Mengen und Aussagen

14.10.2005, 21:09

BlueBottle

Mengen und Aussagen

hallo, ich bin mir nicht so sicher ob das hier her gehört aber ich suche schon den ganzen tag im forum und hab hier nen paar beiträge zum thema gefunden, also verschieben wenns falsch ist.

ich will nicht mehrere threads aufmachen, ich werde kenntlich machen wo eine frage aufhört und die andere anfängt Augenzwinkern

, ich muss wohl auch dazu sagen das ich sowas noch nie gemacht habe und einigen das ganze wahrscheinlich sehr trivial vorkommen wird Augenzwinkern

. es sieht nach sehr viel aus, aber ich glaube das es garnicht so viel zeit in anspruch nimmt, zumidnest nicht so lange wie das erstellen für mich gedauert hat Augenzwinkern

, ich möchte mich schonmal für eure antworten bedanken.

also fang ich mal an

1.

$\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B = (\neg A \cup B) = \neg ( A \cap \neg B) = \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

diese gleichheit soll für das prinziep des wiederspruchsbeweises verwendet werden, hab ich nun also eine aussage aus der b folgt, zeige ich einfach das aus dem gegenteil von B das gegenteil von A folgt ?

irgendwo ging mir da der wiederspruch verloren, kann mir der evtl jemand an nem kleinen beispiel kurz erläutern ?

ende 1

2.

es geht nun darum die 2. de morgan regel zu beweisen, ich schreib mal hin wie ich mir das gedacht hab und stelle dann ein paar fragen Augenzwinkern

Regel: $\begin{eqnarray*} \neg (A \cup B) = \neg A \cap \neg B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in \neg (A \cup B) <=> a \notin A \cup B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cup B = \{ x \in G | x \in A \vee x \in B \} \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ verletzt ist weil $\begin{eqnarray*} a \notin A \cup B \end{eqnarray*}$ , gilt

$\begin{eqnarray*} a \notin A \cup B \end{eqnarray*}$ ist gleichwertig mit $\begin{eqnarray*} a \notin A \wedge a \notin B \end{eqnarray*}$ .

da $\begin{eqnarray*} a \notin A \wedge a \notin B \end{eqnarray*}$ das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} a \in \neg A \wedge a \in \neg B \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} a \in \neg A \cap \neg B \end{eqnarray*}$ ist, gilt :

$\begin{eqnarray*} a \in \neg (A \cup B) <=> a \notin A \cup B = a \notin A \wedge a \notin B =a \in \neg A \wedge a \in \neg B <=> a \in \neg A \cap \neg B \end{eqnarray*}$
(diese zeile am besten von oben nach unten mit den folgerungen vergleichen)

also gilt:

$\begin{eqnarray*} \neg (A \cup B) = \neg A \cap \neg B \end{eqnarray*}$

fragen zu 2

ist das so korrekt?

geht das auch einfacher oder besser ? Augenzwinkern

was macht diesen beweis zu einem wiederspruchsbeweis ?

und wie kommt man auf sowas wenn man nicht ein ähnliches beispiel vorliegen hat ? Augenzwinkern

ende 2 smile

3.

es geht darum ungleichungen per wiederspruchsbeweis zu zeigen, da treten für mich elementare fragen auf wie ist das gegenteil von < jetz > oder >=, oder das gegenteil von >= dann < ?

ich schreibe jetzt mal die 2 beweise hin und ihr sagt mir bitte was falsch ist.

ungleichung 1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{2}} > \frac{1} {\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

da es ja nen wiederspruchsbeweis sein soll zeige drehe ich nun den ausdruck um und zeige das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < \frac{1} {\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

falsch ist, also forme ich etwas um

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1} {\sqrt{3}} < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,264 < 0 \end{eqnarray*}$

was ja falsch ist

ist damit schon die ungleichung bewiesen ?

und geht das auch schöner ?

ungleichung 2

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{+} \Rightarrow x + \frac{1}{x} \geq 2 \end{eqnarray*}$

für den wiederspruchsbeweis drehe ich die ungleichun wieder um, jetzt stellte sich mir die frage ob das gegenteil von >= dann <= oder < ist, ich hab mich für < entschieden.

ich zeige nun also das

$\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} < 2 \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ sondern dem gegenteil, also $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{-} \end{eqnarray*}$ führt.

ich bin mir hier schon nicht sicher ob das so richtig ist.

da es eine ungleichung ist und ich mit * x erweitern muss, muss ich ja zwischen einem positiven x und einem negativen x unterscheiden

(1)

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} < 2 | *x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 2x + 1 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-1| < 0 \end{eqnarray*}$

Betragsbedingung 1 :

$\begin{eqnarray*} (x-1) \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$

rechnung zu bed. 1

$\begin{eqnarray*} x-1 < 0|+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ bedingung ist gibt es hier keine lösung

Betragsbedingung 2 :

$\begin{eqnarray*} (x-1) < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$

rechnung zu bed. 2

$\begin{eqnarray*} -x+1 < 0|+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$ bedingung ist gibt es auch hier keine lösung

ich habe bis hier also gezeigt das für $\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} < 2 \end{eqnarray*}$ die lösung nicht in $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ liegt, reicht das nun schon um $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{+} \Rightarrow x + \frac{1}{x} \geq 2 \end{eqnarray*}$ zu beweisen,

oder müsste ich nun noch zeigen das für $\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} < 2 \end{eqnarray*}$ die lösung in $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{-} \end{eqnarray*}$ liegt, indem ich die ungleichung mit einem negativen x multipliziere, also der 2. fallunterscheidung, da müsste dann auch rauskommen das $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{-} \end{eqnarray*}$ lösung ist, habs mal kurz angerechnet.

tja ihr seht ja was ich hier gemacht habe, kann sein das es total falsch oder eben richtig ist, hier auch wieder die frage ob es schöner oder einfacher geht.

ende 3 smile

4.

es geht darum das erste distributivgesetz zu beweisen, wie das gemacht werden soll steht nicht da, es fällt mir ehrlich gesagt auch schwer da dahinter zu steigen, weil das gesetz meiner meinung nach schon durch die logik so sein muss, aber mal sehen.

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

ich würde jetzt also nach dem beispiel oben den ersten ausdruck negieren, die definition aufführen und davon dann zum 2. ausdruck kommen, macht für mich aber eigentlich nicht viel sinn.

$\begin{eqnarray*} a \in A \cap (B \cup C) <=> a \notin \neg(A \cap (B \cup C)) \end{eqnarray*}$

von hier an wüsste ich nicht wie ich da weiter vorgehen sollte.

ich wäre also auch hier für hilfe dankbar

ende 4 smile

so das wars fürs erste, danke für eure mühen smile

15.10.2005, 00:25

JochenX

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RE: Mengen und Aussagen
1)
warum dieses beweisprinzip funktioniert, kannst du dir leicht klarmachen, wenn du deine aussagen in worte fasst

du willst zeigen "immer wenn A gilt, dann gilt auch B"
was aber nichts anderes ist als "es ist nicht möglich, dass A gilt, ohne das B gilt"
und das wiederum ist nur eine andere formulierung für "wenn B nicht gilt, kann auch A nicht gelten"

usf.

was das direkt mit dem bekannten widerspruchsbeweisverfahren zu tun hat, sehe ich grad nicht

2) sieht fast gut aus
bei deiner äquivalenzkette am ende hast du ein paar mal = statt <=> geschrieben

3)
gegenteil von a<b ist a>=b

3)a) natürlich kannst du das einfach ausrechnen, warum auch nicht?
das geht auch direkt

3b) vielleicht als altenativvorschlag
gleich alles *x nehmen, denn immerhin ist x>0 vorausgesetzt Augenzwinkern

4) sieh deine aussagen als mengen an (mengen aller ereignisse, für die sie war sind) und mache eine doppelte inklusion
evtl. geht das auch gleich für beide richtung durhc äquivaenzumformungen verwirrt

15.10.2005, 00:51

Mathespezialschüler

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Warum du das unbedingt mit einem Widerspruchsbeweis machen möchtest bei den Ungleichungen, ist mir etwas unklar, aber nungut.

1) $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ ist die sogenannte Kontraposition. Sie ist mMn aber nicht das gleiche wie der Widerspruchsbeweis, sondern nur eine Art des Widerspruchsbeweises. Der Widerspruchsbeweis läuft ja so:
Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ gilt. Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ richtig. Jetzt nimmst du an, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ falsch sei. Daraus folgerst du dann irgendwann eine falsche Aussage, was zeigt, dass deine Annahme, $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sei falsch, fallen gelassen werden muss und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ also doch richtig ist.
Dass $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ nun ein Spezialfall davon ist, siehst du so: Wenn die falsche Aussage, die du folgerst, $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ ist, dann hast du genau diesen Spezialfall, denn du hast $\begin{eqnarray*} \neg B \end{eqnarray*}$ angenommen und daraus $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ gefolgert.

3) 1) Also, so geht das mMn nicht. Wenn du letztendlich doch den TR benutzt, hättest du ja auch gleich die beiden Zahlen in den TR eingeben und sehen können, dass die Ungleichung gilt. Die Umformung war also sinnlos. Und im Allgemeinen sind TR's als Beweismittel sowieso nicht erlaubt. Also sollte man die Ungleichung lieber mit Abschätzungen beweisen!
2) Bis zur Stelle $\begin{eqnarray*} |x-1|<0 \end{eqnarray*}$ war alles ok. Von dem danach verstehe ich absolut gar nichts mehr. Ich habe wirklich keine Ahnung, was du da gemacht hast. Und du hättest dir das ja auch sparen können! Denn dass ein Betrag einer Zahl $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ ist, ist ja nach Definition sowieso ausgeschlossen.

Gruß MSS

15.10.2005, 11:10

BlueBottle

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hehe, also danke erstmal loed und mss smile

die 1 ist mir jetzt eigentlich schon klar, und die 2 werd ich einfach mal versuchen an nen paar sachen zu üben, hat jemand ne idee welche sachen ich so in der art noch beweisen könnte ? smile

.

ich mache das mit wiederspruchsbeweisen weils so in der aufgabe steht ^^, aber lasse mir natürlich auch gerne andere sachen zeigen, die werde ich dann sowiso noch brauchen schätze ich.

das semester hat für mich gerade erst angefangen und ich hatte bisher das glück alles als gegeben betrachten zu dürfen, kenne mich mit dem beweisen also garnicht aus Augenzwinkern

Zitat:

Original von LOED
3b) vielleicht als altenativvorschlag
gleich alles *x nehmen, denn immerhin ist x>0 vorausgesetzt Augenzwinkern

meinst du ich brauchte die unterscheidung mit dem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{-} \end{eqnarray*}$ bei dem lösen der ungleichung nicht machen, weil ich diese bedingung von der ausgangsungleichung mit übernehmen kann ?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
3) 1) Also, so geht das mMn nicht. Wenn du letztendlich doch den TR benutzt, hättest du ja auch gleich die beiden Zahlen in den TR eingeben und sehen können, dass die Ungleichung gilt. Die Umformung war also sinnlos. Und im Allgemeinen sind TR's als Beweismittel sowieso nicht erlaubt. Also sollte man die Ungleichung lieber mit Abschätzungen beweisen!

das halte ich für eine gute idee, aber wie in etwa macht man denn sowas ? wie gesagt hab ich keine ahnung von beweisen und ich habe ja auch schon ein wenig rumprobiert die ganzen sachen um zu formen, aber leider sind das in den wurzeln ja primzahlen und egal was ich gemacht habe, für mich war es immer noch nicht ersichtlich welche seite nun grösser sein muss, hast du da evtl nen tipp ?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

2) Bis zur Stelle $\begin{eqnarray*} |x-1|<0 \end{eqnarray*}$ war alles ok. Von dem danach verstehe ich absolut gar nichts mehr. Ich habe wirklich keine Ahnung, was du da gemacht hast. Und du hättest dir das ja auch sparen können! Denn dass ein Betrag einer Zahl $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ ist, ist ja nach Definition sowieso ausgeschlossen.

hehe ok da musste ich kurz schmunzeln, das hab ich gestern abend natürlich voll übersehen, da hast du recht das ich da ned weitermachen hätte brauchen.

was ich danach gemacht hab ist einfach das lösen der betragsungleichung nach definition, geht auch schneller aber ich wollts mal formal machen, sprich es gilt |x| ist x für x>=0 und ist -x für x < 0, aber das war ja unnötig wie du schon gesagt hast.

dann zur 4 habe ich gestern noch etwas gegooglet und einen etwas seltsamen text in nem pdf gefunden der mich aber auf nen paar ideen gebracht hat.

ich hab dann mal versucht nen beweis für das gesetz zu machen, tappe aber sowas von im dunkenl ^^.

also

4.

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

also ich versuche zu zeigen, das $\begin{eqnarray*} a \in A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray*} a \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$ ist.

ich nehme an das $\begin{eqnarray*} a \in A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} a = x \wedge y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y \in B \cup C \end{eqnarray*}$

angenommen das erste gilt, also

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in B \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} a = x \wedge y \in A \cap B \end{eqnarray*}$

beim 2. fall gilt

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in C \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} a = x \wedge y \in A \cap C \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in B \cup C \end{eqnarray*}$ gilt,

ist $\begin{eqnarray*} a = x \wedge y \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

also habe ich nun glaube ich gezeigt das die teilmenge des einen auch teilmenge des anderen sein muss.

so, jetzt seid ihr dran,

ende 4 smile

15.10.2005, 12:20

4c1d

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
1) $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ ist die sogenannte Kontraposition. Sie ist mMn aber nicht das gleiche wie der Widerspruchsbeweis, sondern nur eine Art des Widerspruchsbeweises. Der Widerspruchsbeweis läuft ja so:
Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ gilt. Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ richtig. Jetzt nimmst du an, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ falsch sei. Daraus folgerst du dann irgendwann eine falsche Aussage, was zeigt, dass deine Annahme, $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sei falsch, fallen gelassen werden muss und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ also doch richtig ist.
Dass $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ nun ein Spezialfall davon ist, siehst du so: Wenn die falsche Aussage, die du folgerst, $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ ist, dann hast du genau diesen Spezialfall, denn du hast $\begin{eqnarray*} \neg B \end{eqnarray*}$ angenommen und daraus $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ gefolgert.

Das sehe ich anders : $\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B) \end{eqnarray*}$ ist sogar äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (\neg B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A \lor B) \Leftrightarrow \neg \neg B \lor \neg A \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ . Das von dir beschriebene Vorgehen lässt sich als Zeigen von $\begin{eqnarray*} (A \land \neg B) \Rightarrow falsch \end{eqnarray*}$ fassen, was wiederum äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \neg ((A \land \neg B) \land \neg falsch) \Leftrightarrow \neg (A \land \neg B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ ist. Also alles das gleiche Augenzwinkern

15.10.2005, 14:42

Mathespezialschüler

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3) 1) Naja, das würde ich so machen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}>\sqrt[3]{3}>\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

und dann Kehrwertbildung.

@4c1d
Das dort eine logische Äquivalenz vorliegt, ist ja klar und das wollte ich ja auch nicht bestreiten. Es ging nur darum, welche falsche Aussage gefolgert wird.

Gruß MSS

15.10.2005, 18:20

4c1d

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@4c1d
Das dort eine logische Äquivalenz vorliegt, ist ja klar und das wollte ich ja auch nicht bestreiten. Es ging nur darum, welche falsche Aussage gefolgert wird.

Achso. Umsetzungstechnisch macht es natürlich einen Unterschied, nur aus $\begin{eqnarray*} \neg B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ (und nicht auf beliebige falsche Aussagen) zu schließen (da man weniger voraussetzen darf) oder von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg B \end{eqnarray*}$ auf etwas falsches (oder eben auf $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ ). Ich würde das eine nicht unbedingt als Spezialfall des anderen sehen, aber das ist vielleicht auch Definitionsfrage.

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