Beweis durch vollständige Induktion

15.10.2005, 20:03	gissel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch vollständige Induktion Hallo, ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter. Kann mir jemand einen Lösungsweg aufzeigen? $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ (2k-1)² = \frac{n(4n²-1)}{3} \end{eqnarray}$ Danke schon mal im voraus. gissel PS: Ich bin schon so lange nicht mehr mit der Materie zusammengekommen, das mir der Lösungsansatz momentan nicht greifbar ist. Für einen Vorschlag wäre ich dankbar.
15.10.2005, 20:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt es doch selbst - oder warum hast du diesen Threadtitel gewählt?
15.10.2005, 21:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
16.10.2005, 01:54	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
schreib doch mal deinen Ansatz auf bzw. sag uns wo es hängt ...
16.10.2005, 11:15	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
der lösungsweg ist bei allen induktionsaufgaben der gleiche: Prüfen des Induktionsanfangs IA : $\begin{eqnarray} A(1) \end{eqnarray}$ Formulieren der Induktionsvorraussetztung IV : $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ Formulierung der Induktionsbehauptung IB : $\begin{eqnarray} A(n+1) \end{eqnarray}$ Beweisen des Induktionsschrittes IS : $\begin{eqnarray} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray}$ Damit ist nach dem 5.ten Peano-Axiom (P5) gezeigt das die Aussage $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt. und jetzt bist du dran, übertrag das doch mal auf dein beispiel! servus
17.10.2005, 23:46	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz muss folgender sein: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~(2k-1)² \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(2k-1)² \end{eqnarray}$ + (2(n+1)-1)² ( also von der Summe den letzen Summanden abgespalten indem du k = n+1 setzt. ) Jetzt kannst du $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(2k-1)² \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{n(4n²-1)}{3} \end{eqnarray}$ setzen. Das ist ja deine Induktionsvorraussetzung. Der Rest ist dann nur noch umformen. P.S. wenn du da auch nicht weiterkommst versuch einfach mal in die Formel: $\begin{eqnarray} \frac{n(4n²-1)}{3} \end{eqnarray*}$ n+1 einzusetzen ( denn da willst du ja hin ) und ein bisschen auszuklammern - dann kennst du den Weg quasi rückwärts...
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