E-Funktionen auflösen

09.04.2008, 18:10

Jacko

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E-Funktionen auflösen

Hi!

Also gegeben sind die Punkte P (0 / 3) und Q (812 / 189)
und die Funktion g(x) = a (e^bx + e^-bx)

Wie ihr bestimmt schon ahnt muss ich nach a und b auflösen.

a ist relativ einfach:
(Punkpt P in g(x) eingesetzt smile

smile

g(0) a ( x^0 + e^0) = a ( 1 + 1) = 3 <=> a = 1,5

Für b "a" und Punkt Q nochmal in g(x) eingesetzt:

g(812) = 1,5 ( e^812b + e^-812b) = 189

Durch den Faktor a geteilt erhalte ich Folgende Zeile:

e^812b + e^-812b = 126

Kann ich hier schon LN anwenden? Wenn da das minuszeichen in e^-812b wäre
könnte ich ja einfach 2 e^812b schreiben und einfach durch zwei teilen...

Wäre dankbar für hilfe ^^

LG

09.04.2008, 18:15

mYthos

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Logaritmus geht wegen der Summe nicht!

Setze $\begin{eqnarray*} e^{b} = z \end{eqnarray*}$ ! Was ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-b} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du richtig gerechnet hast, erhältst du für z zwei Werte - und JETZT gilt ln ahoi!

mY+

09.04.2008, 18:25

Jacko

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wenn ich e^b = z setze erhalte ich doch für e^-b = 1/z ?

Warum gilt dann ln , wenn da keine e-Funktion mehr ist?

09.04.2008, 21:50

mYthos

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Die ln-Funktion ist nachher da, wenn du z ausgerechnet hast!
Allerdings habe ich die 812 übersehen, die noch beim b stehen.

Also:

$\begin{eqnarray*} e^{812b} = z \ \ \to e^{-812b} = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z + \frac{1}{z} = 126 \end{eqnarray*}$

Aus dieser quadr. Gleichung ermittelst du nun z. Danach erfolgt die Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} e^{812b} = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 812b = \ln z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to b \end{eqnarray*}$

mY+

10.04.2008, 11:02

Jacko

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Danke dir vielmals!

Die Frage hat sich zwar geklärt, aber wenn ich es ohne Substition versuchen würde,
nämlich so:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{e^{812b}}{1} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{e^{812b}} \right) = 126 \end{eqnarray*}$

Erweitern mit e^{812b} :

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{2 e^{812b}}{e^{812b}} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{e^{812b}} \right) = 126 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{2 e^{812b}+1}{e^{812b}} \right) = 126 \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

10.04.2008, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jacko
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{2 e^{812b}}{e^{812b}} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{e^{812b}} \right) = 126 \end{eqnarray*}$

Da hast du beim Erweitern des 1. Bruchs den Zähler falsch gerechnet.

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10.04.2008, 12:32

Mutrim

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich jetzt Registiert smile

smile

Danke, habs übersehen!

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{(e^{812b})^{2}+1}{e^{812b}} \right) = 126 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^{812b})^{2} \end{eqnarray*}$ kann man auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} e^{1624b} \end{eqnarray*}$ ?

Ich glaub, das führt nicht zum Ziel Big Laugh

Big Laugh

10.04.2008, 12:41

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kommst im Prinzip um die Substitution nicht herum.
Schreib doch mal die quadratische Gleichung in z auf ....

mY+

10.04.2008, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mutrim
Ich glaub, das führt nicht zum Ziel Big Laugh

Big Laugh

Man kann natürlich auch einen Umweg fahren:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b})^{2}+1}{e^{812b}} = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b})^{2} - 126e^{812b} + 63^2 + 1 + 126e^{812b} -63^2}{e^{812b}} = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 126e^{812b} + 1 - 63^2}{e^{812b}} = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2}{e^{812b}} + 126 = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2}{e^{812b}} = 0 \end{eqnarray*}$
smile

smile

11.04.2008, 11:17

Mutrim

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Substituion ist echt viel einfacher smile

smile

$\begin{eqnarray*} z = e^{812b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 126 = z + 1/z \end{eqnarray*}$

<=>
$\begin{eqnarray*} z² - 126z + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ (=> PQ Formel)
<=>
(Quadratische Ergänzung und Resubst.)

$\begin{eqnarray*} {(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2} = 0 \end{eqnarray*}$ (=>LN)

Wäre auf die Quadr.Ergänzung echt entweder garnicht oder sehr spät draufgekommen... Danke!

Übrigens, b= 0,00596

11.04.2008, 18:28

mYthos

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Ich finde auch die Substituion am einfachsten Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ stimmt, es gibt aber zwei Lösungen! ( $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ )

mY+

11.04.2008, 20:34

legorado

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Da dies nun ja gelöst ist, wage ich mich auch mal etwas zu dieser Aufgabe zu fragen. Ich muss dazu sagen, wir haben erst heute mit der Exponentialfunktion begonnen.

bis hierhin ist alles soweit klar:

$\begin{eqnarray*} z_1=e^{812*b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(812*b)=ln(z_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(812)+ln(b)=ln(z_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(b)=\frac{ln(z_1)}{ln(812)} \end{eqnarray*}$

Ich hätte dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} ln(b)=0.721877.... \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, ob man das überhaupt so machen kann und wie ich es vollenden soll.

mfg Legorado

11.04.2008, 21:15

Mutrim

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Zitat:

Original von legorado

$\begin{eqnarray*} z_1=e^{812*b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(812*b)=ln(z_1) \end{eqnarray*}$

Die zweite Zeile stimmt nicht ganz.. ln hebt sich ja auf..

Also:

$\begin{eqnarray*} 812b = ln(z) \end{eqnarray*}$

@mYthos

Es gibt zwar zwei Lösungen für z, aber beim Resubstitution kann ich ja nur
den Positiven nehmen, da Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert ist...
Oder habe ich da was übersehen? smile

smile

LG

11.04.2008, 21:28

legorado

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, durch den ln eliminiere ich ja praktisch nur e und hohle somit die "Hochzahl" von e nach unten.

Jetzt stellt sich mir nurnoch die Frage, warum ihr das über die quadratische Ergänzung gelöst habt, das finde ich sehr viel umständlicher als meinen Weg.

mfg

11.04.2008, 23:25

mYthos

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Zitat:

Original von legorado
...
bis hierhin ist alles soweit klar:

$\begin{eqnarray*} z_1=e^{812*b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(812*b)=ln(z_1) \end{eqnarray*}$

...

Und bis hier ist's schon leider wieder falsch, wie du es ja auch schon erkannt hast ...

$\begin{eqnarray*} \ln e^a = a \end{eqnarray*}$

Von welchem Weg deinerseits sprichst du? Du hast doch erst nach der Substitution angefangen!

Mutrim:
Hier irrst du, nicht der Logarithmand ist negativ, sondern der Logarithmus! Und das kann ja durchaus der Fall sein.

$\begin{eqnarray*} \ln \frac{1}{z} = - \ln z \end{eqnarray*}$

Somit

$\begin{eqnarray*} e^{812b_2} = - \ln z_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2 = - \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

11.04.2008, 23:52

legorado

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mutrim
$\begin{eqnarray*} z² - 126z + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ (=> PQ Formel)
<=>
(Quadratische Ergänzung und Resubst.)

$\begin{eqnarray*} {(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2} = 0 \end{eqnarray*}$ (=>LN)

Diese letzte Zeile verstehe ich nicht, was soll das für einen Vorteil schaffen?

Ich meine, warum man nicht mit $\begin{eqnarray*} z^2-126z+1=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z_1 und z_2 \end{eqnarray*}$ ausrechnet , dann rücksubstituiert und dann anschließend über $\begin{eqnarray*} b=\frac{ln(z_{1/2})}{812} \end{eqnarray*}$ b ausrechnet?

mfg legorado

12.04.2008, 01:45

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von legorado

Zitat:

Original von Mutrim
$\begin{eqnarray*} z² - 126z + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ (=> PQ Formel)
<=>
(Quadratische Ergänzung und Resubst.)

$\begin{eqnarray*} {(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2} = 0 \end{eqnarray*}$ (=>LN)

Diese letzte Zeile verstehe ich nicht, was soll das für einen Vorteil schaffen?
...

Und ob!

$\begin{eqnarray*} {(e^{812b}-63)^2 = 63^2 - 1} = 0 \end{eqnarray*}$

Rechte Seite berechnen, beidseits die Quadratwurzel ziehen (rechts gibt's 2 Vorzeichen) .....
Aber mit der Formel geht's natürlich ebenso gut!

mY+

12.04.2008, 09:46

legorado

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt kann ich folgen. Ich bleibe aber doch besser bei der Lösungsformel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2008, 12:38

Mutrim

Auf diesen Beitrag antworten »

63^2 - 1 = 0 ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} {(e^{812b}-63)^2 = 63^2 - 1} \end{eqnarray*}$

LG

12.04.2008, 12:42

legorado

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jo, habe ich auch bemerkt, doch verziehen, es war ja schon sehr spät. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2011, 14:47

Mutrim

Auf diesen Beitrag antworten »

Huii.. ist das lange her Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mutrim
Ich glaub, das führt nicht zum Ziel Big Laugh

Big Laugh

Man kann natürlich auch einen Umweg fahren:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b})^{2}+1}{e^{812b}} = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b})^{2} - 126e^{812b} + 63^2 + 1 + 126e^{812b} -63^2}{e^{812b}} = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 126e^{812b} + 1 - 63^2}{e^{812b}} = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2}{e^{812b}} + 126 = 126 \end{eqnarray*}$
<==>

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2}{e^{812b}} = 0 \end{eqnarray*}$
smile

smile

Ähmm..

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 1 - 63^2}{e^{812b}} = 0 \end{eqnarray*}$

<=>
$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{812b}-63)^2 + 3968}{e^{812b}} = 0 \end{eqnarray*}$

<=>
$\begin{eqnarray*} (e^{812b}-63)^{2} - 3968 = 0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} (e^{812b}-63)^{2} = 3968 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} (e^{812b}-63) = \sqrt{3968} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} (e^{812b}) = \sqrt{3968}+63 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 812b = ln( \sqrt{3968}+63) \end{eqnarray*}$

<=> b = hmmmm habe leider keinen Taschenrechner... Big Laugh

Big Laugh

aber da kommt leider nicht b= 0,00596 raus.. Habe ich mich vor 2 Jahren vielleicht verrechnet, oder bin ich dümmer geworden.... verwirrt

verwirrt

böse

Big Laugh

Big Laugh

11.02.2011, 19:50

mYthos

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Nun, ich hoffe doch nicht, letzteres! Big Laugh

Big Laugh

WIE hast du denn das b berechnet?
(Hinweis: b = 0,005956 ist tatsächlich eine der beiden Lösungen)

mY+

11.02.2011, 20:41

Mutrim

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Ich hatte es in Google-Rechner eingegeben, aber der hatte mir ein anderes Ergebnis rausgespuckt.. Tanzen

Tanzen

Habs eben mit Taschenrechner nachgerechnet und bekomme

$\begin{eqnarray*} b = \frac{ln( \pm \sqrt{3968}+63)}{812} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{1} = 0,005956 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{2} = -0,005956 \end{eqnarray*}$

smile

smile

11.02.2011, 21:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, dann gefällt dir das jetzt und es ist alles geklärt?

mY+

11.02.2011, 21:10

Mutrim

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Japp.

Bedankt Meister mYthos! :-)

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