körper-aufgaben |
| 25.09.2005, 11:06 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| körper-aufgaben eine frage: ich lerne gerade ein wenig analysis und da wird unter dem themenbereich KÖRPER eine aufgabe gestellt: man konstruiere einen körper, der genau drei elemente enthält. meine lösung: K = (x,y,z) K = (-1,0,1) das kommt doch raus,wenn man einfach die körpergesetze anwendet oder? bei meinem buch sind leider keine lösungen dabei...kann mir wer sagen, ob das stimmt und wenn nicht, warum das falsch ist?? danke und gruß,razer. |
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| 25.09.2005, 11:21 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich hab auch schon das nächste problem: es sei x element von K mit x ungleich 0.Beweise: a) x^-1 ungleich 0 b) (x^-1)^-1 = x zu a: wenn in der angabe steht, dass x element eines körpers sei, dann kann x^-1 ja gar nicht null sein, da nach den körpergesetzen x * x^-1 = 1 ist. wenn in dieser gleichung der teil x^-1 null wird, kann am ende nichtmehr eins rauskommen und das gesetz für das bestehen des körpers wäre verletzt..oder? zu b: keine ahnung wie ich das beweisen soll.....wie ihr sicherlich merkt, hab ich nur die schulmathematik drauf und fange erst jetzt an richtig mathe zu machen...daher fehlt mir noch ein wenig 
das mathematische verständnis.....aber vl könnt ihr mir weiterhelfen... gruß,razer. |
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| 25.09.2005, 12:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
erst zur ersten frage: ob deine körperelementmenge {-1,0,1} oder {0,1,2} oder {harald, herbert, mr. zylinder} lautet ist völlig wurscht wichtig ist, wie sie auf die verknüpfungen reagieren verknüpfungstabelle dazuschreiben! |
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| 25.09.2005, 19:13 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hi. erstmal danke für deine antwort.ich hab nun auch die "suchen" funktion betätigt. sowie ich das verstehe, ist ein körper eine menge, welche gewissen gesetzen gehorcht.ich hab beim suchen auch einiges an verknüpfungstabellen etc gefunden, aber in meinem buch stand davon eigentlich nichts....es gab lediglich ein kapitel mit dem namen abbildungen/funktionen, in welchem verknüpfungen eine rolle spielten.aber von einer tabelle war da nichts. aber ich denke, dass die "+" tabelle so aussehen könnte: +l 0 -1 1 ----------------- 0l 0 -1 1 -1l-1 1 0 1l 1 0 -1 stimmt das und wenn ja was kann ich damit anfangen? danke im vorraus,razer |
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| 25.09.2005, 19:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
informiere dich erst mal genauer übe einen körper, wenn du damit arbeiten sollst deine tabelle ist gut, es fehlt aber noch die der multiplikation, für die auch gewisse regeln gelten müssen was du mit der tabelle tun kannst? du kannst ablesen, was dabei rauskommt, wenn man zwei bestimmte elemente verknüpft |
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| 25.09.2005, 20:12 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok..... hm und was ist wenn ich es so mache: x=-1 y=1 z=0 ADDITION: 1) x+y+z =x+z+y=y+x+z=y+z+x=z+x+y=z+y+x -1+1+0=-1+0+1=1-1+0=-1+0-1=0-1+1=0+1-1 = 0 2) (x+y) +z = x+(y+z) (-1+1)+0 = -1+(0+1) = 0 es existiert auch ein nullelement zu jedem element ein inverses. damit wär die addition erledigt. MULTIPLIKATION: Kommutativ- und assoziativgesetz sind ebenfalls erfüllt, einserelement ist vorhanden und dieses element^-1 gilt auch. weiters ist das distribuitivgesetz auch erfüllt..... folglich handelt es sich bei der menge (-1,0,1) um einen körper... stimmt das? gruß,david. |
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| 25.09.2005, 21:09 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In der Aufgabe steht ja, das du einen Körper mit drei Elementen konstruieren sollst! Dazu nutzt du natürlich die Eigenschaften die ein Körper haben muss. Aber deine Lösung kann man leider nicht als Konstruktion bezeichnen. Vielleicht warst du ja auch nur ein bisschen zu faul alles gut begründet aufzuschreiben *g Anfangen solltest du folgendermassen: Jeder Körper besitzt mindestens zwei Elemente : das additive und das multiplikative neutrale Element. Ausgehen davon konstruierst du jetzt das 3. Element mit Hilfe der Eigenschaften eines Körpers. |
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| 25.09.2005, 21:15 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
deinem letzten post kann ich nicht folgen 
poste deine verknüpfungstabelle für deine multiplikative verknüpfung erst einmal mfg jochen |
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| 25.09.2005, 23:01 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oki 
* l 0 -1 1 0l 0 0 0 -1l 0 1 -1 1l 0-1 1 |
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| 25.09.2005, 23:05 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja und neben dem additiv bzw. dem multiplikativ neutralem noch ein inverses oder? das heißt wenn ich drei elemente habe,dann gilt z.B.: a=additiv neutral b=multiplikativ neutral ...aber muss dann c nichtgleich "-b" sein?? gruß,razer |
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| 25.09.2005, 23:21 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du betrachtest 2 Fälle: 1.Fall : b und c sind jeweils selbstinvers bzgl. der Addition, was aber zu einem wiederspruch führt Damit bleibt nur der 2.Fall b und c sind invers zueinander, also wie du gesagt hast b = -c |
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| 25.09.2005, 23:33 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
langsam versteh ich auch was,danke!!!! aber irgendwie wurde in meinem buch ziemlich viel unterschlagen,obwohl meine lösung (-1,0,1) ja schlussendlich doch stimmte,irgendwie zumindest
razer |
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| 25.09.2005, 23:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
diese ausdrucksweise ist schlichtweg falsch den körper macht viel mehr aus, als nur die elemente, wobei deine bezeichnung sogar eher ungewöhnlich ist [wenn es dich interessiert, dein körper ist isomorph zum restklassenkörper Z/3Z, daher nennt man die elemente für gewöhnlich {0,1,2}, oft auch mit strich drüber (restklassen) wenn du das alles nicht verstehst, dann mach dir aber nichts draus] mfg jochen ps:
hallo irreflexiv! ich halte aufstellen der verknüpfungstafeln und nachprüfen (aller!) körpereigenschaften für völlig ausreichend..... aber ist sicher ansichtssache bzgl. "konstruieren" |
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| 25.09.2005, 23:47 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*heul*...... und was wäre dann die richtige lösung bzw. ausdrucksweise? was sagst du zu meiner zweiten aufgabe...? mfg david |
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| 25.09.2005, 23:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
die ausdrucksweise ist eben, das {0,1,-1} mit den unten gegebenen verknüpfungen einen entsprechenden körper bildet! ein körper ist nämlich ein TRIPEL elementmenge additive verknüpfung (nennen wie die +) multiplikative verknüpfung (nennen wir die *) dann sagst du z.b. ({0,1,-1};+;*) ist ein körper mit folgenden veknüpfungstafeln..... etc. zu deiner zweiten aufgabe: wenn du das folgende bewiesen hast: 0*a=0 für alle a aus deinem körper, dann ist dein erster schluss völlig richtig sei 0 das inverse zu x^-1<>0 x*0 müsste dann ja zugleich 0 sein, aber auch 1 widerspruch zu 0<>1!
benutze die eindeutigkeit des multiplikativen inversen |
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| 25.09.2005, 23:57 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke erstmal! mir fallen gleich dir augen zu,deswegen werd ich morgen weiter machen ... mfg david |
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| 26.09.2005, 09:00 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(x^-1)^-1 = x (1/x)^-1 =x x= x aber ich schätze das wird es sicher nicht gewesen sein... mfg David p.s.: multiplikativ invers zB für a bedeutet dann 1/a oder? edit: wie wärs damit? (x^-1)^-1 = x (x^-1)^-1 - x= 0 (1/x)^-1 - x = 0 x- x = 0 (x^-1)^-1 = x eine frage: was bedeutet das,wenn ein element des körpers selbstinvers ist? mfg david |
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| 26.09.2005, 10:25 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
soooo: hier ein körper,welcher 5 elemente enthalten soll(ich hoffe es stimmt) ({0,1,2,3,4};+;*) ist ein körper. verknüpfungstafeln: + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 * 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 addition: neutrales ist 0 2 und 3 sind invers zueinander 1 und 4 snd invers zueinander multiplikation: neutrales ist 1 1 ist selbstinvers 2 und 3 sind invers zueinander 4 ist selbstinvers -------------------------------------------------------- ich glaube,das müsste stimmen...durch einen andren thread weiß ich jetzt, was selbstinvers modulo etc bedeutet.... das forum ist einfach genial
mfg david |
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| 26.09.2005, 11:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nein nein nein a^-1 als 1/a zu schreiben ist nur eine andere schreibweise 1/a für das multiplikative inverse und -a für das additive inverse besagen nichts neues, spart nur schreibarbeit dein weg sollte so sein: du suchst mit (x^-1)^-1 das multiplikative inverse zu (x^-1) zeige jetzt einfach, das x dieses inverse ist, denn nämlich mit der eindeutigkeit des multiplikativen inversen folgt der rest |
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| 26.09.2005, 11:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jepp, alles richtig. Das ist der Restklassenkörper modulo 5, meist durch (manchmal auch nur kurz ) symbolisiert. EDIT: ... bezieht sich natürlich nur auf den letzten Beitrag von razer. |
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| 26.09.2005, 15:47 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*______x^-1_____x x^-1___x^-2_____1 x_______1______x^2 folglich ist: x^-1 *x = 1 und x somit das mult. inverse von x^-1..... was sagst du dazu? mfg david |
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| 26.09.2005, 16:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bitte was?? das kann ich so nicht nachvollziehen |
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| 26.09.2005, 16:45 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verschoben |
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| 26.09.2005, 17:47 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sorry,die linien sind nur dazu da, dass die dinge übereinander stehen.sonst ist alles so verschoben und man erkennt noch weniger.... |
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| 26.09.2005, 17:51 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
argh, das ist trotzdem noch unverständlich überhaupt solltest du mit x^-2 aufpassen....... x^-1 ist ja nur vereinfachte schreibweise hat keine besondere rechenbedeutung also anders angehen: bekannt: x ist invers zu x^-1 zu was aber ist (x^-1)^-1 invers? also? |
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| 26.09.2005, 18:03 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ahhhhhh.....
(x^-1)^-1 * x^-1 = 1 l /x^-1 (x^-1)^-1 = 1/x^-1 = x was sagst du dazu? mfg david |
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| 26.09.2005, 18:06 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das ist das entscheidende, den rest ignorieren wir mal hier hast du doch einfach a^-1*a und das gibt 1! also ist (x^-1)^-1 invers zu x^-1 und da x auch invers dazu ist und das inverse eindeutig ist...... klarer fall, hm? |
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| 26.09.2005, 18:14 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das heißt weil (x^-1)^-1 das inverse zu x^-1 ist und dieses wiederrum das inverse zu x sind x und (x^-1)^-1 das gleiche? wie schreibt man das hin?was is das zeichen für invers?<=>? und kann man das dann allgemein so deuten? a invers b invers c bedeutet a = c? |
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| 26.09.2005, 18:19 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mache es doch einfach so: heißt zu invers, falls gilt. Da in einem Körper das Produkt kommutativ ist, ist also invers zu (Schreibweise ) und invers zu (Schreibweise: ). |
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| 26.09.2005, 18:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ganz richtig, weil das multiplikative inverse eben EINDEUTIG ist <=> solltest du nicht schreiben allgemein schreibst du für "inverses von a" eben kurz "a^-1 also wäre "b ist invers zu a" einfach "b=a^-1" da das hier zu verwirrung führen könnte, verwende deutsche sätze und schreibe das einfach als SATZ |
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| 26.09.2005, 18:28 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok danke danke danke
was sagt ihr zu dieser aufgabe: x,y sind elemente eines körpers: beweise: (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 da hab ich überhaupt keine ahnung.... |
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| 26.09.2005, 18:31 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie wäre es, wenn du einfach das Distributivgesetz benutzen würdest? Gruß MSS |
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| 26.09.2005, 18:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dazu muss natürlich "^2" definiert sein! wenn a^2 definiert ist als kurzschreibweise für a^2:=a*a genauso muss "2a" definiert sein (hier als 2a:=a+a). dann einfach ausrechnen (x+y)^2=(x+y)*(x+y), distributivgesetze anwenden zunächst |
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| 26.09.2005, 18:37 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok (x+y)*(x+y) = x*(x+y) + y*(x+y) = x^2+xy+xy+y2=x^2+2xy+y^2 |
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| 26.09.2005, 18:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
eine ungenauigkeit: du bekommst erst "...xy+yx+...." und dann wegen der kommutativität xy+xy sonst okay und fertig |
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| 26.09.2005, 18:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und wenn wir schon pingelig sind, dann muß man rechnen. Jetzt definiert man als Abkürzung für die Summe der Körper-Eins mit sich selbst und hat dann wobei der Verzicht auf Klammern bei durch das Assoziativgesetz der Multiplikation gerechtfertigt ist. Und ich bin fast sicher, ich habe noch etwas vergessen ... |
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| 26.09.2005, 18:58 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nungut: es sind noch einige andere aufgaben gestellt, zu denen ich im moment keine antwort weiß....meint ihr es ist dann sinnvoll,das nächste kapitel "geordnete körper" zu beginnen?? mfg David |
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| 27.09.2005, 11:09 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
neuer tag,neue aufgaben: einige sätze,welche im kapitel geordnete körper stehen und deren beweis der übung dienen soll. es sei K ein geordneter Körper und x,y sind element von K.Dann gilt: 1) x>0 ist gleichbedeutend mit -x<0 2)aus x<0 und y<0 folgt x*y>0 3) für alle x ungleich 0 gilt x^2 >0,insbesondere e>0 4)aus x>0 folgt x^-1 >0 meine denkansätze: 1) es gilt: x-x=0 wenn "x>0" ist und "x-x=0" ist,dann muss "-x<0" sein. 4) es gilt: x*x^-1 = 1 wenn also "x>0"ist, muss auch "x^-1 >0" sein, da sonst "x*x^-1 =1" nicht erfüllt wird. zu 2 und 3: da führen meine ansätze zu nichts. vor allem bei 3 fällt es mir schwer,"x^2" anders zu formulieren.oder brauch ich das gar nicht? es grüßt, David. |
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| 27.09.2005, 11:25 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
x^2 ist definiert als: x*x vielleixcht mal ein paar dinge vorweg von dir: was ist denn eine geordneter körper? weißt du das? [eure schreibweise mit > und < ist eher ungewöhnlich] insbesondere was habt ihr denn vorausgesetzt für diese ">" relation, insbesondere auch bei verknüpfungen? |
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| 27.09.2005, 11:56 | razer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zu mir: mein studium hat noch gar nicht begonnen, ich mach nur selber ein wenig analysi/algebra,quasi im selbststudium.... hm in meinem buch wurde ">" etc gar nicht definiert.ich persönlich stell mir da immer den alltagsgebrauch des zeichens vor,dass etwas eben mehr hat oder größer ist.kA wie ich das am besten oder überhaupt mathematisch darstellen könnte.... edit: defintion geordneter körper: ist ein körper, welcher zusätzlich einer ordnungsstruktur unterliegt oder? und dann steht da bei mir noch: ein körper K heißt geordnet,wenn eine beziehung >0(größer null) definiert ist mit den eigenschaften: 1) für x element von K gilt genau eine der beziehungen x=0 oder x>0 oder -x>0 2)aus x>0 und y>0 folgt x+y>0 3)aux X>0 und y>0 folg x*y>0 gruß,david. |
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