Erzeuger bei Gruppen

11.04.2008, 14:42

donvito

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Erzeuger bei Gruppen

Ich habe eine Frage zu den Ergeugern einer Gruppe. Als Beispiel ziehe ich mein eine Klausuraufgabe heran.
Gegeben die Gruppe
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{12}, +_{12}) \end{eqnarray*}$ . Ich soll alle Untergruppen auflisten.

Erstmal noch ne Frage. Was ist der Unterschied zwischen + und +_12?

Die Untergruppen sind
<0> = {0}
<1> = <5> = <7> = <11> = $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray*}$
<2> = <10> = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
<3> = <9> = {0, 3, 6, 9}
<4> = <8> = {0, 4, 8}
<6> = {0, 6}

Soweit so gut. Doch nach meinem Verständnis ist $\begin{eqnarray*} 1^1 = 1^2 = 1^3 = 1^4 ... = 1 \end{eqnarray*}$ und erzeugt damit eben NICHT alle Elemente der Gruppe, sondern nur die 1. Deswegen verstehe ich auch nicht wieso 5, 7 und 11 ebenfalls Erzeuger der Gruppe sind.
Desweiteren ist mir auch unklar, wieso 4 die gleiche Untergruppe erzeugt wie 8.

Vermutlich hängt das aber alles zusammen... Big Laugh

Big Laugh

11.04.2008, 14:57

therisen

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RE: Erzeuger bei Gruppen

Zitat:

Original von donvito
Ich habe eine Frage zu den Ergeugern einer Gruppe. Als Beispiel ziehe ich mein eine Klausuraufgabe heran.
Gegeben die Gruppe
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{12}, +_{12}) \end{eqnarray*}$ . Ich soll alle Untergruppen auflisten.

Erstmal noch ne Frage. Was ist der Unterschied zwischen + und +_12?

Bei $\begin{eqnarray*} +_{12} \end{eqnarray*}$ möchte man nur nochmal betonen, dass man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/12\mathbb Z \end{eqnarray*}$ rechnet.

Zitat:

Original von donvito
Doch nach meinem Verständnis ist $\begin{eqnarray*} 1^1 = 1^2 = 1^3 = 1^4 ... = 1 \end{eqnarray*}$ und erzeugt damit eben NICHT alle Elemente der Gruppe, sondern nur die 1. Deswegen verstehe ich auch nicht wieso 5, 7 und 11 ebenfalls Erzeuger der Gruppe sind.
Desweiteren ist mir auch unklar, wieso 4 die gleiche Untergruppe erzeugt wie 8.

Vermutlich hängt das aber alles zusammen... Big Laugh

Big Laugh

Du verwendest die falsche Verknüpfung! Es ist doch explizit von der Addition die Rede. Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von 1en darstellen; modulo 12 gilt das genauso.

11.04.2008, 15:17

donvito

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Du bist also sicher, dass + und +_12 in diesem Zusammenhang das gleiche ist? In unserem Skript kommt das manchmal anders rüber...

Ok, dass man mit lauter 1en die Gruppe erzeugen kann, leuchtet ein. Bei Multiplikation würde das dann also nicht gehen. 1 wäre dann kein Erzeuger.

Aber mir ist immer noch nich klar, warum 5, 7, und 11 das gleiche erzeugen wie die 1...

11.04.2008, 15:47

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Du bist also sicher, dass + und +_12 in diesem Zusammenhang das gleiche ist? In unserem Skript kommt das manchmal anders rüber...

Ich kenne euer Skript nicht, aber ich bin mir sehr sicher.

Zitat:

Original von donvito
Aber mir ist immer noch nich klar, warum 5, 7, und 11 das gleiche erzeugen wie die 1...

$\begin{eqnarray*} \langle5\rangle=\{5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60\}=\{5,10,3,8,1,6,11,4,9,2,7,0\}=\mathbb Z_{12} \end{eqnarray*}$

11.04.2008, 16:49

donvito

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Ok, aber müsste das nicht 5, 25, 125, ... sein? ist doch eine Potenz?

also in meinem Skript klautet die Definition <a> = {a^k : k ist eine natürliche Zahl}

Daher versteht ich nicht wie du auf die Folge a*k kommst...

11.04.2008, 16:51

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Ok, aber müsste das nicht 5, 25, 125, ... sein? ist doch eine Potenz?

Nein, zum zweiten Mal: Bei der vorliegenden Gruppe ist die Verknüpfung die Addition und nicht die Multiplikation!

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11.04.2008, 17:00

Leopold

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Es gibt bei Gruppen mehrere Schreibweisen. Die geläufigsten sind die multiplikative und additive Schreibweise.

In der abstrakten Theorie wird meist die multiplikative Schreibweise verwendet (das muß aber nicht immer so sein).

Behandelt man speziell kommutative Gruppen, wird oft die additive Schreibweise verwendet (das muß aber nicht so sein). Die additive Schreibweise bei Gruppen, die nicht kommutativ sind, ist unüblich, aber nicht verboten.

MULTIPLIKATIV
Neutrales Element: 1 (oft auch e oder ähnlich)
Operation: Malpunkt
Dasselbe Element mehrmals "multiplizieren" ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal): Potenzschreibweise $\begin{eqnarray*} a \cdot a \cdots a = a^n \end{eqnarray*}$

ADDITIV
Neutrales Element: 0
Operation: Pluszeichen
Dasselbe Element mehrmals "addieren" ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal): $\begin{eqnarray*} a+a+\ldots+a = na \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} na \end{eqnarray*}$ nicht als Operation zweier Gruppenelemente aufzufassen, sondern als $\begin{eqnarray*} a+a+\ldots+a \end{eqnarray*}$

Bei konkreten Gruppen werden die Operationen und Bezeichnungen "aktualisiert", also den üblichen Gewohnheiten angepaßt. Wenn die Elemente der Gruppe z.B. Abbildungen sind und die Gruppenoperation die Verkettung, schreibt man oft $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ für die Gruppenoperation und $\begin{eqnarray*} \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ für das neutrale Element.

11.04.2008, 18:38

donvito

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Mathe mcht einfach wahnsinnig. Schuld daran ist diese wilde Verwirrungstechnik. Unser Prof verwendet in seinem Skript beide Notationen ohne das eindeutig zu untercheiden. Da muss man dann selber draufkommen.
Warum sind Mathematiker so böse

böse

meine obige Definition stammt also aus der multiplikativen Schreibweise? Bei der additiven Schreibweise muss es demnach heißen <a> = k*a?

Was mache ich jetzt wenn eine Gruppe mit Verknüpfung gegeben ist und nicht klar ob ich die addtive oder multiplikative Schreibweise nehmen soll? Darf ich mir das dann aussuchen?

11.04.2008, 18:54

Leopold

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Zitat:

Original von donvito
Bei der additiven Schreibweise muss es demnach heißen <a> = k*a?

Eher nicht.
Wenn du das aber durch $\begin{eqnarray*} \langle a \rangle = \{ 0, a, 2a, 3a, \ldots \} \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann stimmt es.

Und nicht nur dein Prof macht das so. Das macht man allgemein so in der Algebra. Und das ist auch nicht verwirrend, wenn man sich an das Übliche hält, wie in meinem ersten Beitrag beschrieben. Für die aufzählende Erklärung habe ich gerade einmal 8 Zeilen (einschließlich Überschriften) gebraucht. Das paßt ganz gut in ein menschliches Gedächtnis hinein.

11.04.2008, 18:57

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Was mache ich jetzt wenn eine Gruppe mit Verknüpfung gegeben ist und nicht klar ob ich die addtive oder multiplikative Schreibweise nehmen soll? Darf ich mir das dann aussuchen?

Du widersprichst dir selbst: Wenn die Verknüpfung gegeben ist, weißt du doch, wie $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ zu interpretieren ist (schau dir die Definition an, sie ist rekursiv).

11.04.2008, 19:05

donvito

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ich mente natürlich wenn sie NICHT gegeben ist.

11.04.2008, 19:13

Leopold

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Dann entscheidest du selber. Punkt.
Üblicherweise schreibst du dann am Beginn deiner Aufgabenlösung, deiner Hausarbeit oder was auch immer so etwas wie

Im Folgenden schreibe ich die Gruppen multiplikativ.

Und dann legst du los ...

11.04.2008, 19:20

donvito

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Ich werde NIEMALS eine Hausarbeit in Mathe schreiben Big Laugh

Big Laugh

Ne, es geht hier nur um die Klausur. Und ich habe manchmal das Gefühl, dass der Stoff viel komplizierter dargestellt wird, als er eigentlich ist.

Du kannst das gut erklären. Die Matheprofessoren, die ich kenne können oder wollen das nicht und erklären im Gegenteil so konfus wie möglich. Da gelobe ich mir unsere Informatikprofs. Die sind um Längen besser.

12.04.2008, 11:51

donvito

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Ich hätte da noch eine Frage zur Ordnung einer Gruppe.

Die Ordnung eines Elements ist in multiplikativer Schreibweise definiert durch
Ord(a) = Kleinste Potenz r aus N (ohne 0) sodass a hoch r = neutrale Element der Gruppe. Soweit so gut. Nun habe ich die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{12}, \cdot_{12}) \end{eqnarray*}$ und soll ein Element maximaler Ordnung finden und diese Ordnung bestimmen. Dabei darf ich ohne Beweis verwenden, dass die Gruppe zyklisch ist.

1) Wie soll ich bei dem Element 0 das neutrale Element (1) erzeugen? $\begin{eqnarray*} 0^r \end{eqnarray*}$ ist immer 0..

2) Wie kann ich das mit dem Zyklus verwenden? Ich denke damit läßt sich die Aufgabe beschleunigen, denn man muss ja sonst für jedes Element die passende Potenz ausrechnen.

12.04.2008, 11:56

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Nun habe ich die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{12}, \cdot_{12}) \end{eqnarray*}$

Das ist keine Gruppe. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} \overline 4 \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar.

12.04.2008, 12:05

donvito

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Hupsa. Bin auf dem Aufgabenblatt verrutscht Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{15}, \cdot_{15}) \end{eqnarray*}$

ist die richtige.

12.04.2008, 12:27

kiste

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Hier ist 5 nicht invertierbar Big Laugh

Big Laugh

edit:
Ok mal etwas allgemeiner damit du hier nicht rumrätst.
Für alle n ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_n,+_n) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe. Mit der Multiplikation ist es niemals ein Gruppe da die Multiplikation mit 0 nicht injektiv ist!
Betrachtest du jedoch die Einheitengruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_n^\times,\cdot_n) \end{eqnarray*}$ so ist das wie der Name schon suggeriert eine Gruppe.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^\times \end{eqnarray*}$ ist genau dann gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ wenn n prim ist

12.04.2008, 14:46

donvito

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Zum Teufel!

Was heißt denn dieses Sternchen da?
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z^*_{15}, \cdot_{15}) \end{eqnarray*}$
15 ist ja keine Primzahl

Wenn das jetzt keine Gruppe ist flippe ich aus.

Ich hoffe jetzt kann jemand meine ursprüngliche Frage beantworten.

12.04.2008, 14:50

Mathespezialschüler

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Das Sternchen bedeutet, dass man nicht die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ nimmt, sondern die Menge aller Elemente $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ , die ein Inverses bezüglich der Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot_{15} \end{eqnarray*}$ besitzen. Dementsprechend sind $\begin{eqnarray*} 0,5,10 \end{eqnarray*}$ darin natürlich nicht enthalten. Es gibt aber noch weitere Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ , die nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15}^* \end{eqnarray*}$ gehören (welche?).

Nachdem das geklärt ist, kannst du ja dann erstmal anfangen, dir Gedanken zu machen und sie uns zu überbringen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Das $\begin{eqnarray*} ^* \end{eqnarray*}$ bedeutet nichts anderes als das $\begin{eqnarray*} ^\times \end{eqnarray*}$ von kiste in seinem letzten Edit. Und die Einheitengruppe ist genau das, was ich auch gerade hingeschrieben erklärt habe. Eine Einheit ist dabei ein Element, welches ein Inverses besitzt.

edit 2: Also wenn ich mich gerade nicht irre, ist diese Gruppe nicht zyklisch! Insofern verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.

12.04.2008, 15:03

donvito

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Mathematiker sind krank und masochistisch veranlagt böse

böse

Das war mein erster Gedanke.

Ich habe jetzt ein Problem: In der Gruppe sind doch keine Kehrwerte enthalten. (sind ja lauter ganze Zahlen) wie soll denn nun eine Zahl überhaupt ein multiplikatives Inverses haben?

12.04.2008, 15:08

therisen

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Es gilt z.B. $\begin{eqnarray*} 2^{-1}\equiv 8 \pmod{15} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} 2\cdot 8\equiv1\pmod{15} \end{eqnarray*}$ . MSS hat Recht, $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/15\mathbb Z)^* \end{eqnarray*}$ ist nicht zyklisch.

12.04.2008, 15:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von donvito
Mathematiker sind krank und masochistisch veranlagt böse

böse

Wie kommt das jetzt zustande? verwirrt

verwirrt

Ein Inverses bezüglich der Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot_{15} \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als ein Inverses bezüglich der normalen Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es geht hier vor allem nicht um Brüche, das ist nur eine Schreibweise für die zuletzt genannte Verknüpfung.

Ich mache mal ein Beispiel: Das Element $\begin{eqnarray*} 2\in\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ ist eine Restklasse, für die gilt: $\begin{eqnarray*} 2\cdot 8=16 \end{eqnarray*}$ . Und in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 16=1 \end{eqnarray*}$ - das ist ja die Definition dieser Menge!

Falls es dir hilft und dir lieber ist, können wir zur Unterscheidung der ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und des entsprechenden Elements aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \overline 2 \end{eqnarray*}$ oder in Analogie zu den Verknüpfungen sogar $\begin{eqnarray*} 2_{15} \end{eqnarray*}$ für ebendieses Element schreiben. Falls du das so möchtest, sag das ruhig - das ist ja durchaus nicht unüblich und für 'Anfänger' wahrscheinlich auch hilfreich. Ich mach das erstmal exemplarisch: Das, was ich gerade geschrieben hab, bedeutet einfach: In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2\cdot 8=16 \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ allerdings gilt $\begin{eqnarray*} 2_{15}\cdot 8_{15}=1_{15} \end{eqnarray*}$ .

Deswegen ist also z.B. $\begin{eqnarray*} 8_{15} \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} 2_{15} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot_{15} \end{eqnarray*}$ .

12.04.2008, 15:31

donvito

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Was ist bloß mit mir los... natürlich ist die Gruppe nicht zyklisch. Wir dürfen also verwenden, dass die Gruppe nicht zyklisch ist.

Ne, das mit dem Modulo das ist mir schon klar. Ich muss eine Klausur wiederholen und das ganze Zeug ist ein halbes Jahr her. Da habe ich natürlich das meiste vergessen was der Professor angemerkt hat. Und das Skript allein ist ziemlich unbrauchbar.

Es sind demnach also nur Elemente in der Gruppe, zu denen ein multiplikatives Inverses besteht.
Ich zähle mal alle auf:
1, 2, 4, 8,

Alle anderen fallen weg, da sie kein inverses haben, oder?

Demnach könnte man in Zykelschreibweise (1)(2, 8)(4) schreiben. Aber wie führt das jetzt alles auf die Ordnung?

12.04.2008, 15:42

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Es sind demnach also nur Elemente in der Gruppe, zu denen ein multiplikatives Inverses besteht.
Ich zähle mal alle auf:
1, 2, 4, 8,

Alle anderen fallen weg, da sie kein inverses haben, oder?

Nein, das sind nicht alle. Es gilt $\begin{eqnarray*} |(\mathbb Z/15\mathbb Z)^*|=\varphi(15)=8 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Zykelschreibweise ist hier Blödsinn!

12.04.2008, 16:15

donvito

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Was ist denn die schnellste Methode und die Elemente zu berechnen? Bei den großen Zahlen kann das ja ziemlich dauern.

Und könnte mir bitte mal endlich jemand sagen, inwiefern das Nichtvorhandensein von Zykeln zur Lösung dieser Aufgabe beiträgt.

12.04.2008, 16:42

therisen

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Zitat:

Original von donvito
Was ist denn die schnellste Methode und die Elemente zu berechnen? Bei den großen Zahlen kann das ja ziemlich dauern.

Es gilt $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/n\mathbb Z)^*=\{k\in\{1,2,\dots, n\}:~ \mathrm{ggT}(k,n)=1 \} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von donvito
Und könnte mir bitte mal endlich jemand sagen, inwiefern das Nichtvorhandensein von Zykeln zur Lösung dieser Aufgabe beiträgt.

Wieso redest du von Zykeln? Zyklisch hat nichts mit Zyklen zu tun! Die Ordnung eines Elementes muss die Gruppenordnung teilen. Da die Gruppe nicht zyklisch ist, ist die Ordnung sogar ein echter Teiler, d.h. von 8 verschieden.

12.04.2008, 20:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von donvito
Was ist denn die schnellste Methode und die Elemente zu berechnen? Bei den großen Zahlen kann das ja ziemlich dauern.

Der erweiterte euklidische Algorithmus. Damit findest du die Inversen zu gegebenen invertierbaren Elementen. Invertierbar sind genau die Elemente $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,15)=1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das bekommt man mit dem Algorithmus auch raus.

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