Unbestimmtes Integral

01.04.2004, 15:30	polo.xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integral Hallo! Ich verzweifle gerade daran die Stammfunktion von (sin(x)cos(x))/(1+cos(x))^1/2 zu finden. kann mir jemand den richtigen Ansatz verraten. hab schon versucht zu substituieren, aber leider ohne Erfolg. Vielen Dank im voraus. mfg polo
01.04.2004, 16:16	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch Substitution mit u=cos(x) kommst du auf das Integral $\begin{align} -\int \frac{u}{\sqrt{1+u}}du \end{align}$ , allerdings weiß ich nicht, ob das so weiterhilft, denn dieses Integral hat auch seine Schwierigkeiten zu bieten. Ich rechne mal noch n bisschen... [Edit:] ...und komme zum Ergebnis, dass sich das Integral, das nach der Sub. ensteht, mittels partieller Integration integrieren lässt. Ist zwar unschön, aber es kommt was raus und Derive sagt, es ist richtig. Versuch's mal selbst; die Rechnung hier zu schreiben ist zu mühselig.
01.04.2004, 19:39	polo.xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle antwort, aber da muss doch noch ein sin (x) im zähler sein. dann wird es doch wieder komplizierter. mfg polo
01.04.2004, 19:43	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sinus ist doch die Ableitung vom Kosinus, der durch die Substitution wegfällt, oder?
01.04.2004, 19:48	polo.xy	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ist klar. hab nicht nachgedacht.
01.04.2004, 19:54	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist prinzipiell ne schlechte Voraussetzung, wenn du Mathe machst...
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01.04.2004, 19:58	polo.xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, aber dafür ist das integral jetzt gelöst.
02.04.2004, 19:35	Drödel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab da noch einen anderen Vorschlag zur Wahl der Substitution. Ich meine fast, die geht noch ein bisserl schneller $\begin{align} \Bigint \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\cos x}} dx \end{align}$ geht flott mir der Substitution: $\begin{align} u:=\sqrt{1+\cos x} \qquad \Rightarrow \qquad \cos x = u^2 -1 \end{align}$ $\begin{align} \frac{du}{dx} = \frac{-\sin x}{2\sqrt{1+\cos x}} \qquad \Rightarrow \qquad du = - \frac{2\sqrt{1+\cos x}}{\sin x}du \end{align}$ Also "zusammengesetzt": $\begin{align} \Bigint \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\cos x}} dx= \Bigint \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\cos x}} \cdot \left(- \frac{2\sqrt{1+\cos x}}{sin x}\right) du = \Bigint -2 \cos x du = -2 \Bigint (u^2-1) du= -\frac{2u^3}{3} + 2 u = \end{align}$ $\begin{align} = \frac{-2u}{3} (u^2 -1 -2) = -\frac{2}{3}\sqrt{1+ \cos x} (\cos x -2) = \frac{2}{3}(2- \cos x) \sqrt{1+\cos x} \end{align}$ Klingt doch nett, oder? Man braucht keine partielle Integration. Die Substitution schaut zwar auf den ersten Blick komplizierter als die von Marcyman aus - ist sie vielleicht auch ein klein bisschen - aber dafür ist die Integration was für die "Grundschule" Happy Mathing

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