1/0 = unendlich

04.04.2008, 13:05

RDave

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1/0 = unendlich

Hallo Community,

heute hatte ich eine Kurze diskussion mit meinem Mathe-Lehrer
ich behaupte nämlich, dass 0 der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Und hier, wie ich darauf Komme:

1. Bildet man den Kehrwert eines Kehrwertes einer belibigen Zahl n, erhält man die Zahl n selbst.
z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \end{eqnarray*}$

2. Der Kehrwert einer Zahl n multipliziert mit der Zahl n selbst ist 1
z.B $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot 6 = 1 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------

Analog dazu mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (und kommt mir bitte nicht mit "das ist nicht definiert", denn ich behaupte genau das Gegenteil!)
1*. Der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist demnach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Der Kehrwert davon ist demnach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{\infty}} = \infty \end{eqnarray*}$

2*. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \cdot \infty = 1 \end{eqnarray*}$ , da der Kehrwert einer Zahl n multipliziert mit der Zahl n, n ergibt.

ABER! $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ = 0, so wie 0,9999..... = 1 ist

=> also ist $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty = 1 \end{eqnarray*}$

=> 0 ist der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.

-----------------------------------------------

Mein Lehrer hat nun damit argumentiert:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = b \cdot x \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ , dann müsste ja $\begin{eqnarray*} a = 0 \cdot x \end{eqnarray*}$ sein,

was nur sein kann, wenn $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Gegenargument war nun:
außer 0 ist der Kehrwert einer anderen Zahl, wie z.B $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
Dann wäre es möglich, denn der Kehrwert einer Zahl n mal die Zahl n ist 1
$\begin{eqnarray*} (\frac {1}{\frac{1}{n}}=n) \end{eqnarray*}$

Es wäre schön, wenn ich einen Gegenbeweis sehen würde, der nicht vorraussetzt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ nicht definierbar ist.
Denn was ist es für ein Beweis "ja" zu sagen, wenn ich "nein" behaupte smile

smile

Dave

04.04.2008, 13:15

klarsoweit

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RE: 1/0 = unendlich

Zitat:

Original von RDave
Analog dazu mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (und kommt mir bitte nicht mit "das ist nicht definiert", denn ich behaupte genau das Gegenteil!)

Doch genau damit komme ich. $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist kein Element irgendeines Zahlenraums, mithin keine Zahl, mit der man rechnen kann.

EDIT: und wenn ich mich nicht irre, wurde das Thema hier schon x-mal mit äußerst geringem Erfolg diskutiert.

04.04.2008, 13:20

tigerbine

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Das ist wohl so. Vielleicht kommen die Schwierigkeiten daher, dass in der Schule zu leichtfertig mit diesem "Symbol" umgegangen wird?

Erweiterte reelle Zahlen

Was bedeutet das Symbol

04.04.2008, 14:23

AD

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Zitat:

Original von klarsoweit
und wenn ich mich nicht irre, wurde das Thema hier schon x-mal mit äußerst geringem Erfolg diskutiert.

Genau. Ich kann mich an unzählige und unsägliche Diskussionen erinnern, wo die 1/0-Innovatoren alle Augen und Ohren verschlossen vor so lästigen Gegenargumenten wie "Gültigkeit der algebraischen (Kommutativ-,Assoziativ-,Distributiv-)Grundgesetze". Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.04.2008, 14:24

tmo

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RE: 1/0 = unendlich
Gut. Dann nehme ich mal an es sei so definiert, wie du es definierst. Wir betrachten Unendlich also als Zahl, mit der man rechnen kann.

Wegen $\begin{eqnarray*} 1^2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0^2=0 \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \infty = \frac{1}{0} = \frac{1^2}{0^2} = \left(\frac{1}{0} \right)^2 = \infty^2 \end{eqnarray*}$

Also hat die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-x=0 \end{eqnarray*}$ neuerdings 3 Lösungen verwirrt

verwirrt

04.04.2008, 14:38

klarsoweit

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RE: 1/0 = unendlich
Es ging ja eigentlich darum, daß Null der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Wir haben also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{100000}{\infty} = 100000 \cdot \frac{1}{\infty} = 100000 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} = \frac{100000}{\infty} \end{eqnarray*}$

Multiplikation dieser Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ führt zu: $\begin{eqnarray*} 1 = 100000 \end{eqnarray*}$

Also RDave: ich überweise dir 1 € und du überweist mir 100000 €. Das dürfte dir ja nichts ausmachen, denn in deiner Welt ist das ja das gleiche. smile

smile

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04.04.2008, 14:46

RDave

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@klarsoweit: gut, das wusste ich nicht, dass man mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gar nicht rechnen darf
aber zur abwehr mit dem "x-mal besprochen" kann ich sagen, dass die suche kein "1/0" begriff erlaubt hat smile

smile

sorry, desswegen

@tigerbine: Danke für die Links, finde ich total Interessant.

@Arthur Dent: Ich hoffe ich komme nicht als sturer 1/0-Innovator rüber. Man merkt etwas, dass ihr schlechte Erfahrungen mit dieser Frage habt.

@timo:
Also ich kenne mich da nicht so aus, aber auf *dieser Seite (*klick mich*) steht, dass [latex]\infty \cdot a = \infty[latex].

------------------------------------------------------------------------

Das ist ja alles sowieso sehr theoretisch.
Interessehalber: Würde die angebliche Tatsache überhaupt etwas ändern?

Dave

04.04.2008, 14:47

Airblader

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Vor allem wird der Satz "das ist nicht definiert" grundlegend falsch verstanden.
Ob man etwas kann, ist eine Sache.

Dass es nicht definiert ist, ist keine Streitsache, sondern Fakt.
Und das ist deswegen gut so, weil sich Widersprüche ergeben. Eine Ausnahme stellt hir die Zweipunktkompaktifizierung von |R dar, in der zumindest einige Rechnungen mit unendlich möglich sind, aber auch nicht alles.

Zur Definition ist also nichts zu beweisen o.ä. Es ist einfach nicht definiert. Punkt. Ende. Aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die andere Frage ist, ob man eine sinnvolle Erweiterung auf |R durchführen kann, so dass sich unendlich widerspruchsfrei einführen lässt.
Dies ist momentan aber eben nur bedingt möglich.

Und um dir nun noch zu zeigen, warum allein deine Behauptung unsinnig ist:
Du siehst unendlich als eine reelle Zahl an. Das ist sie nicht. Daran kannst du nichts ändern, denn |R ist eben ohne unendlich festgelegt/definiert.

smile

smile

Edit:
Dass a*oo = oo ist, stimmt erstens nur für relle a und zweitens nur auf der o.g. Zweipunktkompaktifizierung.

Und ja, es ändert einiges. Nämlich entstehen Widersprüche.

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2-x \to \infty \end{eqnarray*}$ , aber wie tmo oben "bewiesen" hat, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2-x = 0 \end{eqnarray*}$ .
Ein Grenzwert muss bei Existenz aber eindeutig sein. Also existiert entweder kein Grenzwert oder es ist oo=0.

air

04.04.2008, 14:48

RDave

Auf diesen Beitrag antworten »

@Klarsowei: wow!!

das ist eine gute lösung

Danke!
Dave

04.04.2008, 16:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Dass a*oo = oo ist, stimmt erstens nur für relle a und zweitens nur auf der o.g. Zweipunktkompaktifizierung.

Die Zweipunktkompaktifizierung ist rein topologisch und hat nichts mit Rechenoperationen zu tun.

Zitat:

Original von Airblader
Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2-x \to \infty \end{eqnarray*}$ , aber wie tmo oben "bewiesen" hat, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2-x = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nein, er hat $\begin{eqnarray*} \infty^2 - \infty = 0 \end{eqnarray*}$ "bewiesen".

Zitat:

Original von Airblader
Ein Grenzwert muss bei Existenz aber eindeutig sein.

Das stimmt nicht - zumindest nicht in allgemeinen topologischen Räumen.

04.04.2008, 16:46

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Zitat:

Original von RDave
@Arthur Dent: Ich hoffe ich komme nicht als sturer 1/0-Innovator rüber.

Nein, du bisher nicht, du hörst dir auch die Gegenargumente an. Das kann man nicht von jedem deiner "Vorgänger" sagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.04.2008, 18:06

RDave

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich für meinen Teil bin überzeugt.
War 'ne interessante Sache.
Sehr aktive Community hier. Sehr schnelle hilfe. Dafür ein großes Lob!
Danke für die Antworten trotz "x-ten mal besprochen"

mfg
Dave

Wink

Wink

04.04.2008, 18:57

RDave

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bedaure sagen zu müssen, dass ich doch nicht überzeugt bin.

Den Beweis von klarsoweit habe ich nicht verstanden, weil:

wikipedia sagt:

Zitat:

* Eine Zahl geteilt durch Unendlich ergibt Null:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a}{-\infty} = 0 \end{eqnarray*}$
Es sei darauf hingewiesen, dass dies nicht in die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0\cdot(\pm \infty) = a \end{eqnarray*}$ umgewandelt werden kann!

Man darf also nicht die Gleichung umwandeln!
(Warum auch immer)
D.h. schonmal, meine Behauptung unendlich mal 0 = 1 fällt weg.

@klarsoweit: Noch etwas zu deiner Argumentation. Die Gleichung 1/unendlich = 1000/unendlich stimmt ja, da 0 = 0 und nach wiki a/unendlich = 0.
Und ich habe gelernt, dass wenn man die selbe Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durchführt, der Wert der Gleichung erhalten bliebt. D.h. durch "mal 5" auf beiden Seiten, kann nicht das Gleichheitszeichen nicht mehr stimmen.
Das wäre also ein Wiederspruch. Womit wohl gezeigt wäre, warum man nicht die Gleichung umstellen darf.

Aber wie schaut es mit den Kehrwerten aus?
Fallen die dann auch weg?

1/unendlich = 0 scheint ja zu stimmen.
aber 1/0 = unendlich nicht ....

Was bedeutet denn "Folgen von positiven reellen Zahlen"?

wikipedia:

Zitat:

...beschränkt man sich allerdings auf Folgen von positiven reellen Zahlen, so gilt $\begin{eqnarray*} \frac{a}{0}= \infty \end{eqnarray*}$ .

Dave

04.04.2008, 20:56

AD

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Auch Wikipedia kann irren... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man sollte nicht - wie im Wikipediaeintrag dahingemauschelt - diese Grenzwertbildungen mit festen algebraischen Operationen beschreiben wollen, das geht schief.

04.04.2008, 21:42

WebFritzi

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Gib doch mal den Link zur Wiki-Seite, bitte.

04.04.2008, 23:09

TheWitch

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte sehr: Unendlichkeit bei Wiki - dort unter 2.1.1 "Weitere Operationen mit"

Der Artikel selber ist gesperrt, Anmerkungen finden sich auf der Diskussionsseite.

05.04.2008, 03:23

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schau dir im Abschnitt darüber mal an, wie diese "Regeln" zu lesen sind.

05.04.2008, 12:34

TheWitch

Auf diesen Beitrag antworten »

(Ich war lediglich so freundlich, den Link zu legen. Ich bin duchaus in der Lage, das zu lesen.)

05.04.2008, 14:52

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

TheWitch != RDave. Alles klar. Sorry. Mit Zunge

Mit Zunge

05.04.2008, 15:19

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

RDave:

Zitat:

Sehr aktive Community hier. Sehr schnelle hilfe. Dafür ein großes Lob!

Dann registrier dich doch! Du scheinst Spaß an der Mathematik zu haben, durch solche Leute sind wir die Community die wir sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und natürlich durch Chuck Norris der bekanntlich sogar durch 0 teilen kann (das musste jetzt sein Big Laugh

Big Laugh

).

05.04.2008, 15:24

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zellerli
Und natürlich durch Chuck Norris der bekanntlich sogar durch 0 teilen kann (das musste jetzt sein Big Laugh

Big Laugh

).

Er hat das auch schon gemacht. Zwei mal. Big Laugh

Big Laugh

10.03.2009, 18:15

cryp

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 1/0 = unendlich
Du kannst es so begründen:
Die Steigung einer constanten ist null. Wenn eine Gerade senkrecht auf dieser steht ist ihre Steigung = unendlich.
Also ist damit bewiesen, dass der Kehrwert von 0 = unendlich ist.

10.03.2009, 18:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 1/0 = unendlich
Wer stört den Schlaf dieses Ungeheuers?
Manche Threads werden einfach nicht in Ruhe gelassen.

Und, lieber kryptischer Besucher, was hältst du von der folgenden Argumentation:

Zitat:

Manipuliertes Original von cryp
Du kannst es so begründen:
Die Steigung einer constanten ist null. Wenn eine Gerade senkrecht auf dieser steht ist ihre Steigung = minus unendlich.
Also ist damit bewiesen, dass der Kehrwert von 0 = minus unendlich ist.

Und machen wir noch etwas weiter. Wir sahen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} = \infty \ \ \text{und} \ \ \frac{1}{0} = - \infty \end{eqnarray*}$

Subtrahieren wir diese Gleichungen voneinander:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} - \frac{1}{0} = \infty - (- \infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \infty \end{eqnarray*}$

10.03.2009, 19:09

Daniel45b

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Schule wissen die Lehrer selbst oft nicht was das Symbol bedeutet, das wie eine umgedrehte Acht aussieht. Nicht selten nämlich bringen sie den Schülern bei, dass "Unendlich" sozuzsagen das Ende des Zahlenstrahls sei. Und da wahrs. jeder Schüler die "Zahl" unendlich einfach so vorgesetzt bekommt, ohne ausreichende Kenntnisse über den Grenzwertbegriff und Notationen für gewisse undefinierte und unklare Dinge in der Mathematik zu besitzen, passiert es ganz schnell, dass Unendlichkeit zu einer Zahl gehört.
Dass das stimmt, kann man beweisen indem man die 16-Jährige NICHT gleichgültig sondern erheitert und zufrieden dreinblicken sieht, wenn ihr ihr erster Freund sagt, er liebe sie unendlich mal mehr als sie ihn. Ja.

16.11.2010, 21:58

AcCeRr

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Re: 1/0 = oo
Nur mal zum Verständnis für alle, die behaupten 1/0 = oo...
1/0 ist ungleich oo, da man nicht durch 0 teilen kann. Das lernt man in der vierten Klasse. In der 10ten lernt man dann : lim 1/x für x --> 0 = oo...
Jetzt zu "unendlich". Dies ist kein bestimmter Wert sondern beschreibt einfach, dass das ndliche immer größer wird...

17.11.2010, 08:28

klarsoweit

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RE: 1/0 = unendlich
Man faßt es nicht, wieder jemand, der das Ungeheuer weckt. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Leopold
Wer stört den Schlaf dieses Ungeheuers?
Manche Threads werden einfach nicht in Ruhe gelassen.

Wie wahr, deshalb werde ich den jetzt schließen.

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