Fragenkatalog Klausur

12.04.2008, 19:22

donvito

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Fragenkatalog Klausur

Muss hier mal ein paar Fragen loswerden, da unser Prof keine Lösung zur Probeklausur rausrückt und ich mir bei manchen Dingen nicht ganz sicher bin.

1)Wieviele Möglichkeiten gibt es, Schiri und zwei (gleichberechtigte Linienrichter) aus einer 11-köpfigen Mannschaft auszuwählen?
Ich habe gesagt $\begin{eqnarray*} 11\cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}=45 \end{eqnarray*}$

2)Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a \in {0, 1, ...6} mit a \equiv 5^{66666}mod 7 \end{eqnarray*}$
Kein Peil wie das gehen soll ohne Taschenrechner...

3) Bestimmen Sie die rechte Nebenklasse von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} H=<(1, 2, 3, 4)>\subset S_5 \end{eqnarray*}$

Was wollen die hier von mir? Ich weiß nur, dass man es in Zykelschreibweise umformen kann: ((1,2)(3)(4, 5)

4) Hat irgendjemand eine Ahnung wie man auf nem Mac den umgekehrten Schrägstrich macht? Ich brauch den ständig für Latex...

12.04.2008, 19:31

tmo

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zu 1) Das ist richtig. Aber das gleich 45 vergisst du am besten schnell wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu 2) $\begin{eqnarray*} 5^{66666} \equiv (-2)^{66666} = ((-2)^3)^{22222} \pmod 7 \end{eqnarray*}$

Jetzt mache mal nach dem Muster weiter. Schon im nächsten Schritt kommst du zum Ergebnis.

12.04.2008, 19:53

beuteltier

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zu 4)
alt + shift + 7

ich hab auch mal den tip bekommen die tastatur auf englisch umzustellen. dann ist der schrägstrich auf dem bindestrich wenn ich mich recht erinnere (sofern du viel latex schreibst)

zu 3)
bin mir nicht ganz sicher, aber wenn du die permutation (1,2,3,4) wiederholt auf sich selbst anwendest, siehst du, dass H aus 4 Elementen besteht. dann verknüpst du diese 4 jeweils mit dieser einen permutation da. ob du sie links oder rechts anwenden musst, weiss ich jetzt nicht ((wäre interessant zu wissen). ich glaube die konvention ist da nicht eindeutig, welches "linke" und "rechte" nebenklasse sind

12.04.2008, 20:02

therisen

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RE: Fragenkatalog Klausur

Zitat:

Original von donvito
3) Bestimmen Sie die rechte Nebenklasse von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} H=<(1, 2, 3, 4)>\subset S_5 \end{eqnarray*}$

Was wollen die hier von mir? Ich weiß nur, dass man es in Zykelschreibweise umformen kann: ((1,2)(3)(4, 5)

Du sollst die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \end{pmatrix}\cdot (1,2,3,4)^k:~k\in\mathbb N_0 \right\} \end{eqnarray*}$ berechnen (explizit alle Elemente auflisten).

EDIT: Ich sehe gerade, dass die rechte Nebenklasse gesucht ist - ich habe die linke Nebenklasse hingeschrieben, man vertausche daher die beiden Faktoren (die Multiplikation ist nicht kommutativ!).

12.04.2008, 20:29

donvito

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Zitat:

Original von tmo
zu 1) Das ist richtig. Aber das gleich 45 vergisst du am besten schnell wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu 2) $\begin{eqnarray*} 5^{66666} \equiv (-2)^{66666} = ((-2)^3)^{22222} \pmod 7 \end{eqnarray*}$

Jetzt mache mal nach dem Muster weiter. Schon im nächsten Schritt kommst du zum Ergebnis.

Ups hatte die 11 vorne vergessen. Allerdings wird sowas ja wohl nicht in der Klausur kommen, da wir dann keinen TR nutzen dürfen.

zu 2) Ich verstehe nicht wie du darauf kommst. Könntest du mal bitte deinen Ansatz schildern?

12.04.2008, 20:50

therisen

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Aus $\begin{eqnarray*} 5\equiv-2\pmod7 \end{eqnarray*}$ folgt nach den Rechenregeln für Kongruenzen $\begin{eqnarray*} 5^{66666}\equiv(-2)^{66666}\pmod7 \end{eqnarray*}$ . Was das bringt, siehst du im nächsten Schritt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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13.04.2008, 01:30

tmo

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Zitat:

Original von donvito
Ups hatte die 11 vorne vergessen. Allerdings wird sowas ja wohl nicht in der Klausur kommen, da wir dann keinen TR nutzen dürfen.

Naja $\begin{eqnarray*} 11 \cdot 45 \end{eqnarray*}$ darf man doch wohl auch ohne TR noch erwarten Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2008, 10:57

donvito

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Ja aber auf 45 muss man erstml kommen. Berechne mit ml im Kopp 10! Big Laugh

Big Laugh

13.04.2008, 10:58

donvito

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Zitat:

Original von donvito
Ja aber auf 45 muss man erstml kommen. Berechne du mal im Kopp 10! Big Laugh

Big Laugh

13.04.2008, 11:15

Mr.Pink

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Zitat:

Original von donvito
Ja aber auf 45 muss man erstml kommen. Berechne mit ml im Kopp 10! Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 10}{2} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2008, 11:27

donvito

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Oh mann, klar man kann die 8! ja rauskürzen...

13.04.2008, 11:42

tmo

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Gauß konnte sogar schon in der Grundschule $\begin{eqnarray*} \binom{101}{2} \end{eqnarray*}$ berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2008, 12:04

beuteltier

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Zitat:

Original von tmo
Gauß konnte sogar schon in der Grundschule $\begin{eqnarray*} \binom{101}{2} \end{eqnarray*}$ berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

was unser mathe-lehrer damals mit einem zynischen blick in die klasse und dem kommentar versüßte: "von ihnen ist so etwas wohl kaum zu erwarten"

Teufel

Teufel

13.04.2008, 17:18

donvito

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RE: Fragenkatalog Klausur

Zitat:

Original von therisen

Du sollst die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \end{pmatrix}\cdot (1,2,3,4)^k:~k\in\mathbb N_0 \right\} \end{eqnarray*}$ berechnen (explizit alle Elemente auflisten).

Könntest du das bitte mal näher erklären? Was bedeutet denn diese seltsame Klammerschreibweise? Ich kanne die nur von Permutationen. Es handelt sich offenbar um eine Gruppe mit fünf Elementen. H ist eine Untergruppe davon.

Für die rechte Nebenklasse gilt
$\begin{eqnarray*} Hb := {h \circ b: h \in H} = r^b(H) \end{eqnarray*}$ (aus unserm Skript)
Dazu hätte ich jetzt mal ein paar Fragen:
was ist r? aufgrund deiner Notation vermute ich, dass r = (1, 2, 3, 4) Bedeutet r^b(H) Multiplikation oder irgendwas spezielles?

Wäre super, wenn du mir das mal Schritt für Schritt erklären könntest.

OT: Gauß war ein Genie. Ich bin nur ein normaler Informatikstudent mit Matheschwäche traurig

traurig

Aber hier gibt es ja genug Genies Gott

Gott

13.04.2008, 17:25

therisen

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RE: Fragenkatalog Klausur

Zitat:

Original von donvito
Könntest du das bitte mal näher erklären? Was bedeutet denn diese seltsame Klammerschreibweise? Ich kanne die nur von Permutationen. Es handelt sich offenbar um eine Gruppe mit fünf Elementen. H ist eine Untergruppe davon.

Du bist lustig. Ich habe nur deine Schreibweisen benutzt. Hast du diese etwa plötzlich vergessen? Ich weiß nicht, was mit dem $\begin{eqnarray*} r^b(H) \end{eqnarray*}$ gemeint ist, das musst du deinem Skript entnehmen. Schreib doch mal alle Elemente von H hin, die Gruppe ist ja schließlich endlich.

13.04.2008, 17:54

donvito

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Also in der Aufgabe steht das so H:=<(1234)> echte Teilmenge von S_5.
S_5 dürfte demnach die Klammer sein, mit den zwei Zeilen. Nur ist mir leider überhaupt nicht klar, wie man diese Notation interpretieren soll...
Die spitzen Klammern bei der Untergruppe deuten wohl darauf hin, dass 1,2, 3, 4 Erzeuger sind. Allerdings finde ich das alles bisschen merkwürdig, da er die Zahlen einfach zusammen schreibt. Im Skript finde ich leider auch keine Informationen dazu...
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/s...S.SS07/DAS.html Seite 101

13.04.2008, 18:24

therisen

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$\begin{eqnarray*} (1234) \end{eqnarray*}$ steht für diejenige Permutation $\begin{eqnarray*} \pi\in \mathfrak{S}_5 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \pi(1)=2, \pi(2)=3, \pi(3)=4, \pi(4)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi(5)=5 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \langle (1234)\rangle \end{eqnarray*}$ steht für die von $\begin{eqnarray*} (1234) \end{eqnarray*}$ erzeugte Untergruppe $\begin{eqnarray*} H\subset \mathfrak S_5 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} H=\{\mathrm{id}=\pi^0,\pi,\pi^2, \pi^3, \dots \} \end{eqnarray*}$ .

Erste Aufgabe für dich: Berechne alle Elemente von H (in Zykelschreibweise).

13.04.2008, 20:07

donvito

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Sorry, ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter... mir fehlt da einfach zuviel. Und ich muss jetzt erstmal schauen, dass ich alle Sachen, die ich so halbe kann noch ausreichend übe, damit das auch für die Hälfte reicht Big Laugh

Big Laugh

Die richtig schweren Aufgaben sind daher erstmal wurst.
Trotzdem vilen Dank für eure Hilfe. Ich komme vielleicht später nochmal auf die Aufgabe zurück.
Neue Frage:

Wie berechne ich den größten gemeinsamen Teiler zweier Funktionen. Ich weiß noch, dass es irgendwie mit Polynomdivision geht. Was mache ich dann mit dem Rest? Und was mit dem Ergebnis?

Geht es so? f:g, dann g unglücklich

unglücklich

Rest der ersten Division)?

13.04.2008, 20:29

kiste

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Zweier Funktionen oder zweier Polynome?!
Wenn du Polynome meinst ganz normal den euklidischen Algorithmus mit Hilfe der Polynomdivision anwenden

13.04.2008, 20:33

donvito

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Polynome natürlich.

Also Polynom g = Polynom h mal x + Rest?
dannPolynom h = k*Rest + Rest2
usw.?

13.04.2008, 20:41

kiste

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Wenn x und k die zugehörigen Polynome der Polynomdivision sind stimmt das, einfach durchführen bis zur normalen Abbruchbedingung des euklidischen Algorithmus

15.04.2008, 10:41

donvito

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Danke! Hat einwandfrei geklappt.

Nächste Frage:
Was ist "Standard"? D.h.Wenn von einer Gruppe Z_12 die Rede ist, darf ich dann additive oder multiplikative Schreibweise annehmen? In unserem Skript steht nur, dass man es wegläßt, wenn es "klar" ist... In diesem Falle ist es eider alles andere als klar. Oder fragt er hintenrum nach BEIDEM? geschockt

geschockt

Wie berechne ich am schnellsten die zyklischen Erzeuger einer multiplikativen Gruppe? Beispielsweise Z_13. Da müsst ich ja jetzt um sicherzugehen alle Potenzen durchrechnen. Da bin ich beschäftigt. Zumal ohne TR.

Z_12/H heißt einfach nur Untergruppe H von Z_12?

Und jetzt noch die Preisfrage Big Laugh

Big Laugh

Wie berechne ich, ob $\begin{eqnarray*} (x^3+x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ reduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ ist?

Morgen ist es zu spät. Das muss heute noch rein Gott

Gott

16.04.2008, 00:14

kiste

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Zu Z_12 eindeutig additiv Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist multiplikativ doch nicht einmal eine Gruppe.

Jedes Element außer der 1 ist ein Erzeuger da die Gruppe die Ordnung 13 hat und der Satz von Lagrange gelten muss.

Zur Preisfrage: Du hast doch schon eine Zerlegung?! Also offensichtlich reduzibel? Oder wie habt ihr das definiert?

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