n-1}+ 3^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Dass 13 mal irgendwas durch 13 teilbar ist, ist Trivial. Also erster Summand abgehakt
Durch die Induktionsvorraussetzung ist
$\begin{eqnarray*} 4^{2n-1}+ 3^{n+1} \end{eqnarray*}$
Durch 13 Teilbar. 2ter Summand abgehakt
Da beide Summanden durch 13 teilbar sind ist es auch ihre Summe.

Beweis fertig

Wenn das stimmt will ich mich ganz herzlich bedanken, wenn nicht, dann brauch ich wohl ne noch ausführlichere Erklärung Forum Kloppe

Forum Kloppe

31.03.2008, 14:03

kiste

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Also den Induktionsanfang solltest du nochmal nachrechnen, der Rest ist in Ordnung

31.03.2008, 14:21

Dark Knight

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upps^^

$\begin{eqnarray*} 3+9=13\neq 91 \end{eqnarray*}$

31.03.2008, 15:06

kiste

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naja fast

Big Laugh

31.03.2008, 16:24

Dark Knight

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Man möge mir glauben, dass ich zu einfach Addition und Potenzrechnung fähig bin mir allerdings ein kleiner Tippfehler unterlief^^

4+9=13

31.03.2008, 20:11

gothino

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ein Komiker Big Laugh

Big Laugh

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