Basis des Bildes |
| 07.04.2008, 23:00 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Basis des Bildes die Basis des Bildes der Matrix A errechnen. 1. Wie errechne ich das Bild der Matrix bzw. was ist das Bild der Matrix? Kann denn nicht nur die Abbildung ein Bild haben bzw. ist vermutlich dieses gefragt? Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die ein Urbild unter L haben, aber was heißt das im konktreten Fall? Wäre das dann ein Vekt0r c, für den Ax=c gilt und c ist dann wiederrum genau eine Spalte von A? Wäre das dann ein Teil des Bildes? Ich kann ja schlecht eine Basis ermitteln von ich nicht mal das Bild "kenne" oder weiß worum es geht :-/ |
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| 07.04.2008, 23:05 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Basis des Bildes
ja, genau nach diesem Bild ist gefragt. Da eine Matrix eine lineare Abbildung charakterisiert, spricht man halt auch vom Bild einer Matrix.
Aus der Defintion einer linearen Abbildung folgt unmittelbar, dass alle Bildvektoren der Vektoren einer Basis des Urbildvektorraums ein Erzeugendensystem des Bildes darstellen. Daraus kann man dann eine Basis extrahieren. |
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| 07.04.2008, 23:07 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Wenn dann ist mit dem Bild der Matrix die Menge gemeint. Eine Basis kannst du bestimmen indem du die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren bestimmt und diese in ne Menge schreibst 
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| 07.04.2008, 23:28 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Über NZSF habe ich ermittelt, das Sind meine Basis des Bildes jetzt genau die Spalten der Ursprungsmatrix A, welche in NZSF einen Kopf haben? Das wären dann die erste und fünfte Spalte. Wenn das die beiden Basisvektoren sind, was ist dann das Bild? Alle Vektoren die Sich als Linearkombination der Basisvektoren darstellen lassen? Wie kann ich rechnerisch zeigen, dass genau diese beiden meine Basisvektoren sind und nicht etwa die 2. und 4. Spalte? Offtopic: Der Rang dieser Matrix ist 2, oder? Weil ich in NZSF 2 Zeilen habe die nicht 0 sind bzw. 2 Köpfe... ? |
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| 08.04.2008, 01:48 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. |
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| 08.04.2008, 11:49 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also noch mal , um sicher zu gehen ;-) : Ich habe eine lineare Abbildung und eine zugehörige Matrixabbildung. Wenn ich nun die Basis des Bildes haben möchte erstelle ich NSZF und die Spalten, die in der NSZF Köpfe enthalten sind dann in der ursprünglichen Matrix meine Bild-Basis. Wenn jetzt die Frage nicht gewesen wäre "Was ist die Basis des Bildes von A, sondern was ist das Bild von A, was wäre denn dann die Lösung? Gehört zwar nicht mehr zur Aufgabe, aber was wäre der Kern dieser Abbildung? Der Kern sind die Vektoren, die mit der Matrix multipliziert den Nullvektor ergeben oder sehe ich das falsch? |
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| 08.04.2008, 11:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mir ist nicht so klar, ob du damit das richtige meinst. Wie tmo und kiste schon angemerkt haben, würde ich die Basisvektoren einer Basis des Urbildes nehmen, davon die Bildvektoren bilden und daraus eine Basis extrahieren.
Das sieht du richtig. |
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| 08.04.2008, 12:03 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe ja die Definitionen vor mir, leider verwirren mich die Begriffe alle ein wenig. Das liegt dann auch meistens daran dass ich keine Vorstellung davon habe wie die Antwort zur Frage aussehen soll :-/ Daher frage ich mal umgekehrt, vielleicht erkenne ich es dann: Was ist jetzt konkret das Bild meiner Abbildung Ax=b ? Das wäre dann b ? Was ist das Urbild meiner Abbildung? Die Matrix A? |
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| 08.04.2008, 12:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
"Ax=b" ist keine Abbildung, sondern eine Gleichung, bei der alle Elemente x eines Vektorraums (bzw. Menge) V gesucht werden, die eben diese Gleichung erfüllen.
Die Matrix A ist nicht das Urbild, sondern mit ihr wird die Abbildung A definiert: A: V --> W, x --> A*x Wie man sieht, gibt es da schon eine sprachliche Ungenauigkeit, denn der Begriff A wird einmal als Bezeichnung für die Abbildung und einmal als Bezeichnung für eine Matrix verwendet. Das ist aber nicht weiter tragisch, da immer aus dem Zusammenhang hervorgeht, was gemeint ist. Trotzdem sollte man diesen Zusammenhang immer im Hinterkopf haben. Was sind jetzt Urbild und Bild der Abbildung A? Nun: das Urbild ist die Menge der Vektoren v aus V, die auf irgendeinen Vektor w aus W abgebildet werden. Da man auf jeden Vektor v die Abbildung A anwenden kann, ist das Urbild schlicht und einfach V. Das Bild der Abbildung A ist die Menge der Vektoren w aus W, für die es jeweils einen Vektor v gibt mit A*v = w. Da die Abblidung A linear ist, kann man sich überlegen, daß man nur den aufgespannten Raum der Vektoren w_i mit betrachten muß, wobei die Vektoren v_i die Vektoren einer Basis von V sind. |
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| 08.04.2008, 14:56 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diese Basis von V ist aber nicht die Basis des Bildes, da das Bild die Menge der Vektoren aus W ist für die A*v=w gilt und V das Urbild ist. Ergo hat der Kern eine Basis, das Bild eine Basis und das Urbild auch? Wenn dem so ist, kann ich die alle berechnen? würde ich dann mal versuchen und du kannst mir dann bestimmt sagen, ob ich richtig liege (wovon wir aber nicht ausgehen ...)... |
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| 08.04.2008, 15:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da habe ich auch nicht behauptet. Die Vektorräume V und W können ja auch unterschiedlich sein.
Ja.
Wobei - wie schon gesagt - das Urbild der Vektorraum V ist und eine Basis davon in der Regel schon vorgegeben ist. |
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| 08.04.2008, 15:48 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das wollte ich auch nicht sagen damit :-) Also kann ich im konkreten Beispiel zu Kern, Bild und Urbild jeweils eine Basis berechnen? Wenn ja würde ich das später mal probieren, ich lerne gerade noch das Gram-Schmidtsche-Orthonormalisierungsverfahren... |
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| 08.04.2008, 16:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na dann viel Spaß.
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| 08.04.2008, 21:51 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verdammt, ich habe einfach so große Schwierigkeiten mit den Begriffen Bild, Kern und Urbild. Bleibe ich mal beim Bild. Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild oder die Bildmenge einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge, die f auf M tatsächlich annimmt. Meine Abbildung ist: A: V --> W, x --> A*x Welche Rolle spielt denn mein gegebener Vektor b, um auf die Basis des Bildes zu kommen? Sorry, das ich so ein schwieriger Patient bin :-/ Die Basis meines Bildes sind die linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix, oder? das wären dann und , aber ist das der einzige Weg die Basis des Bildes zu ermitteln? |
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| 08.04.2008, 22:18 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als Kern habe ich folgendes ermittelt: Es wäre schön wenn mir jemand sagen kann ob das richtig ist, vor allem die Sache mit dem Bild... |
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| 08.04.2008, 22:23 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Kern ist fast richtig, es fehlt aber noch die "2te Dimension". Wie siehts denn mit der 3ten Komponente aus? Guck dir die Ursprungsmatrix nochmal an. Ich sehe gerade, dass du noch einen weiteren Fehler hast. Du musst a und -2a vertauschen. Du hast da also irgendetwas verwechselt. |
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| 08.04.2008, 22:32 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, das habe ich verdreht: Allerdings verstehe ich den Zusatz mit der Dimension von dir nicht ? Muss Mein Kern 3 Elemente ungleich null enhalten, weil das Bild der Abbildung dreidimensional ist ? das wäre dann beliebig, weil die 3. Spalte in der Matrix nur Nullen hat. also wäre die Lösung? |
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| 08.04.2008, 22:36 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie sieht denn deine Matrix in Zeilenstufenform aus? Man sieht doch auch schon sofort, dass auf jeden Fall im Kern enthalten ist. Mit dem Wissen, dass der Kern ein Vektorraum ist, solltest dir damit klar werden, was mit der 2ten Dimension gemeint war. edit: das was du noch editiert hast, ist richtig. aber das hat nichts mit der Dimension des Bildes zu tun. Das ist hier nur Zufall, dass der Kern 3 Komponenten enthält, bei denen keine 0 steht. |
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| 08.04.2008, 22:39 | w!cked | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meinst du die NSZF der erweiterten Koeffizientenmatrix? Die Dimension eines Vektorraumes ist gleich der Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraumes... |
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| 09.04.2008, 09:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gar keine.
So, so? 
Wie sieht es denn mit dem Bildvektor aus?
Nu ja. Es gibt auch so schöne Sätze wie: dim(V) = dim(Ker(A)) + dim(Im(A)). Wenn nun in diesem Fall dim(Ker(A)) = 2 ist, dann ist dim(Im(A)) = 5 - 2 = 3 = dim(W). Damit ist auch klar, was eine Basis des Bildes ist. 
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