Wann Äquivalenzpfeile, wann auf keinen Fall?

24.09.2005, 17:00

Heyho

Wann Äquivalenzpfeile, wann auf keinen Fall?

Ja ich schreibe nächsten Montag eine Klausur in Mathematik und möchte mir nicht durch solche nebensächlichen Formfehler meine Note vermiesen.

Mein alter Lehrer legte keinen großen Wert auf soetwas und so habe ich irgendwie verlernt, wann man solche Pfeile benutzt und wann nicht. Nun habe ich aber einen neuen Pädagogen und der scheint ganz wild auf solche Sachen zu sein. smile

Wann muss ich sie mache, wann darf ich sie nicht machen, wann gehen sie nur in eine Richtung, und wann kann ich vll komplett auf sie verzichten?

Danke für eure Hilfe.

gruß
Heyho

24.09.2005, 17:09

JochenX

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"A => B" bedeutet einfach aus Aussage A folgt Aussage B
du brauchst also 2 AUSSAGEN (sonst kannst sowas schon mal gar nicht benutzen)

aus A folgt B, bedeutet, dass immer wenn A wahr ist auch B wahr ist
also z.b.: x>2 => x>-7
wenn x>2 ist, dann folgt sofort die andere aussage, nämlich, dass x größer -7 ist

"A <= B" sagt natürlich aus B folgt A, völlig analoge bedeutung zu oben

gilt nun sowohl "A => B" als auch "B => A" (was das gleiche wie "A <= B" ist), schreibt man kurz: "A <=> B" (lies: A äquivalent B)

z.b.: x=2 und 7x=14 sagen genau das gleiche aus
also x=2 <=> 7x=14

geholfen?

24.09.2005, 17:16

sqrt(2)

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[edit]Spät, aber dennoch...[/edit]

$\begin{eqnarray*} A\Lra B \end{eqnarray*}$ steht für $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B~\wedge~A\Leftarrow B \end{eqnarray*}$ .

Beispielsweise gilt

$\begin{eqnarray*} 2x=4~\Lra~x=2 \end{eqnarray*}$ ,

denn von links nach rechts kann man mit 1/2 multiplizieren, von rechts nach links mit 2 multiplizieren, um die jeweils andere Gleichung zu erhalten.

Anders sieht es hier aus:

$\begin{eqnarray*} x=2~\Ra~x^2=4 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x^2=4~\not\Ra~x=2 \end{eqnarray*}$ ,

denn aus $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ kann auch $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ folgen. Es ist also

$\begin{eqnarray*} x^2=4~\not\Lra~x=2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x^2=4~\Lra~|x|=2 \end{eqnarray*}$ .

Bei Umformungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (jeweils auf die gesamte Gleichung bezogen) kannst du bedenkenlos Äquovalenzpfeile setzen, bei anderen Umformungen musst du nachdenken.

24.09.2005, 17:28

Heyho

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Mal gucken ob ich es verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} -2\cdot X + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot X = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = 1 \end{eqnarray*}$

Bei dieser Termumformung kann ich also Äquivalenzpfeile ein bringen, jeweils also ein <=>.

Ist soetwas denn Pflicht, also können mir Punkte abgezogen werden, wenn ich bei einer solchen Umformung die Pfeile vergesse?

Ein anderes Beispiel ist soetwas hier:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \cdot X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 <=> 2 \cdot X = 0 \end{eqnarray*}$

Ist der Pfeil hier richtig, überflüssig, etc?

Danke für eure Hilfe,

gruß
Heyho

24.09.2005, 17:34

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Heyho
Mal gucken ob ich es verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} -2\cdot X + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot X = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 1 \end{eqnarray*}$

Bei dieser Termumformung kann ich also Äquivalenzpfeile ein bringen, jeweils also ein <=>.

Wenn im letzten Term X statt u steht, dann ja.

Zitat:

Original von Heyho
Ist soetwas denn Pflicht, also können mir Punkte abgezogen werden, wenn ich bei einer solchen Umformung die Pfeile vergesse?

Das kommt auf deinen Lehrer an. Meine haben bisher darauf verzichtet, die Pfeile zu verlangen, aber eigentlich sind sie es, die die Gleichungen, die du da hinschreibst, erst in Zusammenhang bringen.

Zitat:

Original von Heyho
$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \cdot X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 <=> 2 \cdot X = 0 \end{eqnarray*}$

Ist der Pfeil hier richtig, überflüssig, etc?

Richtig (zumindest nicht falsch) und überflüssig. Wenn du keine Umformung machst, sondern nur einsetzst, brauchst du keine Äquivalenzpfeile, denn es handelt sich links und rechts vom Pfeil um die gleiche Aussage ( $\begin{eqnarray*} A\Lra A \end{eqnarray*}$ ist eine Tautologie).

24.09.2005, 17:40

Heyho

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Also eigentlich kann ich überall Äquivalenzpfeile machen, bis auf solche Exoten, wie Quadrierungen und Wurzelziehung?

Und ja, das U war natürlich ein Tippfehler......

gruß
Heyho

24.09.2005, 17:44

JochenX

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Zitat:

Original von Heyho
Also eigentlich kann ich überall Äquivalenzpfeile machen, bis auf soclhe exoten, wie quadrierungen und wurzelziehung?

wann du äquivalenzpfeile machen kannst, haben wir oben gesagt

solche pfeile gibt es nicht immer nur bei umformungen, die können immer dann auftreten, wnn du irgendwelche aussagen hast (bei termumformungen eben die aussagen der terme)
könntest du z.b. hier einen äquivalenz- oder folgepfeil setzen?
Aussage A: "heute scheint die sonne"
Aussage B: "morgen ist weihnachten"
Aussage C: "Ein Baum ist ein Baum"
ja kannst du: A=>C, bzw. B=>C wären richtig
A<=>A etc sind natürlich auch richtig

A=>B wäre hingegen falsch; beachte, dass A=>B wiederum eine aussage ist!

mfg

24.09.2005, 17:47

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Heyho
Also eigentlich kann ich überall Äquivalenzpfeile machen, bis auf solche Exoten, wie Quadrierungen und Wurzelziehung?

Nein, $\begin{eqnarray*} \Lra \end{eqnarray*}$ überall $\begin{eqnarray*} \Lra \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \Lra \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \Lra \end{eqnarray*}$ schlechte $\begin{eqnarray*} \Lra \end{eqnarray*}$ Idee.

Für die Aufgaben mit denen du wohl konfrontiert sein wirst: Mache Äquivalenzpfeile dort, wo du Gleichungen äquivalent umformst, sonst nicht. Wenn du sie woanders machst sind sie entweder falsch (Nicht-Äquivalenzumformung) oder unsinnig (wenn du gar keine Umformung machst) und verwirren nur.

24.09.2005, 17:56

Heyho

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Wäre es möglich, dass ich morgen mal eine von meinen Aufgaben hierreinstelle ( eine Funktionenschar - Untersuchung ) mit Äquivalenzpfeilen und allem drum und dran und ihr sagt mir, ob ich die formellen Regeln eingehalten habe?

Schonmal Danke für eure Hilfe bis jetzt.

gruß
Heyho

24.09.2005, 18:00

sqrt(2)

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Klar ist das möglich.

24.09.2005, 18:01

JochenX

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ist möglich

bei umformungen solcher art schreibe ich übrigens fast nie äquivalenzpfeile hin
man liest solche dinge von oben nach unten und dann folgt immer das untere aus dem oberen

noch als nachtrag, was ich schon öfters gesehen habe:
verwende nicht <=> statt =, wenn du berechnungen durchführst, z.b. sowas
2x+7+4+3x <=> 5x+11
ist bäh

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