mal wieder Induktion

12.10.2005, 13:52

Schusterjunge

mal wieder Induktion

Hi Leute,
also die Aufgabe ist, dass man mittels vollständiger Induktion zeigen soll, dass die Gleichung
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = z^n \end{eqnarray*}$

für jedes festgewählte $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} x,y,z \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existieren.

Aus algebraischer Sicht ist das ganze ja einfach: Der Körper der natürlichen Zahlen ist in bezug auf Addition und Multiplikation abgeschlossen, d.h. die beiden Rechenoperationen führen nicht hinaus. Daraus würde folgen, dass die Behauptung für alle Elemente, also unendlich viele, der natürlichen Zahlen erfüllt ist. Klar.

Aber wie zeige ich das ganze Induktiv:
für n=1:
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = z^n = z^1 = z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 \in \mathbb{N}, y^2 \in \mathbb{N} \Rightarrow z \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

für n+1
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 & = & z^{n+1} = z \cdot z^n \end{eqnarray*}$
Is ja soweit klar aber wie mache ich von hier an weiter?

Bitte um Hilfe

MfG

12.10.2005, 14:32

Mathespezialschüler

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Verschoben

Zitat:

Original von Schusterjunge
Aus algebraischer Sicht ist das ganze ja einfach: Der Körper der natürlichen Zahlen ist in bezug auf Addition und Multiplikation abgeschlossen, d.h. die beiden Rechenoperationen führen nicht hinaus. Daraus würde folgen, dass die Behauptung für alle Elemente, also unendlich viele, der natürlichen Zahlen erfüllt ist. Klar.

Das ist quatsch. Nur weil $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ liegt, muss $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ noch lange nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ liegen. Denn es ist ja $\begin{eqnarray*} z=\sqrt[n]{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .
Mit deiner Argumentation gäbe es ja für die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^n+y^n=z^n\qquad \qquad x,y,z,n\in\mathbb N, n\geq 3 \end{eqnarray*}$

auch unendlich viele Lösungen. Allerdings gibt es tatsächlich gar keine Lösung dafür wie ein gewisser Andrew Wiles bewiesen hat.

Gruß MSS

12.10.2005, 14:40

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Zitat:

Original von Schusterjunge
Der Körper der natürlichen Zahlen ist in bezug auf Addition und Multiplikation abgeschlossen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist kein Körper, allenfalls ein Monoid bezüglich Addition und Multiplikation, das nennt man wohl auch Halbring.

Die Aufgabe ist übrigens trivial, wenn du unter $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen inklusive Null verstehst.

Ohne Null ist allerdings echt noch was zu tun.

12.10.2005, 14:42

Schusterjunge

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Dank dir für die schnelle Antwort, aber wenn ich eine natürliche Zahl habe (hier z) und die mit einer natürlichen Zahl potentiere dann kommt doch immer eine natürliche Zahl raus, oder nicht?

Ich denke mal es ist die Null nicht mit enthalten, was fehlt mir dann jetzt noch?

12.10.2005, 14:54

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Na ich würd mal sagen, du gibst für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einfach unendlich viele solche Tripel $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ explizit an, dann ist die Geschichte gegessen.

EDIT:

Ich lese jetzt erst, dass das ein Induktionsbeweis werden soll. Ich würde es zwar nicht über Induktion lösen, aber wenn's denn unbedingt sein muss:

Verwende hier nicht den Schluss $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} n\to n+2 \end{eqnarray*}$ . Damit das in Ordnung geht, musst du im Induktionsanfang n=1 und auch n=2 betrachten.

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