Grenzwert

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26.09.2005, 16:31

Karl34

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Grenzwert

Wie berechnet man:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{2}{n} )^{n+4} \end{eqnarray*}$

???

26.09.2005, 16:35

JochenX

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substituiere n=2z (n gegen unendlich <=> z gegen unendlich)
schreibe deine potenz etwas um

dann solltest du da irgendwie den grenzwert e in einer irgendeiner variation finden

mfg jochen

ps: *titel geändert*
was soll "Grenzwert345435"? außer aufmerksamkeit erregen?

26.09.2005, 16:35

Leopold

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Verwende

$\begin{eqnarray*} \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n+4} = \left( \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{\frac{n}{2}} \right)^2 \cdot \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^4 \end{eqnarray*}$

26.09.2005, 16:36

sqrt(2)

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[edit]Mal drei...[/edit]

$\begin{eqnarray*} a^{b+c}=a^b\cdot a^c \end{eqnarray*}$

Das was übrigbleibt, sollte dir bekannt vorkommen.

26.09.2005, 16:36

pimaniac

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RE: Grenzwert345435
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{2}{n} )^{n+4} =\lim_{n\to \infty} (1-\frac{2}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

und bekanntlich gilt doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{z}{n} )^{n}=e^{-z} \end{eqnarray*}$

26.09.2005, 16:36

schrawenzel

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Also 2/n geht ja gegen null. Dann bleibt nur noch 1 übrig und 1^(n+4) ist immer eins.

Ich hoff mal, dass das stimmt.

VlG
schrawenzel

26.09.2005, 16:38

Leopold

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RE: Grenzwert345435

Zitat:

Original von pimaniac
und bekanntlich gilt doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{z}{n} )^{n}=e^{z} \end{eqnarray*}$

Fast. Vorzeichen beachten.

26.09.2005, 16:38

pimaniac

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ok jetzt wirds schirch.... 5 antworten von denen drei falsch das find ich lustig

meins war falsch
Sqrt(2) deins war auch falsch
schrawanzel deins isimmer noch falsch :-)

26.09.2005, 16:39

sqrt(2)

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Zitat:

Original von pimaniac
und bekanntlich gilt doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{z}{n} )^{n}=e^{z} \end{eqnarray*}$

Du hast ein Minus vergessen...

Zitat:

Original von schrawenzel
Also 2/n geht ja gegen null. Dann bleibt nur noch 1 übrig und 1^(n+4) ist immer eins.

Ich hoff mal, dass das stimmt.

Nein, welches Logarithmengesetz willst du da angewendet haben?

Zitat:

Original von pimaniac
Sqrt(2) deins ist falsch

Danke, dummer Flüchtigkeitsfehler. Habs geändert.

26.09.2005, 16:41

pimaniac

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ich auch... so wie meins :-)

26.09.2005, 16:47

Karl34

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Oh... wie die Piranhas...

Also ich versuchs jetzt mal so: substituiere n=-2u

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{2}{-2u} )^{-2u+4}=\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{u} )^{-2u+4} \end{eqnarray*}$

26.09.2005, 16:48

Leopold

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Dann mußt du aber $\begin{eqnarray*} u \to - \infty \end{eqnarray*}$ nehmen.

26.09.2005, 16:53

Karl34

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$\begin{eqnarray*} \lim_{-2u\to \infty} (1+\frac{1}{u} )^{-2u+4} \end{eqnarray*}$ [/quote]

so? und jetzt??

26.09.2005, 16:59

Leopold

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Genau das wollte ich dir zeigen: Die Berücksichtigung des Vorzeichens in der Substitution bringt nichts.

Was weißt du denn bereits über die Zahl $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ ?

Ist im Unterricht der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ bereits behandelt?

Und kennst du bereits $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ ?

26.09.2005, 18:13

Karl34

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Ja ich weiß schon, dass da e bzw e^-1 rauskommt, ich würde aber gerne lernen wie man aus (1+1/n)^n =e eine allgemeine Formel für (1+x/n)^n herleiten kann......

Wie macht man das mit der Substitution richtig? Vor allem was wird aus dem n-----> unendlich wenn n z.b durch -2u ersetzt wird?

26.09.2005, 18:24

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
substituiere n=2z (n gegen unendlich <=> z gegen unendlich)

also wird: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{2}{n} )^{n+4} \end{eqnarray*}$ zu:
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} (1-\frac{1}{z} )^{2z+4}=\lim_{z \to \infty}[ (1-\frac{1}{z} )^{2z}*(1-\frac{1}{z} )^4]=\lim_{z \to \infty} (1-\frac{1}{z} )^{2z}*\lim_{z \to \infty}(1-\frac{1}{z} )^4 \end{eqnarray*}$
und jetzt noch den ersten als geeignete potenz einer potenz schreiben

edit: korrigiert, danke
in der klammer wars richtig, in der potenz nichtt

26.09.2005, 18:26

Karl34

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von LOED
substituiere n=2z (n gegen unendlich <=> z gegen unendlich)

also wird: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1-\frac{2}{n} )^{n+4} \end{eqnarray*}$ zu:
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} (1-\frac{1}{z} )^{\frac{z}{2}+4}=\lim_{z \to \infty}[ (1-\frac{1}{z} )^{\frac{z}{2}}*(1-\frac{1}{z} )^4]=\lim_{z \to \infty} (1-\frac{1}{z} )^{\frac{z}{2}}*\lim_{z \to \infty}(1-\frac{1}{z} )^4 \end{eqnarray*}$
und jetzt noch den ersten als geeignete potenz einer potenz schreiben

Ich glaub du hast n durch z/2 statt durch 2z ersetzt.....

26.09.2005, 18:29

JochenX

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danke, hilft dir das denn nun weiter?

das bringt dich eben auf die form "(1+1/x)^..."

26.09.2005, 18:30

Leopold

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Zitat:

Original von Karl34

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von LOED
substituiere n=2z (n gegen unendlich <=> z gegen unendlich)

Ich glaub du hast n durch z/2 statt durch 2z ersetzt.....

Einmal so und einmal so ...

Im übrigen führt diese formale Betrachtungsweise schlicht nicht zum Ziel, weil sie implizit schon unterstellt, was ja eigentlich zu beweisen ist.

26.09.2005, 18:33

JochenX

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kannst du das genauer sagen, leopold?

ich gehe davon aus, dass nur der grenzwert von a gegen unendlich (1+1/a)^a=e bekannt ist
dafür forme ich den gegebenen term um, bis ich etwas der art stehen habe [fehlt noch, die 2z-potenz als ((...)^z)^2, dann setze ich ein]

was ist daran falsch?

edit: sehe gerade auch noch das da zwischen + und - unterschieden wird
sollte also auch noch grenzwert a gegen unendlich (1-1/a)^a=1/e bekannt sein

mein fehler Gott

26.09.2005, 18:41

Karl34

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Ich frag das ja eigentlich nur weil ich folgende Aufgabe gerne komplett richtig können würde (also ohne jede schwammige Argumentation):

Angenommen der folgende Grenzwert existiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^n=a \end{eqnarray*}$

Wie kann man dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{2}{n} )^n=b \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1- \frac{1}{n} )^n=c \end{eqnarray*}$

durch a ausdrücken?

So n=2z liefert hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{2}{n} )^n=\lim_{2z \to \infty} (1+ \frac{2}{2z} )^{2z}=\lim_{z \to \infty} (1+ \frac{1}{z} )^z=a^2 \end{eqnarray*}$

Hierzu nochmal die Frage, darf man das 2z----> unendlich durch z gegen unendlich ersetzen?

So und wie man das mit dem Minus geregelt krieg blick ich nicht......

26.09.2005, 18:45

Leopold

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@ LOED

Im allgemeinen versteht man unter $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ja eine natürliche Zahl. Einmal angenommen, die Konvergenz der Folge

$\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

ist sauber bewiesen und der Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Dann ist doch nicht von vorneherein klar, daß auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x \end{eqnarray*}$

worin $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ jetzt eine reelle kontinuierliche Variable bezeichnet, existiert und den Wert $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ hat. Und das Ganze hängt schließlich auch noch davon ab, wie eigentlich die Potenz $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ für reelle Exponenten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ definiert wurde. Wie übrigens solche Fragen nie beantwortet werden können, wenn man über die Voraussetzungen des Fragestellers nicht Bescheid weiß. Wurde z.B. die Potenz $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ durch stetigen Anschluß erklärt? Oder wurde $\begin{eqnarray*} a^b = \exp{(b \ln{a})} \end{eqnarray*}$ gesetzt? Bei letzterem Zugang müssen dann Exponential- und Logarithmusfunktion irgendwie anders eingeführt worden sein. Und so weiter und so weiter ...

26.09.2005, 18:52

JochenX

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danke an dich leopold
als lehrer hast du da einen viel besseren überblick Lehrer

mfg jochen Wink

26.09.2005, 18:53

Karl34

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Man wird ja wohl irgendwie aus der Tatsache, dass limn---> unendlich (1+1/n)^n=e ist schließen können,
dass lim n----> unendlich (1-1/n)=e^-1 gilt. Kann niemand zeigen wie das geht?

26.09.2005, 18:57

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \ = \ \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n-1}} \end{eqnarray*}$

26.09.2005, 18:58

JochenX

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ich trau mich fast gar nicht mehr

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}=(\frac{n}{n-1})^{-1}=(\frac{n-1+1}{n-1})^{-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{-1} \end{eqnarray*}$
-1-potenz rausziehen usf.
die -1 bei n-1 macht natürlich nichts

26.09.2005, 19:04

Leopold

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Zitat:

Original von LOED
ich trau mich fast gar nicht mehr

Ach LOED, so schlimm ist das nicht! Hier bewegen wir uns doch auf sicherem Gelände: Folgen, Monotonie und Grenzwertsätze ...

26.09.2005, 19:07

Bier46

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wie wärs mit Substitution?? n=-u

$\begin{eqnarray*} \lim (1-\frac{1}{n})^n= \lim (1+\frac{1}{u})^{-u}=\lim \frac{1}{(1+\frac{1}{u})^{u}} \end{eqnarray*}$

lässt man u einfach auch nach plus unendlich laufen dann passts..... war das Zufall? Oder anders gefragt was muss man bei ner Substitution mit n----> unendlich machen

26.09.2005, 19:20

mercany

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Zitat:

Original von LOED
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}=(\frac{n}{n-1})^{-1}=(\frac{n-1+1}{n-1})^{-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{-1} \end{eqnarray*}$
-1-potenz rausziehen usf.
die -1 bei n-1 macht natürlich nichts

Wenn ich mich mal einmischen darf:

Könntest du mir nochmal kurz erläutern, warum du hier so umgeformt hast?!
Zudem sind mir die letzten beiden Schritte nicht so ganz klar verwirrt

Gruß, Jan

26.09.2005, 19:47

JochenX

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@leo:

@mercany: was ist dir nicht klar?
die umformungen selbst, oder warum ich das gemacht habe?

letzteres hat wieder den grund, dass ich auf die bekannte form (1+1/n)^n bringen will
die (...)^n kannst du dir natürlich bei meiner umformung immer dazudenken, da ich diese aber nicht verändere, habe ich sie gar nicht erst erwähnt

26.09.2005, 19:59

mercany

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hallo jochen! Wink

danke für deine antwort!

mir ist schon klar wo du hin willst!
ich persönlich hätte irgendwie aber nicht den weg dahin gesehen unglücklich

und ja, mir ist irgendwie nicht so richtig klar, warum du an den stellen so umgeformt hast, und ich verstehe nicht wie du vom vorletzten schritt auf den letzten kommst verwirrt

gruß, jan

26.09.2005, 21:25

JochenX

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der vorletzte zum letzten ist einmal den bruch (also den zähler) auseinanderziehen (n-1+1)=(n-1)+(1) und einmal kürzen

Zitat:

ich persönlich hätte irgendwie aber nicht den weg dahin gesehen

der weg ist irgendwie ganz einfach, wenn man das ziel kennt Augenzwinkern

26.09.2005, 22:17

Leopold

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Zitat:

Original von Bier46
wie wärs mit Substitution?? n=-u

$\begin{eqnarray*} \lim (1-\frac{1}{n})^n= \lim (1+\frac{1}{u})^{-u}=\lim \frac{1}{(1+\frac{1}{u})^{u}} \end{eqnarray*}$

lässt man u einfach auch nach plus unendlich laufen dann passts..... war das Zufall? Oder anders gefragt was muss man bei ner Substitution mit n----> unendlich machen

Falscher Beweis!
$\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} u \to - \infty \end{eqnarray*}$ .
Hiermit ist also gar nichts gewonnen.

27.09.2005, 17:31

mercany

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Zitat:

[i]Original von
-1-potenz rausziehen usf.
die -1 bei n-1 macht natürlich nichts

1. Was meinst du mit "rausziehen" ?

2. Wieso macht die -1 nichts?

Hieße das, dass $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n-1})^{-1} <=> (1+\frac{1}{n})^{-1} \end{eqnarray*}$ ist verwirrt

PS: Ja, du hast Recht! Die Umformung ist echt nicht sehr schwer, ich sollte einfach mal mehr nachdenken bevor ich frage!!

\\edit: Klammern eingefügt

13.11.2005, 01:32

JochenX

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Zitat:

Original von mercany
2. Wieso macht die -1 nichts?

Hieße das, dass $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n-1})^{-1} <=> (1+\frac{1}{n})^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ?

so gerade per icq von jan erfahren; hier fehlt noch eine antwort
*ausgrab*

deine aussage ...<=>.... ist komisch jan
diese terme sind nicht irgndwie äquivalent ( verwirrt

), sie sagen doch unterschiedliche dinge aus und überhaupt

aber natürlich sind sie für n gegen unendlich gleich (lapidar gesagt: 1/unendlich oder 1/(unendlich -1) ist das gleiche)

wenn dus mir nicht glaubst: substitiere n-1=t, bekommst dann (1+1/t)^(t+1)=(1+1/t)^t*(1+1/t) und dann grenzwertsätze etc

mfg jochen

edit: und zum rausziehen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{...}(1+1/n)^{-n}=\lim_{...}((1+1/n)^n)^{-1}=(\lim_{...}(1+1/n)^n)^{-1}=1/e \end{eqnarray*}$

13.11.2005, 01:34

mercany

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Okey, hast Recht!

Das mit der Äquivalenz war schlecht ausgedrückt. Ich meinte natürlich, dass sie für n --> unendlich gleichwertig sind.

Dann würe mich ja noch interessieren, was du mit "-1 potenz rausziehen" meinst verwirrt

mfg, jan

---doppelost zusammengefügt von jochen - tsts jan, nach 6 minuten Augenzwinkern

---- <-- Schande über mein Haupt!

Zitat:

Original von LOED
edit: und zum rausziehen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{...}(1+1/n)^{-n}=\lim_{...}((1+1/n)^n)^{-1}=(\lim_{...}(1+1/n)^n)^{-1}=1/e \end{eqnarray*}$

Oki, jetzt ist es klar!

Danke dir Jochen....

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