2. De Morgansche Regel - Beweis

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Veit Auf diesen Beitrag antworten »
2. De Morgansche Regel - Beweis
Hallo,

könnte sich mal jemand meinen Beweis anschauen und mir sagen ob das so stimmt?

[latex]x \in \bigcup M' \Rightarrow (x \in U \text{ und } x \in M') \Rightarrow (x \in U \text{ und } x \notin M) \Rightarrow x \notin \bigcap M \Rightarrow x \in (\bigcap M)'[/latex]

Mit: [latex]M \in S[/latex] sind Teilmengen einer festen Menge [latex]U[/latex]

Den Beweis für die andere Richtung tippe ich jetzt mal nicht ab - ist ja ne Menge Arbeit.

Danke!

Gruß,
Veit
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Wie definierst du [latex]\bigcup M'[/latex]? Ich kenne es so:

[latex]\bigcup M' = \bigcup_{x \in M'} x[/latex]

In diesem Fall wäre deine Implikationskette auf jeden Fall falsch.
 
 
Veit Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe steht die zweite Regel so: [latex]\bigcup_{M \in S} M' = (\bigcap_{M \in S} M)'[/latex], wobei S ein nichtleeres System von Mengen M sei.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist das soweit erstmal richtig bis auf eine kleine Unsauberkeit.

[latex]x \in \bigcup_{M \in S} M' \Rightarrow \exists M \in S : x \in M' \Rightarrow x \notin M \Rightarrow x \notin \bigcap_{M \in S} M \Rightarrow x \in (\bigcap_{M \in S} M)'[/latex]
Veit Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank!

Das umgedrehte E heißt dann wohl soviel wie "Für alle [latex]M \in S[/latex]", oder? Schreibt man das per Hand auch als umgedrehtes Druckbuchstaben-E? Habe das bisher noch nie gesehen ...
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann fehlt auch noch die andere Inklusionsrichtig, oder?

Das umgedrehte "E" heißt "es existiert ein" oder "es gibt".
Das auf dem Kopf stehende "A" steht für "für alle" oder "zu jedem".

Manche schreiben auch ein großes "V" für "es gibt" und ein großes "^" für "für alle". Das bleibt jedem selbst überlassen. Die sicherste Methode ist einfach ein Satz zu formulieren.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]\exists[/latex] ist gerade nicht "für alle". Man weiss ja nicht ob für alle [latex]M \in S[/latex] auch [latex]x \in M'[/latex] ist.

Sicher ist aber das wenn [latex]x \in \bigcup_{M \in S} M'[/latex] ist das es "mindestens ein" [latex]M[/latex] geben muss so dass [latex]x \in M'[/latex].

Und das sagt [latex]\exists[/latex] aus.
Veit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Würde da dann aber z.B. stehen: [latex]x \notin \bigcup_{M \in S} M[/latex] kann man für alle [latex]M[/latex] schließen, daß [latex]x \notin M[/latex]. So kommt es nämlich in meinem Beweis für die erste Regel vor.

Die andere Inklusionsrichtung würde also lauten:

[latex]x \in (\bigcap_{M \in S} M)' \Rightarrow x \notin \bigcap_{M \in S} M \Rightarrow \exists M \in S: x \notin M \Rightarrow x \in M' \Rightarrow x \in \bigcup_{M \in S} M'[/latex]
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Beides richtig.
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