Binomial oder Hypergeometrisch?

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Binomial oder Hypergeometrisch?
Ich habe mal ne ganz allgemeine, grundlegende Frage:

Was sind eindeutige Indikatoren dafür, dass es sich entweder um eine Binomialverteilung (BV) oder um eine Hypergeometrische Verteilung handelt?

Ich lese immer davon, dass im Gegensatz zu Bernoulli-Experimenten bei einer Hypergeometrischen Verteilung (HGV) wiederholte Ergebnisse NICHT erlaubt sind.

Dies führt doch zu dem Schluss, dass man bei der HGV beim Ziehen ohne Zurücklegen beim nächsten Zug eine veränderte Trefferwahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis hat.

Bei einer BV legt man anscheinend zugrunde, dass trotz mehrfacher Züge die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt, da wiederholte Ergebnisse erlaubt sind.

Gehen wir mal von einem typischen Bernoulli-Experiment aus:

Eine Firma produziert Schrauben mit einem Ausschuss von 2%.
Es werden zufällig 10 Schrauben ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Schrauben defekt sind ?

Warum wird hier demnach trotz des 10-fachen Zuges, wobei ja keine Schraube wieder zurückgelegt wird, davon ausgegangen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit p=2% für eine defekte Schraube immer konstant ist, wo ich doch die Gesamtzahl der Schrauben durch meine Züge manipuliere?

Oder soll man sich jede gezogene Schraube einzeln mit p=2%vorstellen? Find ich aber nach mehreren Zügen unlogisch.

Wo liegt mein Denkferhler?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein:
binomialmodell: ziehen mit zurücklegen
hypergeometr. modell: ziehen ohne zurücklegen


dein modell ist eh nur eine näherung
was heißt hier 2% ausschuss?

wenn es heißt: sie produzieren 1000000 schrauben pro tag, davon sind genau 20000 aussschuss, dann hast du tatsächlich recht und du hättest ganz genau genommen ein hypergeometrisches modell, wenn du daraus 10 ziehst

aber das heißt es nicht, sondern eher, jede schraube hat (unabhängig vom rest) eine wahrscheinlichkeit von 2%, dass sie kaputt ist (diese wahrscheinlichkeit schätzt man einfach über den bestand vieler tage ab)

dabei ist in beiden fällen die 2% natürlich schon GERUNDET, ohne rundungsfehler kommst au also nicht aus
und dir wird auffallen, dass hier, auch wenn du das erste modell wie das zweite rechnest, kaum ein unterschied auftreten wird

allgemeine regel übrigens: für große mengen, aus denen kleine mengen gewählt werden ist die leichter zu rechnenden binomialverteilung immer eine gute approximation für ein hypergeometrisches modell

klar?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm einmal an, es sind 1000000 Schrauben. Davon sind 20000 mangelhaft. Jetzt ziehst du zehn Schrauben ohne Zurücklegen. Beim ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit für mangelhaft beim zweiten Zug bzw. . Und wenn du dir den Baum weiter vorstellst, so wird sich zwar die Wahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe in Wirklichkeit ändern, aber nicht so stark, daß das numerisch von Belang wäre, jedenfalls solange du nicht zu viele Züge machst.

Merke: Ist die Anzahl der Ziehungen klein gegenüber einer übergroßen Grundgesamtheit, so kann man ohne meßbaren Rechenfehler mit der Binomialverteilung statt mit der hypergeometrischen rechnen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Damals fandest du es spitzfindig und heute erklärst du auf einmal selber, dass man mit der Binomialverteilung rechnen kann. Big Laugh

Gruß MSS
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal bis dahin smile

Nochmal um sicherzugehen:

1) Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist eine aus Erfahrung gewonnene, allgemeine, sich ausschließlich auf genau eine Schraube unabhängig von den anderern, bezogene Angabe.

2) Ohne eine konkrete Angabe von defekten Schrauben (wie in euren Beispielen 20000) ist es nicht möglich das Modell der Hypergeometrischen Verteilung anzuwenden (nach Formel).

3) Mit lediglich einer Angabe über die Trefferwahrscheinlichkeit p ist es unmöglich das Modell der HGV anzuwenden.

4) Vergleichsweise wenige Züge gegenüber sehr hoher Grundgesamtheit rechtfertigen eine Annäherung durch Binomialverteilung trotz ziehen ohne zurücklegen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

so in etwa

so etwas mit hypdergeometrischer verteilung berechnen zu wollen ist einfach ein typisches beispiel für überzogene genauigkeiten bei der berechnung von gerundeten werten
und am besten dann noch das taschenrechnerergebnis auf die 20.te stelle abschreiben......

Zitat:
2) Ohne eine konkrete Angabe von defekten Schrauben (wie in euren Beispielen 20000)

kannst dir selbst überlegen, ob du im späteren berufsleben lieber den ganzen tag schrauben zählen willst, oder doch lieber ungenau approximierst smile
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@Leopold
Damals fandest du es spitzfindig und heute erklärst du auf einmal selber, dass man mit der Binomialverteilung rechnen kann. Big Laugh

Gruß MSS


Du solltest Politiker (:thumbsmile werden. Denn du drehst einem das Wort im Halse herum.
Hier bin ich auf den Zusammenhang zwischen hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung eingegangen, weil danach gefragt wurde. An jener Stelle hast du dagegen urplötzlich mit der hypergeometrischen Verteilung eine überflüssige Problematisierung ins Spiel gebracht, was für die Aufgabe ohne Belang war.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du solltest Politiker (:thumbsmile werden.

*lol* Ganz sicher nicht! Big Laugh

Gruß MSS
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