Ungleichung Lösen

05.10.2005, 20:42

Lapskaus

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Ungleichung Lösen

Ich hab ne kleine Verständnisfrage zu einer Ungleichung die wir heute in einer Vorlesung als Beispiel angeführt haben.

Gesucht ist die Lösungsmenge L für :

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+2)*(2x-1)} > \frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

Zunächst der Definitionsbereich :

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \ \{ -2,\frac{1}{2},-3\} \end{eqnarray*}$

Da man die Nenner eliminieren muss, müssen die Vorzeichen der Nenner geklärt werden.

Ich schreib jetzt mal eine Kurzfassung der Lösungswege für :

$\begin{eqnarray*} (x+2) * (2x-1) > 0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty ,-2)u (\frac{1}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$

das ganze für ...<0 ergibt :

$\begin{eqnarray*} x \in (-2,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

jetzt das gleiche nochmal für :

$\begin{eqnarray*} x+3>0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x \in (-3,\infty ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+3<0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty,-3) \end{eqnarray*}$

So und jetzt zu meinem Problem:

Aus dem ganzen vorigen Geplänkel ergeben sich dann folgende 4 Fallunterscheidngen:

1. $\begin{eqnarray*} x\in (\frac{1}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x\in (-2,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} x\in (-3,-2) \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty ,-3) \end{eqnarray*}$

Das darauffolgende Lösen der Gleichungen und das vorige feststellen der Vorzeichen ist alles einleuchtend und klar für mich.

Allerdings frag ich mich wie sich diese Intervalle bei den Fallunterscheidungen zusammensetzen und wie man darauf kommt ?!

Danke schonmal im vorraus,
Lapskaus

06.10.2005, 01:09

irre.flexiv

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Du hast bestimmt gesehen das die Intervallgrenzen immer genau die Nullstellen der Nenner sind.

Nur an diesen Stellen kann ein Vorzeichenwechsel passieren was in einem anderen Rechenweg und Lösung resultiert.

Besser verstehen wirst du es wahrscheinlich mit einem einfacheren Beispiel, z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} > x \end{eqnarray*}$ , und einer Skizze der Lösungsmenge auf einem Zahlenstrahl

06.10.2005, 07:00

sqrt(2)

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Wenn du die gesamte Gleichung vorher umdrehst (also im Prinzip hoch minus eins nimmst, das Ungleichheitszeichen dreht sich dabei um!), dann hast du nur noch eine Fallunterscheidung zu machen, nämlich x > 0 und x < 0 (für x = 0 einfach händisch prüfen). Das dürfte weniger aufwändig sein.

06.10.2005, 07:23

Lapskaus

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Ist zwar eh noch zu früh als das ich davon jetzt irgendwas aufgenommen hätte , aber wenn ich gleich wiederkomm werd ich mir das mal genauer ansehen ... danke schonmal für die antworten

06.10.2005, 10:48

Lapskaus

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Ist es nicht so , dass man für die 4 möglichen Fälle ( beide >0, beide <0, und je 1 >0 und der andere <0) einfach die 4 entsprechenden Schnittmengen der vorher berechneten Wertebereiche für denjenigen Fall berechnen muss ?
Wenn dem so ist, weiss ich nicht wie man auf das Intervall (-3,-2) kommt (3.Fall)

06.10.2005, 10:58

AD

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Wenn du die gesamte Gleichung vorher umdrehst (also im Prinzip hoch minus eins nimmst, das Ungleichheitszeichen dreht sich dabei um!), dann hast du nur noch eine Fallunterscheidung zu machen, nämlich x > 0 und x < 0 (für x = 0 einfach händisch prüfen).

Da bist du ausnahmsweise mal auf dem Holzweg: Das Ungleichheitszeichen dreht sich nur dann um, wenn auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen herrscht. Und das zu prüfen, läuft letztendlich doch auf die von Lapskaus angegebenen Fallunterscheidungen hinaus.

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06.10.2005, 11:24

Lapskaus

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Zitat:

Das Ungleichheitszeichen dreht sich nur dann um, wenn auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen herrscht

Wieso das ? es dreht sich doch nur um wenn 2 verschiedene Vorzeichen herrschen ?

Laut Definition dreht es sich immer dann um wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert / dividiert

Ich will die Nenner eliminieren , also muss ich ja nacheinander die Nenner auf beiden seiten multiplizieren.
=> wenn beide seiten positive Nenner haben passiert nix, und wenn beide negative Nenner haben dreht sich das Ungleichheitszeichen doch praktisch zweimal um .

Oder irre ich mich jetzt ?

06.10.2005, 11:31

AD

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Beim Beitrag von sqrt(2) geht es nicht um Multiplikation, sondern um Reziprokbildung auf beiden Seiten der Ungleichung. Und darauf bezog sich mein Beitrag! Bring also nicht den aus meinem Beitrag herausgerissenen Satz plötzlich mit Multiplikation in Verbindung. unglücklich

unglücklich

06.10.2005, 11:56

Lapskaus

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'tschuldige, aber ich habs durch :

Zitat:

Und das zu prüfen, läuft letztendlich doch auf die von Lapskaus angegebenen Fallunterscheidungen hinaus.

auf "meine" Lösungsart bezogen.

Aber mal zurück zu meiner Frage :

Zitat:

Ist es nicht so , dass man für die 4 möglichen Fälle ( beide >0, beide <0, und je 1 >0 und der andere <0) einfach die 4 entsprechenden Schnittmengen der vorher berechneten Wertebereiche für denjenigen Fall berechnen muss ?

Genauso wie es da oben steht wirds nämlich in anderen Beispielen gemacht. Und egal wie ichs dreh und wende ich komm bei keiner der Schnittmengen auf das Intervall (-3,-2) .

Für den Fall beide Nenner >0 Ergibt sich ja die Schnittmenge aus :
$\begin{eqnarray*} x\in ((-\infty ,-2)u(\frac{1}{2}, \infty ))geschnitten(-3,\infty ) \end{eqnarray*}$
da die Funktion für (-3,-2,1/2) nicht definiert ist ergibt sich :

1.Fall $\begin{eqnarray*} x\in (\frac{1}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$

Für den Fall 1.Nenner<0 und 2.Nenner>0 ergibt sich die Schnittmenge aus:
$\begin{eqnarray*} x\in (-2,\frac{1}{2})geschnitten(-3, \infty ) \end{eqnarray*}$

2.Fall ist also $\begin{eqnarray*} x\in (-2,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Für den Fall 1.Nenner >0 und 2. Nenner <0 ergibt sich die Schnittmenge aus :
$\begin{eqnarray*} x\in ((-\infty ,-2)u(\frac{1}{2},\infty ))geschnitten(- \infty ,-3) \end{eqnarray*}$

Das Würde dem 4. Fall im o.g. Beispiel entsprechen : $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty ,-3) \end{eqnarray*}$

Und falls beide <0 sind würde sich die Schnittmenge aus :
$\begin{eqnarray*} x\in (-2,\frac{1}{2})geschnitten(- \infty ,-3) \end{eqnarray*}$

Und das wäre doch die Leere Menge ?!

06.10.2005, 14:40

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das Ungleichheitszeichen dreht sich nur dann um, wenn auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen herrscht. Und das zu prüfen, läuft letztendlich doch auf die von Lapskaus angegebenen Fallunterscheidungen hinaus.

Klar, logisch. Da hab ich bisher nur Glück gehabt. smile

smile

09.10.2005, 18:22

Lapskaus

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Also ich hab grad folgende aufgabe gerechnet und würd gern wissen ob ihr aufs gleiche Ergebnis kommt.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1-x)*(4x+3)}> \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Meine Lösungsmenge :

$\begin{eqnarray*} L= (-\infty ,-\frac{3}{5})u( \frac{3}{4},1) \end{eqnarray*}$

09.10.2005, 18:30

sqrt(2)

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Die Lösung ist fast richtig, aber du scheinst irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht zu haben.

$\begin{eqnarray*} L=\left(-\infty,-\frac{3}{4}\right)\cup\left(-\frac{3}{5},1\right) \end{eqnarray*}$

09.10.2005, 19:02

Lapskaus

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Jupp danke, hab den Fehler gefunden, war direkt am Anfang beim bestimmen der nötigen Grundbedingungen.

Jetzt häng ich bei der nächsten Aufgabe fest :

$\begin{eqnarray*} (x-1)*\frac{x^2-x-2}{x} \leq \mid x-1\mid \end{eqnarray*}$

Als Fallunterscheidungen hab ich raus :

1. $\begin{eqnarray*} x\in [1,\infty ) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \end{eqnarray*}$
3. leere menge
4. $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty ,0) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt den ersten Fall anfange komm ich irgendwie nich weiter als :

$\begin{eqnarray*} x^3-3x^2+2\leq 0 \end{eqnarray*}$

Da weiss ich jetzt nich wie ich es weiter auflösen soll.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

09.10.2005, 19:09

AD

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Das "Ausmultiplizieren" mit (x-1) war ein taktischer Fehler - du hättest die gesamte Ungleichung durch (x-1) dividieren sollen. Bei der Fallunterscheidung ist dann ja auch jeweils klar, ob sich das Ungleichheitszeichen ändert, oder nicht.

09.10.2005, 19:42

Lapskaus

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Hab da jetzt folgendes raus :

$\begin{eqnarray*} x\in (1, 1+\sqrt{3})u(- \sqrt{2},0) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so ?

09.10.2005, 19:47

AD

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Ist "fast" richtig, nur die Intervallgrenzen noch nicht - in der Ungleichung steht <, nicht < !!!

P.S.: Vereinigung schreibt man in LaTeX mit \cup

09.10.2005, 20:03

Lapskaus

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Ach joa hab ich übersehen , es wäre also :
$\begin{eqnarray*} x \in [1,1+\sqrt{3}] \cup [- \sqrt{2},0) \end{eqnarray*}$

Und die letzte Aufgabe für heute wäre diese hier :

$\begin{eqnarray*} x < \sqrt{a+x} \end{eqnarray*}$

dabei hab ich raus :

$\begin{eqnarray*} x\in (\frac{1}{2}- \sqrt{a-\frac{1}{4} },\frac{1}{2}+ \sqrt{a-\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

09.10.2005, 22:32

AD

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Vorzeichenfehler beim Umstellen: Die Lösung ist

$\begin{eqnarray*} x\in \left(\frac{1}{2}- \sqrt{a+\frac{1}{4} },\frac{1}{2}+ \sqrt{a+\frac{1}{4}}\right) \end{eqnarray*}$ ,

aber auch das stimmt nur für bestimmte $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , nicht für alle!

09.10.2005, 22:36

Lapskaus

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Hatte vergessen anzugeben a>0 ....

aber das mit den vorzeichenfehlern die ich ständig mache regt mich echt auf, weil ich das eigentlich drauf hab oO

09.10.2005, 22:39

AD

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Um es genauer zu sagen: Auch die von mir angegebene Lösung stimmt nur für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}\leq a\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ist sie auch falsch!

Hinweis: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung!

09.10.2005, 23:08

Lapskaus

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Um es genauer zu sagen: Auch die von mir angegebene Lösung stimmt nur für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}\leq a\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ist sie auch falsch!

Hinweis: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung!

Wie kommt man denn jetzt auf das Intervall $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}\leq a\leq 0 \end{eqnarray*}$

09.10.2005, 23:50

AD

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Ständig muss ich mich wiederholen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Hinweis: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung!

Und um es zu verdeutlichen, dass $\begin{eqnarray*} L=\left(\frac{1}{2}- \sqrt{a+\frac{1}{4} },\frac{1}{2}+ \sqrt{a+\frac{1}{4}}\right) \end{eqnarray*}$ nicht die Lösungsmenge ist:

Betrachte z.B. mal den Parameterfall $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ , da ist $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ zwar Lösung der Ungleichung, aber nicht in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ enthalten.

Der Grund dafür ist einfach, dass die Original-Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ immer erfüllt ist, sofern dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überhaupt im Definitionsbereich der beteiligten Terme liegt.

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