Flächeninhalt Achteck

04.04.2008, 19:07

Ichichich

Flächeninhalt Achteck

Hallo,

wir sollten für die Schule einen Kreis zeichnen und ein Achteck um denselben legen, dessen Flächeninhalt wir dann bestimmen. Radius des Kreises ist 5cm - und ich habe keine Ahnung, wie ich den Flächeninhalt bestimmen kann... Trgonometrie hatten wir noch nicht; meine Lehrerin meinte, es müsste über die Strahlensätze funktionieren, aber wie, das weiß ich auch nicht. Könnt ihr mir vielleicht auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank...

04.04.2008, 19:36

Alex-Peter

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RE: Flächeninhalt Achteck
Zeichne doch einen Kreis mit vorgegebenem Radius, errichte darin eine Senkrechte und eine Waagerechte durch den Mittelpunkt, ebenso kannst Du durch Halbieren ein weiteres Kreuz konstruieren und danach jeweils Tangenten an Enden der Kreuze, also am Kreisumfang errichten. Und schon hast du dein 8-Eck. Dann überlegst Du dir wie du die Berechnung angehst.

04.04.2008, 20:33

Ichichich

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Ja, das Achteck habe ich auch schon konstruiert, das war kein Problem, aber ich komme beim Flächeninhalt einfach nicht weiter, weil mir immer irgendwie eine Angabe fehlt... verwirrt

04.04.2008, 20:52

Alex-Peter

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RE: Flächeninhalt Achteck
Da ist nun die Frage, auf welche Art Du das, entsprechend deiner Schulbildung ausführen kannst.
Der Winkel eines Dreiecks ist bestimmbar, den Radius hast Du auch,
Du kannst aber auch die Fläche des Quadrats berechnen und die 4 verbleibenden Flächen der Ecken davon subtrahieren. Das liegt nur daran, wie weit deine Kenntnisse bereits sind
Zusatz:
Vieleicht kannst du die Länge der Sehne eines Kreissektors berechnen, und dann weiter mit dem Strahlensatz die Länge der äußeren Dreieckseite bestimmen....
Erweiterung:
Die Sehnenlänge ist leicht zu bestimmen, denke an den Höhensatz in einem Dreieck, p*q=h*h dann kommst Du ans Ziel.

04.04.2008, 22:50

TheWitch

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RE: Flächeninhalt Achteck
Hier eine Skizze. Irgendwelche großen Verrenkungen sind nicht notwendig, um a aus r zu berechnen.

[attach]7912[/attach]

05.04.2008, 11:33

ichichich

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Danke, das hat mir schon sehr weitergeholfen:

$\begin{eqnarray*} r = x + 0,5a \end{eqnarray*}$
Satz des P.: $\begin{eqnarray*} x^{2} + x^{2} = a^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^{2} = a^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = a \sqrt{} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} r = a\sqrt{} \frac{1}{2} + 0,5a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r: (\sqrt{0,5}+0,5) = a \end{eqnarray*}$
a = ca. 4,14cm

Wenn das soweit stimmt, kann ich den Flächeninhalt errechnen:

A = ca. 82,8cm^2

Stimmt das?

05.04.2008, 12:22

TheWitch

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Ja, das ist richtig.

Aber versuch mal übungshalber, deinen Ausdruck für a weiter umzuformen und daraus eine Flächeninhaltsformel herzuleiten - damit du nicht einen gerundeten Wert für a einsetzen musst. Tipps dazu:

1. $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}}= \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

2. Der Nenner der nach a aufgelösten Gleichung enthält, wenn du die Umformung aus 1. verwendest und im Nenner $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert hast, den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} + 1) \end{eqnarray*}$ . Rationalisiere diesen Nenner durch Erweitern des Bruches mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} - 1) \end{eqnarray*}$ .

05.04.2008, 12:23

mYthos

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A = 82,84 (nicht zu viel abkürzen, bzw. mit mehr Stellen rechnen), sonst richtig!

mY+

05.04.2008, 12:30

Alex-Peter

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RE: Flächeninhalt Achteck
Das 8-Eck, bei einem Radius von 5cm hat bei mir eine Fläche von 70,711cm²
Zur Kontrolle, die Seitenlänge = 3,8268cm
Ich werde es nochmal nachrechnen, bin aber sicher richtig gerechnet zu haben.

Dein Ergebnis wird stimmen, ich habe versehendlich diesmal mit dem Umkreis, anstatt dem Inkreis gerechnet.

Radius versehendlich als Umkreis !!!!

05.04.2008, 12:40

mYthos

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Das Achteck ist dem Kreis UMgeschrieben, also ist die Höhe des Teildreieckes gleich 5.

mY+

05.04.2008, 13:01

ichichich

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Okay, dann erhalte ich für a:

$\begin{eqnarray*} a = [r(\sqrt{2} - 1)] : 0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = 8 r^{2} (\sqrt{2} - 1) \end{eqnarray*}$

Richtig?

05.04.2008, 13:48

mYthos

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Ja, das stimmt.

Mein Vorpost war eigentlich an Alex-Peter gerichtet, er hat offensichtlich die Angabe mißinterpretiert. Somit hätte ich eine Berichtigung von ihm erwartet!

mY+

05.04.2008, 13:53

ichichich

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Vielen Dank für die Hilfestellungen, das hat mir sehr geholfen!!! Freude

05.04.2008, 13:59

TheWitch

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Zitat:

Original von ichichich
Okay, dann erhalte ich für a:

$\begin{eqnarray*} a = [r(\sqrt{2} - 1)] : 0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = 8 r^{2} (\sqrt{2} - 1) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Ganz wunderbar. Dass das richtig ist, hat dir ja schon mYthos bestätigt. Allerdings lässt sich der Ausdruck für a noch vereinfachen zu $\begin{eqnarray*} a = 2r(\sqrt{2} - 1) \end{eqnarray*}$ (statt durch 0,5 zu dividieren, kannst du mit 2 multiplizieren - Kehrwertregel).

05.04.2008, 14:08

Alex-Peter

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Hallo mYthos:

ich hatte meine Korrektur noch vor deinem Hinweis selbst bemerkt und auch korrigiert,
und als ich den Thread verlassen hatte, da stand dann dein Hinweis nach meiner Verbesserung. Also nahm ich an, dass Du das gesehen haben musst.
Aber trotzdem noch ein Danke an dich! Sowas kann ja mal passieren.

Ich nehme an, ich war vor dir in meinem Thread, bin aber erst nach dir wieder rausgegangen, das geht aus der Uhrzeit hervor.

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