Kegelschnitte

05.10.2005, 14:16

conny108

Kegelschnitte

Hallo Leute,

ich brauche eure Hilfe bei einem Problem.
Wahrscheinlich steh ich einfach nur auf dem Schlauch, denn ich konnte es mal.

Meine Frage ist wie komme von der allgemeinen Kegelschnittgleichung
$\begin{eqnarray*} Ax²+ 2Bxy+ Cy²+ Dx+ Ey+ F= 0 \end{eqnarray*}$

auf eine 3x3 oder 2x2 Matrix.

Ich habe auch ein Beispiel.

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

entspricht

$\begin{eqnarray*} 2x²+ 8xy+ 2y²+ 4x- 2y= 0 \end{eqnarray*}$

Danke euch

05.10.2005, 15:38

riwe

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RE: Kegelschnitte
diese form ist mir neu, ich kenne nur eine invariante
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & b & d \\ b & c& e \\ d & e & f \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
die stimmt aber nicht mit deinen zahlen überein
werner

05.10.2005, 16:15

conny108

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RE: Kegelschnitte
Ich habe jetzt alle Bücher durchgeschaut und finde auch keine Lösung um von

$\begin{eqnarray*} 2x²+ 8xy+ 2y²+ 4x- 2y= 0 \end{eqnarray*}$

auf die Matrize zu kommen.

ich nehme auch jede andere Variante um von der o. g. Gleichung auf die 3x3 Matrix zu kommen.

Es geht darum, ob es sich um eine Hyperbel, Ellipse oder Parabel handelt.

05.10.2005, 16:48

riwe

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RE: Kegelschnitte
dann schau mal bei bronstein, S 189 ff.
bitte beachte:
$\begin{eqnarray*} ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D =\begin{vmatrix} a & b & d \\ b & c& e \\ d & e & f \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta=\begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
und S = a +c

$\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$

D <>0: ellipse für DS < 0
für DS > 0 imaginäre ellipse

D = 0 paar imaginärer geraden mit gemeinsamen reellem punkt

$\begin{eqnarray*} \delta < 0 \end{eqnarray*}$

D <> 0 hyperbel
D = 0 paar sich schneidender geraden

$\begin{eqnarray*} \delta = 0 \end{eqnarray*}$

D <> 0 parabel

D = 0:
parallele gerade für X = d^2 - af > 0
doppelgerade für X = 0
imaginäre gerade für X < 0

wenn ich mich nicht vertan habe, müßte deine kurve eine hyperbel sein
werner

06.10.2005, 10:17

conny108

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RE: Kegelschnitte
Ich habe ein Beispiel könntest du mal schauen, ob ich das richtig habe, denn dann habe ich es vertsnaden. Denn ich glaube mein Dozent hat in seinem Beispiel ein Fehler gemacht und deswegen bin ich (glaub ich zum mindest) durcheinander gekommen.

$\begin{eqnarray*} 3x²+ 5xy- 7y²+ 2x+ 7= 0 \end{eqnarray*}$

das ergibt:

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 3 & 5/2 & 2 \\ 5/2 & -7 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 3 & 5/2 \\ 5/2 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke wernerrin für deine immer so schnelle und einfach zu verstehende Hilfe.

Gruß conny108

06.10.2005, 11:33

riwe

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RE: Kegelschnitte
bitte beachte:
$\begin{eqnarray*} ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=\begin{vmatrix} 3& 2.5 & 1 \\ 2.5 & -7 & 0 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

du hast bei d und e den faktor 2 vergessen
sonst paßt es
werner

n.s. ich habe es nur bei bronstein abgetippt.

06.10.2005, 14:18

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@conny108

Werners Betzeichnungen

$\begin{eqnarray*} ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0 \end{eqnarray*}$

verwendend, und dein Beispiel

Zitat:

Original von conny108
$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

entspricht

$\begin{eqnarray*} 2x²+ 8xy+ 2y²+ 4x- 2y= 0 \end{eqnarray*}$

betrachtend, scheint bei dir eher "etwas vertauscht"

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} f & d & e \\ d & c & b \\ e & b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu gelten.

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