Matrix

07.04.2008, 21:54

Irrstern

Matrix

Hi
ich soll den Rang und die Orthonormalbasen von Kern und Bild einer linearen Abbildung T:IR³->IR³ (bzgl des Standardskalarproduktes) bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&3&0\\0&0&2\\3&9&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang ist kein Problem, der ist zwei, sieht man ja auch sofort.

Nun habe ich eine normierte Basis des Kerns bestimmt. Dazu hab ich die Matrix erst mal umgeformt und anschließend als Gleichungssystem geschrieben.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&3&0\\0&0&2\\0&0&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+3y=0 \Leftrightarrow y=-\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$
2z=0
Somit kann für z alles eingesetzt werden.
$\begin{eqnarray*} Kern(T)=\{ (x,-\frac{1}{3}x,z);x,y\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$
Eine Basis wäre also (1,-1/3,1)
Normiert: $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{\sqrt{19}},-\frac{1}{\sqrt{19}},\frac{3}{\sqrt{19}}) \end{eqnarray*}$
So nun bekomme ich leider Probleme mit der normierten Basis des Bildes.
Ich hab mir gesagt, da sie orthogonal aufeinander stehen sollen und die Basis normiert ist gilt:
$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{\sqrt{19}},-\frac{1}{\sqrt{19}},\frac{3}{\sqrt{19}})\circ (x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1 \end{eqnarray*}$

nun komme ich aber nicht weiter weil ich die beiden Gleichungen nicht nach einer Unbekannten auflösen kann Hammer

07.04.2008, 22:08

tmo

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Der Kern ist falsch. Der Kern, den du angegeben hast, hat sogar die Dimension 2. Er hat aber doch nur die Dimension 1.

Dann zum Bild. Eine Basis des Bildes kann man unmittelbar aus der Matrix ablesen. Kennst du das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren?
Alternativ kannst du dir auch selbst überlegen, wie du aus einer Basis, die aus nur 2 Vektoren besteht, eine Orthobasis machst. Das normieren ist ja dann kein Problem mehr.

07.04.2008, 22:36

Irrstern

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jo stimmt des sehe ich ein das mein kern nicht richtig sein kann, doch weiß ich jezt nicht genau wo mein fehler liegt.
Der Kern ist doch die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, bei denen das neutrale Element rauskommt.
Also muss ich doch meine Gleichungen Null setzten????

Mich verwirrt ein weinig immer die Matrixschreibweise. Sie wird nur alternativ für drei Gleichungssysteme bzw drei Vektroren benutzt. So versuche ich sie mir zumindest immer vorzustellen. Es ist nur eine andere Schreibweise, mehr nicht, richtig??

07.04.2008, 22:37

tmo

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Zitat:

Original von Irrstern

Also muss ich doch meine Gleichungen Null setzten???? verwirrt

genau. daraus folgt $\begin{eqnarray*} 2z = 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ . Wie kommst du denn darauf, dass z den Wert 1 annehmen könnte?

dann noch mal zu der Matrixschreibweise: Wenn du den Kern einer Matrix A suchst, suchst du ja die Lösungen des LGS $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn man geübt ist, kann man halt den Vektor x sowie den Nullvektor einfach weglassen und nur die Matrix hinschreiben und sie dann mit dem Gaußalgorithmus bearbeiten, bis man Zeilenstufenform erreicht hat und den Kern angeben kann. Dann sollte man sich halt wieder bewusst machen, dass man die ganze Zeit ein LGS betrachtet hat.

07.04.2008, 23:06

Irrstern

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ok, das war echt böse!

Hab jetzt beide Basen raus.
Die Basen für den Kern:
$\begin{eqnarray*} Kern(T)=\{(x,-\frac{1}{3}x,0),x\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$
Die Basen für das Bild:
$\begin{eqnarray*} Bild(T)=\{(0,0,x),x \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
wobei natürlich noch das gelten muss: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1 \end{eqnarray*}$

Ist es denn richtig, die Matrix als ein Gleichungssystem aufzufassen, wobei nur die Schreibweise eine andere ist?
Ich frage mich nähmlich was meine lineare Abbildung vom IR³ in den IR³ mit meiner Matrix zu tuhen hat. Fasse ich es als ein Gleichungssystem auf, so wandelt es mir doch nur meine Vektoren um. Richtig??

07.04.2008, 23:11

kiste

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Kennst du den http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz ?
Deine Ergebnisse stehen wohl im krassen Gegensatz zu diesem, also sind sie auch falsch(namhaft, die Dimension des Bildes ist zu klein)

07.04.2008, 23:12

tmo

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Zitat:

Original von Irrstern
Die Basen für den Kern:
$\begin{eqnarray*} Kern(T)=\{(x,-\frac{1}{3}x,0),x\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Das ist der Kern. Aber keine Basis.

Zitat:

Original von Irrstern
Die Basen für das Bild:
$\begin{eqnarray*} Bild(T)=\{(0,0,x),x \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Offensichtlich gehört $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ zum Bild. In deinem Bild ist dieser Vektor aber nicht enthalten.

Zitat:

Original von Irrstern
Ist es denn richtig, die Matrix als ein Gleichungssystem aufzufassen, wobei nur die Schreibweise eine andere ist?
Ich frage mich nähmlich was meine lineare Abbildung vom IR³ in den IR³ mit meiner Matrix zu tuhen hat. Fasse ich es als ein Gleichungssystem auf, so wandelt es mir doch nur meine Vektoren um. Richtig??

Naja du sollst ja nicht die Matrix als Gleichungssystem auffassen, sondern vielmehr wird ein homogenes Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ eben schon durch die Koeffizientenmatrix A beschrieben.

Zitat:

Original von Irrstern
Ich frage mich nähmlich was meine lineare Abbildung vom IR³ in den IR³ mit meiner Matrix zu tuhen hat.

Das ist einfach zu beantworten. Nennen wir die Matrix A und die Abbildung f. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) = Ax \end{eqnarray*}$

Ein Gleichungssystem ist nichts anderes, als dass du f(x) schon kennst und das zugehörige x bestimmen willst.

08.04.2008, 00:05

Irrstern

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Also nochmal von Vorne.

Meine Abbildung hat die Dimension von Drei. Da der Rang gleich Zwei ist, ist das Defekt gleich Eins.
Meine Matrix hätte nun maximal drei lin. unabhängige Vektoren haben können, hat aber zwei.

Mein Kern besteht aus der Menge von Vektoren,die diese Bedingung erfüllen: (x,-1/3x,0). Sie ist nur vom x abhängig, entspricht auch der Dimension von Eins.

Nun soll ich ja Orthonormalbasen von Kern und Bild bzgl. der Standardbasis bestimmen.
Orhonormal bedeutet einfach das sie rechtwinklig zueinander sind, also das Skalarprodukt muss Null ergeben.
Die Standardbasis ist ja (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Muss ich nun einfach ein Vektor aus meinen Kern nehmen und ein dazu orthogonalen Vektor defininieren? verwirrt

08.04.2008, 01:42

WebFritzi

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Bestimme erstmal Basen, und wende dann Gram-Schmidt an.

08.04.2008, 15:27

tmo

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Zitat:

Original von Irrstern
Muss ich nun einfach ein Vektor aus meinen Kern nehmen und ein dazu orthogonalen Vektor defininieren? verwirrt

Der Kern hat doch eh nur Dimension 1, also besteht die Basis aus nur einem Vektor. Da musst du dich um Orthogonalität gar nicht kümmern.

08.04.2008, 23:05

Irrstern

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Also, $\begin{eqnarray*} Kern=\{\begin{pmatrix}x\\ - \frac{1}{3}x\\0\end{pmatrix},x\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ (wie gehabt)
$\begin{eqnarray*} Bild=\{v \in \mathbb R^3:v \neq \{\begin{pmatrix}x\\ - \frac{1}{3}x\\0\end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Nun meine Basis für den Kern: (1,-1/3,0) (müsste dann noch normiert werden)
und meine Basis für das Bild: (1,0,0) ; (0,1,0). Sie sind schon normiert und auch orthogonal zueinander.

Ich hoffe es ist nun so ok!!!

08.04.2008, 23:13

tmo

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Zitat:

Original von Irrstern
$\begin{eqnarray*} Bild=\{v \in \mathbb R^3:v \neq \{\begin{pmatrix}x\\ - \frac{1}{3}x\\0\end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Das ist kein Vektorraum. Es ist ein Trugschluss zu denken, das alles was nicht Kern ist, zum Bild gehört.
Alleine schon weil bei einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \mapsto W \end{eqnarray*}$ der Kern eine Teilmenge von V, jedoch das Bild eine Teilmenge von W ist.

08.04.2008, 23:22

Irrstern

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ups, meinte es eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} Bild=\{ v \in \mathbb R^3:v \neq T( \begin{pmatrix}x\\-1/3x\\0 \end{pmatrix})\} \end{eqnarray*}$

Die Basen sind ok??

08.04.2008, 23:26

tmo

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Das ist kein Vektorraum.

Ich setze mal $\begin{eqnarray*} u = (1,-\frac{1}{3},0) \end{eqnarray*}$

In dieser Menge sind $\begin{eqnarray*} T(u)-(1,0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ enthalten, ihre Summe $\begin{eqnarray*} T(u) \end{eqnarray*}$ aber offensichtlicht nicht.

Schau mal in den anderen Thread zu diesem Thema, der im Moment in diesem Forum aktiv ist. Da wird (unter anderem) erklärt wie man die Basis des Bildes bestimmt.

09.04.2008, 17:41

Irrstern

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Hab in dem thread von w!cked nachgelesen.
Dort steht was von NZSF. Was ist das? Und was ist der Kopf einer Spalte?

"Original von w!cked
Sind meine Basis des Bildes jetzt genau die Spalten der Ursprungsmatrix A, welche in NZSF einen Kopf haben?"
(Nach WebFritz richtig)

Ist mit NZSF der Gaußalgorithmus gemeint??

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