Extrema einer Funktion f:R^2->R |
| 09.10.2005, 18:28 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darf ich euch noch mit ner anderen Aufgabe belästigen? Berechnen sie alle lok. Extrema der Funktion f: R²-->R: f(x,y) := x²-2xy+4y³. Welche der lokalen Extrema sind lokale minima und welche lok. Maxima. Mit Funktionen einer Variablen hab ich kein Prob, aber wir sollten nun langsam auch mit 2 fertig werden. Ich probiers einfach und bin aber für jeden Tipp dankbar. M&M |
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| 09.10.2005, 18:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hieraus abgetrennt. Für ne neue Frage bitte auch ein neuen Thread aufmachen. Das ist ja schon eine etwas andere Frage und damit das dann auch diejenigen sehen, die da vll eher helfen können, solltest du dafür immer ein neues Thema aufmachen. 
Also, was weißt du denn über notwendige und hinreichende Kriterien für ein Extremum? Gruß MSS |
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| 09.10.2005, 18:44 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 1. Versuch... Naja haben uns bisher nur mit Funktionen mit einer veränderlichen beschäftigt. Also als notwendige Bedingung würd ich sagen, dass die 1. Ableitung = = sein muss an der Stelle des Extrema, da in ihr ja keine Steigung existiert. es handelt sich um lokale max. oder lok. minima wenn f`(lok.Extrema)=0 und es existiert ein f(x) das größer bzw. kleiner als f(lok.E.). Merk dass ich mal wieder einiges machen sollte, notweniges oder hinreichendes Kriterum, hmmm, werd noch mal in die Bücher schauen. Aber ist der Ansatz denn einigermaßen richtig? |
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| 09.10.2005, 19:34 | Kricki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist, dass der Gradient Null ist (entspricht der ersten Ableitung im ). Als hinreichende Bedingung muss man die "Hesse-Matrix" auf positive oder negative Definitheit überprüfen (dies entspricht der zweiten Ableitung im ). |
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| 09.10.2005, 21:43 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mist, nun wollt ich mich melden dass ich ähnliches gefunden hab. War schon erschreckend wie schnell ich dass alles wieder vergessen habe. Aber damit ist mir ja noch nicht wirklich weiter geholfen... MSS hast du vielleicht noch nen Tipp wie man herangeht oder wo im Netz vielleicht mal eeine Musteraufgabe durchgerechnet wird |
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| 09.10.2005, 21:46 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na,jetzt müsste es doch klar sein. 1. Schritt ist jetzt,dass du die partiellen Ableitungen bildest.Das heißt einmal nach x und einmal nach y differenzieren.Dann kannst du die möglichen Kandidaten für die Extrema ermitteln. |
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| 09.10.2005, 22:03 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, genau so eine Hilfestellung hab ich mir gewünscht, da ich wirklich nicht weiß wie das funktioniert. M&M |
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| 09.10.2005, 22:55 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du partiell nach x ableitest tust du so als wenn y eine konstante wäre und umgekehrt. |
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| 09.10.2005, 23:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist das jetzt böse ironie oder nur völlig dämlich formuliert? 
falls es meckern sein soll: denk mal drüber nach, dass dir hier völlig umsonst von leuten, die das nur aus hilfsbereitschaft tun, geholfen werden ganz zum schluss auf jeden fall noch alle "randwerte" (randfunktionen) testen |
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| 10.10.2005, 17:02 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich wollt ich mich wirklich nur für bedanken, weiß den Service echt zu schätzen. Wollte niemandem zu nahe treten M&M |
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| 10.10.2005, 18:22 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hast du denn inzwischen Fortschritte gemacht? |
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| 11.10.2005, 18:08 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab mir das eben nochmal angeschaut. Aksi die eigentliche Funktion lautet f(x,y):=x²-xy+4y³ Die erste Ableitung nach x: f'x(x,y)=2x-y " " " nach y:f'y(x.y)=-x+12y². Ist das so richtig? Da ich nun die Extremstellen ermitteln will, würde ich beide Ableitungen 0 setzen. nun weiß ich nicht ob ich sie gleich setzen darf oder für jede einzeln die Extreme ausrechnen und dann überprüfen welche tatsächlich existieren. Wär nett wenn mir noch mal jemand sagen kann, was nun der richtige Weg wäre. Danke im voraus |
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| 11.10.2005, 19:12 | Kricki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst einen Punkt (x,y) finden für den beide Ableitungen verschwinden. Du hast also jetzt ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen und kannst das lösen. Den Punkt (oder die Punkte) die du als Lösung rauskriegst sind die möglichen Extremstellen. |
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| 12.10.2005, 14:35 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also gut, ich hab jetzt beide Ableitungen nach x umgeformt und sie dann gleichgestellt. Daraus erhalt ich y=1/24. Nun setz ich y in beide Ableitungen ein und erhalte x=1/48. Das heißt das Extremum liegt bei (0,0208;0,0417). Nun merk ich gerade dass ich wahrscheinlich noch eins übersehen habe, kann das sein? Und außerdem müsste ich wahrscheinlich noch zeigen, um welche Art von Extrema es sich handelt. Ist denn dieses eine Ergebnis denn richtig? |
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| 12.10.2005, 15:23 | Kricki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie lautet denn nun deine Funktion? f: R²-->R: f(x,y) := x²-2xy+4y³ oder f(x,y):=x²-xy+4y³ ? Vergleich mal deine Posts |
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| 15.10.2005, 21:52 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
War ein paar Tage weg, deshalb erst jetzt wieder da. Also ich hab mich letzten vertippt. Natürlich sollte es: f: R²-->R: f(x,y) := x²-2xy+4y³ heißen. aber sehr aufmerksam, danke |
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| 16.10.2005, 17:04 | MistaMike | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, habs mir mal angeschaut. scheint nicht ganz falsch zu sein. Mike |
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| 16.10.2005, 20:19 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry Mike, aber ich muss das lernen und sichergehen, dass das was ich bisher mache richtig ist. Sieht nicht ganz falsch aus reicht diesmal leider nicht. Ich denk ja auch das es stimmt, wär mir aber schohn lieber wenn das wirklich mal jemand durchguckt. |
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| 16.10.2005, 21:12 | Kricki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ergebnis ist falsch. Du müsstest zwei Extrema finden: in (0,0) und in (1/6,1/6). |
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| 17.10.2005, 01:11 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut zu wissen, schätz mal ich hab den Fehler in der Ableitung. Also es wurde gesagt, dass ich die Funktion einmal nach x und einmal nach y ableiten soll, wobei ich die jeweils andere variable als Konstante sehe. Für mich heisst das dann f(x,y)=x²-2xy+4y³ wenn ich dann nach x ableite, erhalt ich f'(x,y)=2x-2y und beim ableiten nach y, f'(x,y)=-2x+12y² Dann setz ich gleich, 2x-2y=-2x+12y² ==> x=3y²+0,5y. Egal in welche Ableitung ich dieses x einsetze und anschließend 0 setze, bekomme dann halt auch die 2 extrema (0,0) und (1/6,1/6). um nun festzustellen ob es ein Maximum oder Minimum ist, muss ich die Koordinaten lediglich in f(x) einsetzen und vergleichen oder gibts da noch was zu beachten? |
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| 17.10.2005, 09:34 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein,das wäre der Fall im eindimensionalen.Bei der mehrdimensionalen Differentialrechnung,musst du anders vor gehen. Sagt dir der Begriff "Hesse-Matrix" was?Du musst auf jeden Fall nochmal ableiten.Beachte dabei,dass es diesmal 4 Ableitungen gibt,da du beide partiellen Ableitungen wieder nach x und y ableiten musst. Vielleicht schaust du dir mal folgende Seite an.Da ist auch ein schönes Beispiel: http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/...000000000000000 |
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| 17.10.2005, 11:24 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also gut, hab mir das mal angeschaut, hoffe ich habs kapiert. Was ich hab: fx(x,y)=2x-2y fy(x,y)=-2x+12y² fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=-2 fyx(x,y)=-2 fyy(x,y)=24y [2 -2] Hf(x,y)=[-2 24y] Das wäre doch jetzt meine Hesse Matrix, oder? Dann hab ich die Punkte (0,0) und (1/6,1/6). Muss ich jetzt einmal das y durch die 0 ersetzen und einmal durch 1/6?. Also an diesem Punkt komme ich nicht so recht weiter |
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| 17.10.2005, 11:55 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die Hesse Matrix jetzt musst,du die Werte (in dem Fall y-Wert) einsetzen.Dann erhälst du zwei Matrizen für deine beiden Punkte Für (0|0) ergibt dies: Für (1/6|1/6) ergibt dies: Jetzt sind Determinanten angesagt.Das müsstest du wissen eigentlich. |
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| 17.10.2005, 12:29 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als Determinante erhalte ich für y=0, -4 und für y=1/6 4. Auf dem Link der hier gepostet wurd, wird klar dass man zur Klärung ob Min, Max oder Sattelpunkt und benötige. Habe ich mit den Determinanten ausgerechnet? Scheint mir zumindest so. Was ist aber ? |
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| 17.10.2005, 13:00 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei H1 braucht man nichts zu rechnen. Denn was ist H1 bei einer 2x2 Matrix? Im Link müsste dir bei den Werten bei H1 was auffallen |
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| 17.10.2005, 13:16 | M&M | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das hat mich gewundert, schaut so aus als ob H1 in unserer Hesse-Matrix, welche ja eine 2x2 Matrix ist, fxx(x,y) bzw. fyy(x,y) ist. Ist das so richtig? Ist es denn zwangsläufig so, dass wenn fxx>0 dass auch fyy>0, oder was ist wenn das nicht übereinstimmt? |
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| 17.10.2005, 13:29 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja,daran kannst du jetzt erkennen,um was für ein Extremum es sich handelt. Wenn du dein Wissen auffrischen willst,dann solltest du entweder mal ein paar Skripts durchgehen oder im Netz suchen,wobei der Link,den ich hier reingestellt habe,dir alles erklären wird und auch sehr gut ist |
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