Aufgabe - Vektor(en) bestimmen

08.10.2005, 19:44

Frieder

Aufgabe - Vektor(en) bestimmen

HI
hab da ne Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiter komm.

Bestimmen sie alle Vektoren, die mit (1 1 0) einen Winkel von 60° und mit
(1 -1 -1) einen Winkel von 90° bilden.

Hab mir gedacht mit Hilfe des Skalarprodukts kann ich das viell lösen.

und zwar einmal:

1 _>
-1 x b = 0 da kommen jetz ja sehr viele Lsg raus.
-1

dann eine weitere Gleichung: ich schreibs mal in Worten, weiß net wie es sonst geht.

Vektor a mal Vektor b = Betrag von Vektor a mal Betrag von Vektor b mal cos 60°

mit dieser Formel wollte ich Vektor b rauskriegen und dann die 2 Formeln gleichsetzen. Aber hab dann gemerkt, krieg ja gar kein b raus, sondern nur
Vektor b durch Betrag von Vektor b.

Kann jemand weiterhelfen?

08.10.2005, 21:24

riwe

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RE: Aufgabe - Vektor(en) bestimmen
die idee ist schon richtig.
wenn du den gesuchten vektor
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nennst, erhältst du aus der 2. bedingung:
$\begin{eqnarray*} x_1-x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$
nun kannst du über eine komponente verfügen, sei also x3 = 1.
das in die erste bedingung eingesetzt, liefert (d)einen gesuchten vektor. dann mußt du noch überlegen/ überprüfen, ob alle lösungen lösungen deines problems sind, bzw. ob oder wie du alle lösungen bekommst.
eine mögliche lösung ist/ wäre
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
denkt/hofft/vermutet
werner

08.10.2005, 21:37

kunterbunt

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Ich denke mal man müsste einfach nur, um alle Lösungen zu bekommen, ein t davorsetzen: $\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit t $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R+ \end{eqnarray*}$ \0

08.10.2005, 22:52

riwe

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soferne t*(1 0 1) denn alle lösungen darstellt, was noch zu überprüfen wäre, ansonsten bin ich deiner meinung, denkt
werner

EDIT: danke jochen, das "+" habe ich überlesen

08.10.2005, 23:34

JochenX

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Zitat:

Original von kunterbunt
mit t $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R+ \end{eqnarray*}$ \0

na warum denn diese einschränkung für t?
t darf doch genauso auch negativ sein!

zur anzahl der lösungs"richtungen" hier mal meine vermutung:

die vektoren, die senkrecht zu einem anderen vektor liegen sind ja alle komplanar, das ist soweit klar
aber die vektoren, die in einem 60°winkel zu einem speziellen vektor liegen, sind das nicht

deswegen vermute ich kaum, dass hier tatsächlich nur linear abhängige vektoren rauskommen, wie ihr das so einfach vermutet

verwirrt

edit: wenn die gesuchten vektoren x die form (x1/x2/x3) haben, dann gilt doch:
x erfüllt obige bedingungen
<=>
$\begin{eqnarray*} x_1-x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2}*\sqrt{2}*\frac{1}{2}=x_1+x_2 \end{eqnarray*}$

dieses gleichungssystem ist aber alles andere als linear

edit2: hatte im edit ein + vergessen

edit3: das lässt sich um einiges vereinfachen
mit x3=x1-x2 fomt sich die zweite bedingung um zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2-x_1x_2}=x1+x2 \end{eqnarray*}$

edit4: edit3 waren noch doofe fehle drin
edit5: VZfehler im edit3

edit6: und triumphierend finde ich damit z.b. noch eine andere "lösungsrichtung" (0/1/-1)
wenn ich denn keine denkfehler habe

08.10.2005, 23:53

riwe

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mein hirnverzwirner:
aber du kannst eine komponente z.b x3 = 1 setzen, dann hast du eine quadratische gleichung usw., und dann muß man noch prüfen, ob alle lösungen der quadratischen gl. passen, und ob es lösungen mit x3 = 0 gibt. das war mein gedankengang, wird wohl wie üblich mist sein.
(aber zumindest die lösung (101) bzw. deren mannigfaltigkeit (oh gott!) paßt)
werner

na klar, hast du wie immer recht:
edit6: und triumphierend finde ich damit z.b. noch eine andere "lösungsrichtung" (0/1/-1) !!!

08.10.2005, 23:58

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2-x_1x_2}=x1+x2 \end{eqnarray*}$
das ist der schlüsel zum efolg
x3 ergibt sich dann automatisch

das ist natürlich nur eine verkappte quadratische gleichung, da hast du recht
das wollen wir dann mal frieder berechnen lassen, oder? Augenzwinkern

edit: ne quadratisch ist sie nicht, aber seeeehr einfach zu lösen Freude

mich würde vor allem mal diese aussage interessieren:

Zitat:

Aber hab dann gemerkt, krieg ja gar kein b raus, sondern nur
Vektor b durch Betrag von Vektor b.

09.10.2005, 08:47

riwe

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wirklich sehr einfach zu lösen!
$\begin{eqnarray*} x_1x_2=0 \end{eqnarray*}$
werner traurig

09.10.2005, 10:19

Frieder

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hmm versteh den schritt net:

Zitat:

wenn du den gesuchten vektor
\vec{x} =\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}
nennst, erhältst du aus der 2. bedingung:
x_1-x_2-x_3=0

09.10.2005, 12:01

riwe

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was verstehst du da nicht?
die beiden vektoren stehen aufeinander senkrecht => skalarprodukt = 0
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
werner

09.10.2005, 12:03

JochenX

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an werner
schön und erstaunlich, was aus solche komplex wirkenden gleichungssystemen doch werden kann, nicht wahr?
wie mr spock sagen würde: "faszinierend"

bastelst du uns da eigentlich noch eine 3D-Skizze, in der das anschaulich wird? smile

@frieder: nicht einfach "ich versteh das nicht"
WAS verstehst du nicht?

das ist doch einfach, dass du einen ansatz für die komponenten des vektors machst, einen ansatz, dass er senkreht zum anderen vektor steht

09.10.2005, 13:03

riwe

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oder wie mein spezi hubert immer sagt: "ssssssensationell"!

ob die skizze viel hilft? aber dein wunsch usw.
v1(1,1,0),v2(1,-1,-1), x_(jochen)(0,1,-1) und y(1,0,1)
werner

EDIT: ich denke t > 0 ist notwendig wegen winkel(v1,x) = 60°

09.10.2005, 14:00

Poff

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geometrisch ist das der Schnitt einer Ebene mit Normale (1;-1;-1)
und einem Kegel um (1;1;0) als Zentralachse und Öffnungswinkel 120°.

Die Kegelspitze muss dazu jeweils in der Ebene liegen.
Ich denke mal, so müsste das stimmen, ...

09.10.2005, 14:29

JochenX

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danke poff!
jetzt habe ich auch endlich ein bild im kopf und das passt auch schön zu unserem ergebnis

diese runde geht an poff, werner Augenzwinkern

09.10.2005, 16:07

riwe

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vollkommen richtig!
werner

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