Wann wir der Abstand extremal?

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tim taler Auf diesen Beitrag antworten »
Wann wir der Abstand extremal?
Hallöchen,

nun steige ich bei den Extremwertaufgaben ein.

Mein erstes Beispiel lautet:
Für welche Punkte (x,y) der Parabel y=x^2 wird der Abstand d(x) vom Punkt (1,2) extremal?

Mein Ansatz:

extremal bedeutet das der Abstand minimal oder maximal werden soll, also ein Extremum.

1. Der Abstand d(x) soll max/min werden

2. Nun muss ich passende Bedingungen finden.

Hauptbedingung = Abstand d(x)

Nebenbedingung möglichwerweise die Gleichung der Parabel...

Wenn ich nun beide Bedingungen miteinander verbinden kann, wobei mir aber noch die Übung fehlt, kann ich die Zielfkt. erstellen und mir das Min./Max. berechnen.

Wie stelle ich nun am besten den Zusammenhang her? Wäre super wenn mir das jmd. anschaulich erklären könnte.

Gruss, tt
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann wir der Abstand extremal?
Mit welcher Metrik d soll der Abstand denn gemessen werden?
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann wir der Abstand extremal?
Hi DualSpace,

das weiß ich ehrlich gesagt nicht. Weiß nichtmal was Metrik bedeutet??

Gruss, tt
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann wir der Abstand extremal?
OK, dann ist d offenbar der euklidische Abstand.

Beginnen wir als mit dem Minimumproblem.

Hauptbedingung:

Nebenbedingung:


Ergibt zusammen das Minimierungproblem



Los geht's. Augenzwinkern
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann wir der Abstand extremal?
Mir ist die Schreibweise beim Minimierungsproblem noch nicht ganz klar.
wie kann ich daraus die Zielfunktion bilden?


wie berechne ich das?


Gruss, tt
jona89 Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeint ist folgendes:

Du kannst doch vom Punkt P(1/2) rechtwinklige Dreiecke an f(x) legen. Die x-Achse ist dabei die eine Kathete und der Funktionswert an dem Eckpunkt mit dem rechten Winkel auf der x-Achse ist die andere Kathete.
Die Hypothenuse ist dann der Abstand.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt also:



Dann musst du nur noch f(x) einsetzten und das ganze Auflösen nach d.
Dann hast du die Zielfunktion d(x), die den Abstand des Punktes zum Graphen in Abhängigkeit zum Eckpunkt des Rechwinkligen Dreiecks mit der Koordinate x angibt.
Diese dann ableiten u.s.w.u.s.f.
 
 
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

ok das kann ich mir gur vorstellen, danke.

die Zielfunktion heißt dann:



ok?

Gruss, tt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

aus dem pythagoras folgt "eher":



und davon würde ich das extremum suchen unglücklich
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

ich habe mir eine Skizze gemacht. Zuvor habe ich mich auch gefragt was meine Zielfunktion mit dem gegebenen Punkt zu tun hat. Nichts...
Nun Deine Zielfunktion, die wohl wie immer richtig sein wird sieht mir da schon besser aus. Aber damit ichs dann auch wirklich verstehe.
Ich sehe ja in meiner Skizze den Punkt und den Graphen der Funktion x^2.
Wenn ich mir nun ein Dreieck(ich befinde mich in Quadrant 1, was gespielgelt im zweiten das gleiche wäre) vom Punkt auf den Graphen lege warum bekomme ich dann für die Hypothenuse den Abstand zwischen Punkt und Graph? Also irgendwas mal ich da falsch. Wenn Du mir das vllt nochmal erklören könntest.
Ansosnten habe ich mal die Zielfunktion wie gewohnt abgeleitet.
Die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt und drei Ergebnisse für x erhalten. Zwei negative und ein positives. Nun frage ich mich natürlich wie x definiert ist und warum. Also < oder > 0 zB.

Gruss, tt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo tt,
ich hoffe, das bilderl ist selbsterklärend verwirrt

unter den gegebenen annahmen entspricht die zielfunktion dem, was Dual Space hingemalt hat.

ich habe auch 3 lösungen, offensichtlich kommt nur ein x > 0 in frage.
ansonsten mußt du halt die übliche prozedur für die überprüfung auf extrema "über dich ergehen lassen" unglücklich

wenn es denn wahr ist

tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe und das Bild, aber für mich noch nich ganz selbsterklärend leider.
Also, die beiden Werte für die beiden Katheten kann ich noch nachvollziehen. Das wird ja sonst oft mit Delta x bzw. Delta y bezeichnet.
Die Entfernung von P nach Q ist dementsprchend die Hypothenuse dieses Dreiecks. Aber wir suchen doch die Entfernung zu vom P zu Pmin, und diese hätte doch wiederum andere Katheten???
Oder reicht es einen Punkt auf dem Graphen zu wählen, der in Abhängigkeit zu P steht, also hier wäre das Q, und dieses dann gegen min laufen zu lassen, bzw gegen max?

Gruss, tt

EDIT: Habe die Ableitungen von Hand nach gerechnet und stecke hier bei der zweiten an folgender Stelle...



wie kann ich im nächsten Schritt weiter vereinfachen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

darum nennt sich das ganze ja extremwertaufgabe:
du nimmst einen beliebigen punkt Q(x/^f(x)) und bestimmst dessen abstand von P.
anschließend suchst du durch differenzieren das minimum(extremum) dieses abstands.

daher hast du - wo eine funktion ein axtremum hat, hat auch das quadrat derselben eines -



eine lösung dieser kubischen gleichung sieht man

und nach polynomdivision hast du die quadratische gleichung



zu lösen

(alternativ kann man den punkt Q der kurve suchen, in dem die tangente senkrecht auf die gerade durch PQ steht. das führt dann wieder auf die obige kubische gleichung)
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

na super das ich das nun auch weiß ! logisch... Gott

nun zu meiner Frage:
ich berechne die erste Ableitung, setze diese gleich 0 und erhalte mein Extremum. in diesem Fall eines >0 und zwei kleiner 0...
Nun war doch die Frage wann wirds d^2= f(x) min. und wann max.
Und wenn die zweite Ableitung kleiner 0 dann ist ein Max. und bei größer 0 ein Min. Oder nicht?
Daher versuche ich die zweite Ableitung zu machen und wie oben gesagt weiter zu vereinfachen. Brauche ich das denn nicht?

Deine Variante sieht einfacher aus, aber ich kenne sie halt noch nicht...

Gruss, tt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
da muß man schon vorsichtig sein, durch das quadrieren verlierst du ja die information über das vorzeichen, daher habe ich geschrieben. extremum,
nicht min oder max. male es dir mal auf.

wenn du auf min/max untersuchen willst, mußt du dich schon mit der "originalfunktion" quälen.

untersuche z.b und
da wirst du an derselben stelle ein extremum finden, aber...

im konkreten fall ist meiner meinung aber offensichtlich, dass es sich nur um ein minimum handeln kann und wo dieses liegt (x > 0).

auch mit dem "original" ist es hier einfach, wenn du beachtest, dass der ZÄHLER = 0 werden muß.
also unter der wurzel ausmultiplizieren, im zähler steht dann die innere ableitung:

tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

aufgemalt habe ich es mir. aber "Information über das Vorzeichen", wozu brauche ich diese?

was ist nun die Originalfkt.?

also falls meine Variante möglich ist, sag mir am besten wie ich fertig ableite. Denn das hier fällt mir schwer zu verstehen obwohl es Dir ganz einfach erscheint. Aber ich habe auch nur diesen Weg von mir in meinem Buch vorgegeben...

Gruss, tt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

oje, da habe ich mich in die nesseln gesetzt.
von vorne:



dies abgeleitet ergibt - siehe oben:



mit dem nenner

da die ableiung 0 sein soll, mußt du den zähler 0 setzen, daher ist zu lösen:



wie du auf den faktor usw. kommst, mußt du mir noch erklären
ok verwirrt
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam ist doch ein Licht am Ende des Tunnels erkennbar^^

wie ich zur Zielfkt. komme weiß ich ja mittlerweile.
Ich habe auch von Hand die erste Ableitung berechnet, gleiches wie Du erhalten.
Auch habe ich die erste Ableitung =0 gesetzt und die gleichen drei Ergebnisse erhalten. Soweit passts!

Nun zudem was ich in Beitar. 11 wissen wollte:

Da ich ja das Extremum nun kenne,( es kommt von den drei Lösungen ja nur die >0 in Frage...,) wollte ich die zweite Ableitung der Zielfkt berechnen um zu schauen wann das Extremum min und wann es max wird.
Daher muss es in Beitrag 11 eigentlich f ''(x)= ... heißen und nicht f '(x) !!!
Sry, verschrieben!
Ich war also dabei die zweite Ableitung der Zielfkt. anzufertigen und bin dabei (siehe Term nicht weitergekommen). Wenn Du willst schreibe ich Dir die einzelnen Rechneschritte auf.
Aber wie Du es angedeutet hast kann ich ja jetzt auch einfacher bestimmen was min und was max ist, oder?

Gruss, tt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist mir auch schon gedämmert, dass du die 2. ableitung meintest.
da steckt aber am anfang ein fehler drin


tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Der Fehler wegen x^2...

Verbessere den Beitrag 11.
Aber wie komm ich von da auf den Nenner mit ^3/2(also zu Deinem Ergebnis), bitte erkläre mir nochmal den Rechenschritt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
Danke für die Mühe und das Bild, aber für mich noch nich ganz selbsterklärend leider.
Also, die beiden Werte für die beiden Katheten kann ich noch nachvollziehen. Das wird ja sonst oft mit Delta x bzw. Delta y bezeichnet.
Die Entfernung von P nach Q ist dementsprchend die Hypothenuse dieses Dreiecks. Aber wir suchen doch die Entfernung zu vom P zu Pmin, und diese hätte doch wiederum andere Katheten???
Oder reicht es einen Punkt auf dem Graphen zu wählen, der in Abhängigkeit zu P steht, also hier wäre das Q, und dieses dann gegen min laufen zu lassen, bzw gegen max?

Gruss, tt

EDIT: Habe die Ableitungen von Hand nach gerechnet und stecke hier bei der zweiten an folgender Stelle...



wie kann ich im nächsten Schritt weiter vereinfachen?





auf gemeinsamen nenner bringen
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

erweitern, vielen Dank!

Gruss, tt
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Gelegentlich sollte man sich daran erinnern, dass es eine zweite Möglichkeit gibt, zu überprüfen, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt: Wechselt das Monotonieverhalten von steigend nach fallend, liegt ein Maximum vor. Wechselt es von fallend nach steigend, liegt ein Minimum vor. Um das herauszufinden, genügt es, die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel an der fraglichen Stelle zu untersuchen. Damit erspart man sich gerade Fällen wie dem vorliegenden die fehlerträchtige zweite Ableitung.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, Witch!

Gruss, tt
Question Auf diesen Beitrag antworten »

hey..ich hab hier auhc so eine Aufgabe die genau so ist.. und ich fande es sehr hilfreich das zu lesen. Ich habe bei der Grafik noch ein Frag.. sollte es nicht statt x^2 - 2 ; 2-x^2 sein? und wenn nciht warum nicht?
mfg
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