transitive Hülle (Relationen)

30.09.2005, 21:29	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
transitive Hülle (Relationen) Hallo! Habe hier folgendes Problem mit dieser Aufgabe. Gegeben ist eine Menge M={1,2,3,4} und über MxM definierte Relation R={(1,3) (3,2) (2,3) (2,4) (3,4) (4,1)} Bestimmt werden soll hier die transitive Hülle H von R bzgl. M! Ich kenne zwar die Definition der Transitivität, aber wie ich hier rangehen soll, weis ich leider nicht. Wäre super, wenn ihr mir dabei mal helfen könntet. Danke René
30.09.2005, 21:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn die transitive Hülle definiert? Und wo kommst du da nicht weiter? Ich hab das vorher noch nie gehört und kurz bei Wiki durchgelesen und eigentlich könnte ich dir jetzt sofort die transitive Hülle bestimmen. Also kann das ja nicht so schwer sein! Du musst einfach die Relation so erweitern, dass sie transitiv wird! Gruß MSS
30.09.2005, 21:50	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich habe keinen Plan, wie ich hier rangehen soll. Wie soll das gehen, die Relation zu erweitern. Aus der Definition im Wiki werde ich leider nicht schlauer. gruss René
30.09.2005, 22:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck mal, wie ist denn Transitivität definiert? Für die Hülle muss gelten: Wenn $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b,c) \end{eqnarray}$ in der Relation liegen, dann muss $\begin{eqnarray} (a,c) \end{eqnarray}$ in der Hülle liegen. Und das musst du jetzt für jedes Paar aus Paaren aus deiner Relation überprüfen, wo wir zwei gleiche Elemente haben! Wenn $\begin{eqnarray} (a,c) \end{eqnarray}$ dann in der Relation liegt, dann gehst du zum nächsten Paar. Wenn nicht, dann fügst du es hinzu, um am Ende zur transitiven Hülle zu kommen. Ich fang mal mit einem Beispiel an: Du nimmst dir die ersten beiden Paare: $\begin{eqnarray} (1,3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (3,2) \end{eqnarray}$ . Diese beiden liegen drin in der Relation. Also muss $\begin{eqnarray} (1,2) \end{eqnarray}$ in der Hülle liegen (siehe oben, wo ich das allgemein formuliert habe). Es liegt aber nicht in der Relation, also musst du es hinzufügen. Und das machst du jetzt für jedes Paar von Paaren auch und dann hast du die Hülle! Gruß MSS
30.09.2005, 22:37	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt jetzt aber so, als würden nur die (a,c)'s zur transitiven Hülle gehören, die jetzt nicht in der Relation wieder auftauchen. (1,3) (3,2) = (1,2) nicht dabei (3,2) (2,3) = (3,3) nicht dabei (2,3) (3,4) = (2,4) dabei (1,3) (3,4) = (1,4) nicht dabei (3,2) (2,4) = (3,4) dabei (2,4) (4,1) = (2,1) nicht dabei ich denke mal, das ich das zusoweit richtig erkannt habe. Wie sieht jetzt die transitive Hülle aus? So? $\begin{eqnarray} H=\{(2,4) (3,4)\} \end{eqnarray}$ oder doch mit dennen die nicht dazu gehören?
30.09.2005, 23:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. 1. Die, wo du "nicht dabei" geschrieben hast, die liegen in der Hülle 2. Die kommen aber noch zusätzlich zu denen, die schon in der Relation sind. Die Hülle ist also die Vereinigung der Paare aus der Relation mit denen, wo du "nicht dabei" hinter geschrieben hast. Allerdings hast du noch welche vergessen, nämlich (2,3) (3,2) = (2,2) (4,1) (1,3) = (4,3) (3,4) (4,1) = (3,1). Also: $\begin{eqnarray} H=\{(1,3); (3,2); (2,3); (2,4); (3,4); (4,1); (1,2); (3,3); (2,2); (1,4); (4,3); (3,1); (2,1)\} \end{eqnarray}$ Wobei mir auffällt, dass das doch nicht stimmt. Deswegen nennen wir das mal lieber $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} H'=\{(1,3); (3,2); (2,3); (2,4); (3,4); (4,1); (1,2); (3,3); (2,2); (1,4); (4,3); (3,1); (2,1)\} \end{eqnarray}$ Wir müssen nämlich nicht nur Paare von Paaren nehmen, sondern auch Tripel von Paaren und Quadrupel, Fünftupel und Sechstupel von Paaren. Z. B. können wir auch folgendes kombinieren: (1,3) (3,2) (2,4) (4,1) = (1,1) und das muss dann auch noch in die Hülle rein. D. h. du musst nicht nur Paare von Paaren nehmen, sondern alle möglichen k-Tupel und darauf das Verfahren anwenden. Oder du nimmst $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ und machst da das gleiche wie bei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , nimmst also bei $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ wieder alle Paare von Paaren und wieder fügst du die Paare hinzu, die sich über die Transitivität ergeben. Natürlich musst du das dann nur mit den Paaren machen, die dazu gekommen sind. Das machst du dann so lange, bis nichts mehr hinzuzufügen ist und das ist dann deine Hülle. Gruß MSS
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30.09.2005, 23:15	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke! Aber allgeimein ausgedrückt bzw. wenn ich das Spiel nicht zu weit treiben möchte, dann wäre H' die grobe Lösung bzw. die transitive Hülle? gruss René
30.09.2005, 23:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du musst es weiter treiben. Gruß MSS

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