Beschränktheit von Folgen

14.10.2005, 14:50

SnIper

Beschränktheit von Folgen

Hallo,

ich habe nicht ganz verstanden wie man Beschränkheit von Folgen nachweist.
Habt ihr eine Seite oder Anleitung wo man das nachlesen kann?

Danke

14.10.2005, 15:11

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Das geht direkt mit der Definition: Du musst einfach ein $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} |a_n|\leq K \end{eqnarray*}$ für alle Indizes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt. Eine besondere "Lösungstheorie" für solche Nachweise gibt es nicht - ist auch gar nicht nötig.

Es gibt allenfalls einige hinreichende Kriterien: Z.B. reicht es, wenn die Folge konvergent ist.

14.10.2005, 15:20

SnIper

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wenn ich gefragt werde ,, untersuchen sie die folge auf beschränktheit
a(n) = n²-n³
Wie gehe ich das dann an?

14.10.2005, 15:43

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Das ist dann der gegenteilige Fall, d.h., dass die Folge nicht beschränkt ist:

In dem Fall musst du zeigen, dass ein solches $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nicht existiert, d.h. die Folge über alle Maßen wächst. Technisch geht das so, dass du für jedes $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n|>K \end{eqnarray*}$ angibst.

14.10.2005, 16:34

SnIper

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zb. 1000

14.10.2005, 16:35

SnIper

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ist der grenzwert : - unendlich?

14.10.2005, 16:45

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Und wie bist du darauf gekommen? Wenn du das begründen kannst, dann ist doch alles klar: Aus bestimmter Divergenz gegen plus oder minus Unendlich folgt schließlich auch die Unbeschränktheit.

14.10.2005, 16:52

SnIper

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warte arthur

n²-n³

mit 1/n im nenner und zähler durchmulitplizieren.

dann kommt raus -n

und -n geht gegen minus unendlich.

aber was ich nicht versteh.
bei mir im buch steht

a(n) = (2n+1)/(n+1)

und jetzt ,, für jeden n element N" ist a(n) = (2n+1)/(n+1) größergleich (2n+1)/(2n+1) =1

Wie kommt man auf das (2n+1)/(2n+1) ?

14.10.2005, 17:59

Mathespezialschüler

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Wenn man den Nenner vergrößert, wird der gesamte Bruch verkleinert.

Gruß MSS

14.10.2005, 19:44

SnIper

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und warum vergrößert man den nenner gerade auf das (2n+1)??
oder was ist überhaupt der sinn von dem??

14.10.2005, 19:53

Mathespezialschüler

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Der Sinn davon ist, dass du abschätzen kannst. Denn durch das Vergrößern hast du nun eine obere Schranke gefunden, die nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt. Und wenn du so eine gefunden hast, dann ist die Folge beschränkt.

Gruß MSS

14.10.2005, 20:45

SnIper

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warum kann ich dann nicht schreiben

n+3/n+3

gibt doch auch 1

14.10.2005, 20:57

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Was soll denn das jetzt? geschockt

Wie zum Teufel willst du die Abschätzung von (2n+1)/(n+1) durch (n+3)/(n+3) begründen?

14.10.2005, 22:28

Poldi

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Das mit dem Abschätzen ist für uns Anfänger immer reichlich schwierig. Ich hab da auch immer so meine Probleme mit. Ich versuch noch mal in meinen Worten auszudrücken, was die beiden Profis Dir sagen wollen. Manchmal hält ja "doppelt genäht" besser Augenzwinkern

Wenn es Dir gelingt die Vorschrift für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ so lange zu verkleinern, dass am Ende da steht
$\begin{eqnarray*} a_n = ... \geq ... \geq ... = 1 \end{eqnarray*}$ (oder 2 oder sonst eine reele Zahl) dann hast Du damit eine Schranke der Folge (ich bin allerdings der Meinung, dass es in diesem Fall dann eine UNTERE Schranke ist - MMS, was meinst Du dazu? Hast Du Dich da eben vielleicht vertan?)

Jetzt steht in Deinem Beispiel also da
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und Du sollst durch Verkleinern (oder Vergrößern, wenn es eine obere Schranke gäbe - wichtig jedenfalls alle Umformung in die selbe Richtung) des Bruches auf eine reelle Zahl kommen dann bietet es sich an, im Zähler oder Nenner etwas so hinzuzufügen - oder wegzunehmen -, dass sich der Term, in dem das n steht wegkürzen lässt. Man hätte also hier auch im Zähler etwas (nämlich die 2) wegnehmen können, denn auch dadurch wird der Bruch insgesamt verkleinert. Also hätte auch
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n+1} \geq \frac{n+1}{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ zum Ergebnis geführt.
In Deinem Vorschlag hast Du Zähler und Nenner verändert, wodurch nicht mehr erkennbar ist, ob sich der Bruch insgesamt vergrößert oder verkleinert hat. Deshalb bringt Dich diese Umformung nicht weiter.

Ich hoffe
a) ich habe nichts falsch erklärt - die Profis mögen mich bitte korrigieren, wenn ich einen Fehler gemacht habe.
b) es hilft Dir ein bißchen weiter.

Gruß
Poldi

15.10.2005, 00:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poldi
(ich bin allerdings der Meinung, dass es in diesem Fall dann eine UNTERE Schranke ist - MMS, was meinst Du dazu? Hast Du Dich da eben vielleicht vertan?)

Wenn du mich das nächste Mal MSS nennst, fühl ich mich auch angesprochen. Augenzwinkern

Ja, ich hatte darauf gar nicht geachtet. In der Tat hat man hier eine untere Schranke gefunden.

Zitat:

Original von Poldi
In Deinem Vorschlag hast Du Zähler und Nenner verändert, wodurch nicht mehr erkennbar ist, ob sich der Bruch insgesamt vergrößert oder verkleinert hat. Deshalb bringt Dich diese Umformung nicht weiter.

Naja, das geht unter Umständen schon und mit ein paar Einschränkungen lässt sich das hier sogar begründen.

Gruß MSS

15.10.2005, 08:10

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@Sniper

Alternativ kannst du auch so rechnen:

$\begin{eqnarray*} a(n) = \frac{2n+1}{n+1} = \frac{(2n+2)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann sollte die Monotonie sofort erkennbar sein, d.h. $\begin{eqnarray*} a(n)\geq a(0)=1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem sieht man an der Form auch sofort $\begin{eqnarray*} a(n)<2 \end{eqnarray*}$ und hat eine obere Schranke.

15.10.2005, 09:07

SnIper

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Vielen Dank euch allen!
Nun ist mir einiges klares.

Also:
In dem Beispiel:

a(n) = 2n+1/n+1
In meinen eigenen Worten:
Wenn man bei einem Bruch im Zähler was vergrößert und den Nenner gleichlässt, dann wird der Wert des gesamten Bruches kleiner.
Wenn man hier zb. im Nenner die 2 vor dem n entfernt, steht (n+1)/n+1) was 1 ergibt.Der ,,neue" Term ist also immer kleiner, oder gleich ( für n= 0) als der ,,alte",deshalb kann man sagen 1 ist eine untere Schränke hier.

Ich hab das am anfang so gemacht.

Für n =0 kommt raus 1
Für n gegen unendlich geht die Folge gegen 2.

15.10.2005, 13:17

Poldi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du mich das nächste Mal MSS nennst, fühl ich mich auch angesprochen.

Ups! Tschuldigung - kommt nicht wieder vor!!!

15.10.2005, 17:01

SnIper

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aber ist nicht auch 0,5 eine schränke?

15.10.2005, 17:54

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