stetigkeit von funktionen f(x,y)

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15.10.2005, 13:25	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
stetigkeit von funktionen f(x,y) hallo, ich melde mich auch mal wieder mit problemen. meine aufgabenstellung lautet: Wo ist die angegebene funktion stetig? in welchen punkten läßt sie sich stetig ergänzen? a) $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{sin(xy)}{xy} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(x,y)=xylog(x^2+y^2)^2 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} f(x,y)=(\frac{x^2y^2}{x^2+y^2},\frac{x^2-y^2}{1+x^2+y^2}) \end{eqnarray}$ f) $\begin{eqnarray} f(x,y)=(\frac{y}{x^2+1},\frac{x^2}{y^2-1}) \end{eqnarray*}$ ja könnt ihr mir sagen, wie ich da vorgehen soll, hab das noch gar nie gemacht
15.10.2005, 14:40	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
bei diesem Aufgabentyp würde ich die Stetigkeitsdefinition über Grenzwerte verwenden, also f ist in x stetig genau dann wenn $\begin{eqnarray} \forall x_n mit \lim x_n = x \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim f(x_n) = f(x) \end{eqnarray}$ damit kannst du relativ schnell zeigen, das deine Funktionen in einem bestimmten Pukt nicht stetig sind. um Stetigkeit in bestimmten Punkten zu zeigen, ist das $\begin{eqnarray} \varepsilon - \delta \end{eqnarray}$ - Kriterium wahrscheinlich am geeignetsten
15.10.2005, 14:50	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
also soll ich schauen ob f(x, y fest) stetig und f(x fest, y) stetig ist?
15.10.2005, 14:54	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Nein, wenn du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ fest lässt und dann die Stetigkeit in jeweils einer Variablen überprüfst, heißt das noch lange nicht, dass die Funktion auch stetig ist. Du musst zeigen: Für jede Folge $\begin{eqnarray} z_n=(x_n,y_n)\in\mathrm D_f \end{eqnarray}$ , die gegen $\begin{eqnarray} z=(x,y)\in\mathrm D_f \end{eqnarray}$ geht, d. h. $\begin{eqnarray} x_n\to x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_n\to y \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ , gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f(z_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=f(x,y)=f(z) \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
15.10.2005, 14:58	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
also wie ich das machen soll, weiß ich noch nicht. und wie finde ich heraus, wo sie stetig ist? also wenn sie nicht überall stetig ist?
15.10.2005, 15:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkte, Quotienten, Verkettungen, Summen usw. stetiger Funktionen sind natürlich wieder stetig. Meistens sieht man dann, wo die Funktionen stetig sind. Bei der ersten z. B.: Die ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Wegen der stetigen Fortsetzung sieht man, dass es da kritisch wird, wo der Nenner 0 wird. Gruß MSS
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15.10.2005, 15:09	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
also könnte ich zu a sagen, dass sie überall stetig ist, weil die einzelnen teilfunktionen stetig sind, und im nullpunkt ist sie auch stetig, weil ich hier (x*y)=z substituieren könnte und dann regel von de l'hosptal anwenden kann?
15.10.2005, 15:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so kann mans machen. Der Nullpunkt ist aber nicht die einzige kritische Stelle. Wie war das nochmal, wenn ein Produkt 0 ist!? Gruß MSS
15.10.2005, 15:16	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß nicht worauf du hinauswillst
15.10.2005, 15:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} xy=0 \end{eqnarray}$ ist, muss nicht zwingend $\begin{eqnarray} x=y=0 \end{eqnarray}$ sein!!! Gruß MSS
15.10.2005, 19:37	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
also soll ich für diesen fall hier auch noch: x beliebig, y= 0 und umgekehrt betrachten? ok, ich versuch mal ausm stegreif b) ob ichs verstanden hab: also das einzige, wo es problematisch werden könnte wäre, wenn $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ negativ wäre, das kann aber wegen den quadraten nicht sein. also ist die funktion überall stetig
15.10.2005, 21:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu gehört das Quadrat? $\begin{eqnarray} \log((x^2+y^2)^2) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \left(\log(x^2+y^2)\right)^2 \end{eqnarray}$ ?? Und denke daran, dass der Logarithmus auch nicht definiert ist, wenn das Argument 0 wird! Gruß MSS
15.10.2005, 21:27	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
leider weiß ich nicht genau wo das quadrat hingehört, hab die aufgabenstellung so bekommen, und das is ein neuer proffessor, da kann ichs auch nicht aus erfahrung sagen.
15.10.2005, 22:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist letztendlich auch egal. Die Stetigkeit ist in beiden Fällen das gleiche. Gruß MSS
16.10.2005, 11:40	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, hab jetzt länger drüber nachgedacht, und mir ist nicht ganz klar, wie ich die betrachtungen im punkt (0,0) anstellen soll. sollte ich evtl in polarkoordinaten umrechnen?
16.10.2005, 15:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Funktion ist dort ja erstmal gar nicht definiert. Dass der Limes der Funktion für $\begin{eqnarray} (x,y)\to (0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ ist, dürfte ja nicht so schwer einzusehen sein. Gruß MSS
16.10.2005, 15:34	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
naja da die funktion vorne durch x*y 2 mal gegen 0 strebt, muss das ja nicht umbedingt so sein oder?
16.10.2005, 15:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, richtig. Da steht ja noch was davor. Mit Polarkoordinaten kannst du es mal versuchen, ja. Gruß MSS
16.10.2005, 17:59	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, dann bekomm ich: $\begin{eqnarray} \lim_{r \to 0} r^2cos( \phi)sin(\phi)ln^2(r^4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ beliebig hm, schaut auch nicht gut aus
16.10.2005, 20:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, um $\begin{eqnarray} \left(\ln\left((x^2+y^2)^2\right)\right)^2 \end{eqnarray}$ geht es ja nun nicht. Bei beiden Versionen müsste aber das gleiche Ergebnis rauskommen. Du musst nur mal den Betrag des Ganzen (natürlich ohne Limes) abschätzen über die Beschränktheit des Sinus und Cosinus und dann brauchst du noch $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}x\ln x=0 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS

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