verdrehtes Koordinatensystem

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tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »
verdrehtes Koordinatensystem
Hallo,
ich rechne gerade an einer Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme. Gegeben sind drei Punkte und dreidimensionalen Raum: . Jetzt wurden drei Drehungen durchgeführt, (einmal Drehung um die x-Achse, y-Achse und z-Achse) sodass sich die Koordinaten der Punkte verändert haben:



Es sollen die Winkel berechnet werden, um die um die jeweiligen achsen gedreht worden ist.

Es lassen sich ja jetzt Drehmatrizen aufstehen. Die Matrix für die Drehung um die z-Achse benennte ich mit . Sie wäre z.B.:

(sorry, hab versucht eine Matrix zu erstellen. klappt aber leider nicht)

edit von sqrt(2): Dann füg ich sie eben wieder ein. LaTeX steht hier im Forum automatisch in einer eqnarray*-Umgebung, die musst du vorher terminieren und nachher wieder beginnen, wenn du außerhalb dieser Umgebung Text setzen möchtest.



Mit den Matrizen lassen sich drei Gleichungen aufstellen:





Jetzt muss ich dieses nach a,b,g auflösen. Das packt derive nicht. Gibt es da vielleicht eine Näherungsformel oder ein Rechengesetz, das man anwenden kann?

cu tommy
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme zunächst die orthogonale Matrix , die der Abbildung zugrundeliegt. Wenn die Matrix aus den als Spalten geschriebenen und die entsprechende Matrix aus ist, dann gilt



Und für kannst du dann die Eulerschen Winkel bestimmen.

EDIT
Fehler! Gestrichene und ungestrichene Größen müssen ausgetauscht werden. Durch den Fehler entsteht im Folgenden einige Verwirrung.
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin eher neu auf dem Gebiet. Was ist die Orthogonalenmatrix und wie ergeben sich U und V??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tommy07
ich bin eher neu auf dem Gebiet. Was ist die Orthogonalenmatrix und wie ergeben sich U und V??


Ich kann dir natürlich nur schwer helfen, wenn du diese ganzen Begriffe noch nicht kennst.

Was sind, habe ich oben schon erklärt. Dann kannst du



ja berechnen. Dieses ist die Matrix, die auf abbildet. Sie ist orthogonal mit Determinante 1, d.h. ihre Spalten bilden eine positiv orientierte Orthonormalbasis des .

Mein CAS berechnet übrigens



Und für dieses mußt du jetzt eine Zerlegung



bestimmen. Ich habe als eine mögliche Lösung erhalten:

(Winkel im Bogenmaß)
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
das Ergebnis ist auf jeden Fall richtig. Wie bestimme ich jedoch ?? Für V habe ich:

2,26 & 0,82 & 2,26
1,87 & 0,94 & 5,36
3,65 & 1,19 & 8,43

cu tommy
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tommy07
Hallo,
das Ergebnis ist auf jeden Fall richtig


Leopold rechnet nicht(s) falsch . Augenzwinkern
 
 
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Leopold rechnet nicht(s) falsch . Augenzwinkern


Das ist mir auchs chon aufgefallen. ;-)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tommy07
Hallo,
das Ergebnis ist auf jeden Fall richtig. Wie bestimme ich jedoch ?? Für V habe ich:

2,26 & 0,82 & 2,26
1,87 & 0,94 & 5,36
3,65 & 1,19 & 8,43

cu tommy


wenn du kein CAS hast, hilft viel handarbeit
werner
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

ok.

Zitat:
wenn du kein CAS hast, hilft viel handarbeit


Hab zwar kein CAS, aber derive.

Als Einheitsmatrix habe ich die Matrix

1 0 0
0 1 0
0 0 1

genommen. Um zu erhalten, müsste ich doch dann rechnen (ist diese Äquivalenzumformung zulässig??)
Wenn ich das jedoch mit der Matrix U

3 1 4
2 1 5
3 1 8

Multipliziere, kommt leider was anderes für D heraus als bei Leopold...


cu tommy
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die falsche matrix, du mußt ja bilden D = UV^(-1),
da kann nicht dasselbe herauskommen
werner
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

Als hab ich:

0.3981498582 -1.067002692 0.5725868466
0.9685865902 2.697217907 -1.977472433
-0.3096968901 0.08188719061 0.1495958299

U ist bei mir:

3 1 4
2 1 5
3 1 8

und D wäre demzufolge:

0.7782047303 -0.0962659872 0.8382807455
2.367778285 1.688332064 1.540656431
-0.3165287993 -0.07821386959 0.3674150318

Ich denke, das der Fehler bei liegt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Zitat:
Original von tommy07
Hallo,
das Ergebnis ist auf jeden Fall richtig


Leopold rechnet nicht(s) falsch . Augenzwinkern


Meint aber gelegentlich U (V), wenn er V (U) sagt.
Sorry! Ich wollte hier niemandem ein U für ein V vormachen.




Dann stelle ich hiermit meinen ersten Beitrag richtig:


Bestimme zunächst die orthogonale Matrix , die der Abbildung zugrundeliegt. Wenn die Matrix aus den als Spalten geschriebenen und die entsprechende Matrix aus ist, dann gilt



Und für kannst du dann die Eulerschen Winkel bestimmen.
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
habe gerade geschafft D zu bestimmen. Hab die erste Zeile per Hand gerechnet und dann festgestellt, dass derive das auch kann. ;-) Nach diesem Teilerfolg, sitz ich leider immernoch im Dunkeln.

Man kann ja sagen:

Aber wie kann ich da die Winkel herausbekommen?

cu tommy
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

1. Schritt
so bestimmen, daß gilt (die seien die Matrixelemente von ). Das führt auf eine Tangensgleichung.

2. Schritt
berechnen. Die Elemente dieser Produktmatrix nenne ich . Wenn du alles richtig gerechnet hast, sollte jetzt automatisch 0 sein; denn genau dies ist das Ziel des 1. Schrittes.

3. Schritt
Jetzt so bestimmen, daß wird. Zu lösen ist also wieder eine Tangensgleichung.

4. Schritt
berechnen. Bei richtiger Rechnung hat diese Produktmatrix an den Stellen, die nicht auf einer Diagonalen liegen, eine 0. Im Schnittpunkt der Diagonalen steht 1 oder -1. Falls dort -1 steht, muß im 3. Schritt durch ersetzt werden. Die Nullen bleiben, aber im Schnittpunkt der Diagonalen steht jetzt eine 1. Das waren Sinn und Zweck des 3. Schrittes.

5. Schritt
ist jetzt vom Typ . Bestimme entsprechend, so daß an allen Matrixecken die korrekten Werte stehen.

6. Schritt
Es gilt nun . Löse diese Gleichung nach auf. Vorsicht! Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ. Die Inversen der Drehungen kann man einfach bestimmen, man muß ja nur beim Drehwinkel das Vorzeichen ändern. Letztlich sind also die gesuchten Winkel.

Ohne Gewähr! (Gefahr durch Indexgewurschtel)
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
nachdm ich eine Pause bei der Berechnung gemacht habe, weil ich bei Schritt 5 nicht wieter wusste, stellt sich mir das Problem, dass ich immernoch nicht weiß, was ich falsch mache. Alpha und Gamma habe ich bestimmt.







Wenn ich nun aber in derive rechne, kommt da was recht seltsames raus, nämlich:




Ist dieses Zwischenergebnis richtig? Dieses müsste doch sein. Wie komm ich an das Beta selber ran? Erst nach D auflösen und was dann?

cu tommy
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vorzeichen von überprüfen.
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »

wunderbar. Hab für eingesetzt. Dann das übliche Verfahren angewendet. Jetzt habe ich zwar auch für Beta einen negativen Wert heraus, der eigentlich positiv sein sollte, aber egal.

Vielen Dank.
tommy07 Auf diesen Beitrag antworten »
falscher Ansatz
Hallo,
leider wurde mir mitgeteilt, dass ich den falschen Ansatz gewählt habe. Deswegen habe ich seit heut morgen das gesamte Kapitel zur Matrizenberechnung durch, aber das, was ich machen soll, steht da leider nicht drin.
Das Problem war praktisch so gestellt, dass man auf die Drehmatrix selber kommen soll. Man habe eine Koordinatensystem und ein gedrehtes Koordinatensystem. Man kommt von dem einen zum anderen mittels einer Transformationsmatrix. Dabei gilt:



Bekannt sind und . Um bei dem Beispiel zu bleiben, sei








entspricht der Drehmatrix und soll herausgefunden werden. Man kann die Gleichung ja umformen nach:



Aber dann bin ich mit meinem Latein auch schon am Ende. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

cu tommy
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