Kreistangente durch einen best. Punkt

Neue Frage »

Akasha Auf diesen Beitrag antworten »
Kreistangente durch einen best. Punkt
Hallo,

ich brauche unbedingt eure Hilfe.

Bin zwar schon fündig gworden auf dieser Seite, aber leider kriege ich meine Aufgabe trotzdem nicht gelöst.

Gegeben: (x-2)^2+(y+3)^2=25 P(-1/1)

Ist dann r=5 und M(-2/3) ???

Mann soll nun den Schnittpunkt der Tangente und des Kreises berechnen. Dann muss ich zunächst die Tangentengleichung aufstellen, oder?

Das hab ich wie folgt gemacht: Punkt P einsetzen in die Kreisgleichung

(-1-2)*(x-2)+(1+3)*(y+3)=25

nach y aufgelöst kommt y= 3/4x+7/4 raus

Wie muss man nun weiter vorgehen? Muss man jetzt die PQ-Formel anwenden oder y in die Kreisgleichung einsetzen? Oder muss man die Tangentengleichung der Kreisgleichung gleich setzen?

Vielen Dank
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Der Mittelpunkt ist M(2;-3), also die Vorzeichen sind genau umgekehrt.

Die genannte Gerade ist nicht die Tangentengleichung, sondern die Gleichung der Verbindungsgeraden der beiden Berührungspunkte, der Polaren.

Ob du nun y in die Kreisgleichung einsetzt oder die Polarengleichung mit der Kreisgleichung gleichsetzst, geht auf das Gleiche hinaus. In jedem Fall erhältst du eine quadratische Gleichung mit 2 Lösungen (2 Berührungspunkte der Tangenten). In diesen Punkten erst sind mittels der allg. Tangentengleichung die Tangenten zu ermitteln.

Gr
mYthos
Akasha Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für deine schnelle antwort.

Was genau ist denn die Polarengleichung, also wie sieht diese aus?
Also muss ich zunächst die Berührpunkte ausrechnen? Aber wie genau soll man das machen?
Ich versteh nicht genau wieso meine Gleichung die Gerade bestimmt, die durch die beiden Berührpunkte geht?! Ich hab doch den Punkt P eingesetzt; aber diese Gerade die du meinst läuft doch nicht durch P(-1/1), oder?

Gruß
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

da P auf dem kreis liegt, würde ich sagen, dass deine gerade bereits die tangente ist (und nicht die polare).
werner
Akasha Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,
habe gerade die Zeichnung davon angefertigt... ist mir jetzt auch aufgefallen...

Aber wir muss man denn im Allgemeinen an so eine Aufgabe rangehen?

Muss man zuerst Punkt P(x/y) in die Kreisgleichung einsetzen?
(Wie im Beispiel oben: (-1-2)*(x-2)+(1+3)*(y+3)=25)

Und wie müsste man weiter vorgehen? Dann müsste man doch die Polare bestimmen?
(Im Beispiel: 3x-4y=-7)

Und wenn man die Polarengleichung hat? Und genau an dieser Stelle weiss ich nicht mehr weiter verwirrt


Danke
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

a)zuerst prüfen, ob der punkt auf dem kreis liegt.
wenn ja, erstellen der tangentengl. wie oben.
b) wenn nein, erstellt man mit derselben formel die gleichung der polaren - siehe mythos - . diese schneidet man nun mit dem kreis. ergibt 2 schnittpunkte S1 und S2, gehe jeweils zu a)
werner
 
 
Akasha Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich das denn machen? Kreisgleichung und Polarengleichung (3x-4y=-7?) gleichsetzen? Aber bei beiden steht doch hinter dem = etwas ganz anderes... bei k kommt 25 und bei p -7 raus...

irgendwie steh ich auf der Leitung verwirrt

Gruß Akasha
Akasha Auf diesen Beitrag antworten »

müsste ich in meiner Aufgabe (ganz oben) dann x^2+y^2-4x+6y= -3x+4y rechnen und nach x auflösen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ein beispiel:
K: x^2 + y^2 = 4 P(3/2):
der punkt liegt nicht auf dem kreis, wie man durch einsetzen sieht.
polare: 3x + 2y = 4 => y = 2 - 3/2x in die kreisgleichung einsetzen ergibt die schnittpunkte
x^2 + (2 - 3/2x)^2 = 4
S1(0/2) und S2.
tangente im punkt S1: x*0 + y*2 = y => y = 2
und analog für S2
werner
Akasha Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!!!!!

Hätte jetzt nur noch eine Frage... und zwar ob man den Schnittpunkt S1(0/2) der Gleichung entnimmt oder ob man diesen per PQ_Formel rauskriegt? So hab ich es nämlich versucht, aber da kommen nicht die gleichen Werte heraus
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

es ergibt sich (in der regel) eine quadratische gleichung, die du mit der pq-formel lösen kannst.
im beispiel hast du ausmultipliziert:
x(13/4x - 3) = 0 => x1 = 0 usw.
der weg ist das ziel, verrechnen ist auch meine lieblingsbeschäftigung!
werner
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »