Geschwindigkeit berechnen, wenn Beschleunigung davon abhängt

06.04.2008, 13:55

peter_enis

Geschwindigkeit berechnen, wenn Beschleunigung davon abhängt

Hallo,

Folgendes Problem:

Ich habe:

Geschwindigkeit v = konstant
Beschleunigung a = -c * v²

Das heißt, die Geschwindigkeit wird immer kleiner, bis sie irgendwann extrem klein wird.

Ich habe also die Funktion a(v), möchte aber daraus die Funktion a(t) bekommen, wie könnte das denn gehen?

MfG

06.04.2008, 14:14

Rare676

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Was mir dazu jetzt einfallen würde ist, dass für die Geschwindigkeit bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen gilt:

$\begin{eqnarray*} v=a \cdot t \end{eqnarray*}$

Edit: Mich würde mal die orginale aufgabenstellung interessieren...

06.04.2008, 15:31

peter_39048

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Zitat:

Original von Rare676
Was mir dazu jetzt einfallen würde ist, dass für die Geschwindigkeit bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen gilt:

$\begin{eqnarray*} v=a \cdot t \end{eqnarray*}$

Ja OK, das wusste ich aber bereits und es hilft hier auch nicht weiter.

Zitat:

Original von Rare676
Edit: Mich würde mal die orginale aufgabenstellung interessieren...

Für die originale Aufgabenstellung siehe hier:
Flugbahn berechnen

06.04.2008, 15:32

_lskdfj3

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Ich habe die Aufgabe mittlerweile auch gelöst. Man muss zwei mal integrieren und der natürliche Logarithmus kommt auch noch drin vor...

06.04.2008, 16:42

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Zitat:

Original von peter_enis
Geschwindigkeit v = konstant
Beschleunigung a = -c * v²

Aus der ersten Bedingung der Konstantheit der Geschwindigkeit folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} a = \dot{v} = 0 \end{eqnarray*}$ , und damit gemäß zweiter Bedingung (es soll ja wohl c>0 sein) dann $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ .

Das lag wohl nicht in deiner Absicht. Deswegen nehme ich mal an, dass man die erste Bedingung ersatzlos streichen kann. Es verbleibt die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} a = \dot{v} = -c \cdot v^2 \end{eqnarray*}$ ,

welche nach Trennung der Variablen ergibt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{v_0}^{v(t)} ~ \frac{\dd v}{v^2} = -c \int\limits_{0}^t ~ \dd \tau \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{v_0} - \frac{1}{v(t)} = -ct \end{eqnarray*}$

und umgestellt

$\begin{eqnarray*} v(t) = \frac{v_0}{1+cv_0 t} \end{eqnarray*}$ mit gegebenen Anfangswert $\begin{eqnarray*} v(0)=v_0 \end{eqnarray*}$ . Also nix mit Logarithmus - es sein denn, du meinst die zurück gelegte Wegstrecke. Da kommt dann in der Tat nach der fälligen Integration was mit einem Logarithmus heraus. Augenzwinkern

06.04.2008, 18:23

peter_enis

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Hi,

Danke, so wie du es oben erläutert hast, dass V konstant ist und die Ableitung davon (die Beschleunigung a) somit gleich null sein müsste, und dass das nicht sein kann, so habe ich es noch garnicht gesehen. Danke hierfür. Ich habe mich ohnehin schon gewundert, dass da irgendwas komisch ist.

Ja, und in meiner Aufgabe musste ich eigentlich die Wegstrecke ausrechnen, und ja, da kam was mit dem natürlichen Logarithmus raus. Meine Integrale waren dann auch so ähnlich wie deins.

Und in Sachen Latex-Formel-Editor kann man ja auch immer wieder was lernen. Ich nehme immer den hier:

http://www.matheboard.de/formeleditor.php

Aber der bietet ja auch nicht so viele Funktionen, z.B. gelingt es mir manchmal nicht, die Grenzen von Integralen darzustellen oder den Punkt (er bedeutet die Ableitung nach der Zeit) den finde ich auch garnicht. Welchen Formeleditor nimmst du denn, oder weißt du alle LATEX-Syntaxe auswendig? Augenzwinkern

06.04.2008, 19:28

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Zitat:

Original von peter_enis
Welchen Formeleditor nimmst du denn

Gar keinen.

Zitat:

Original von peter_enis
oder weißt du alle LATEX-Syntaxe auswendig?

Alle nicht - aber die meisten, die ich brauche. Allerdings kenne ich LaTeX seit etwa 17 Jahren, da prägt sich das langsam ein. smile

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