Fibonacci-Beweise

13.04.2008, 19:05

gastxy

Fibonacci-Beweise

Guten Tag an Alle;
die Aufgabe befindet sich im Anhang. Ich weiß wirklich nicht, wie ich sie lösen soll. Bei wikipedia gibt es ne kleine auflistung von Beziehungen zwischen den Folgegliedern. Jedoch kann ich damit zwar die Formel etwas umstellen, aber es entstehen durch die "auflösung" bzw Substitution einzelner Ausdrücke nur noch kompliziertere Ausdrücke.
Wenn man das mit Induktion lösen sollte, wäre es nett, wenn einer mir da nen Tipp geben könnte. Oder den 1. Beweis vollständig lösen, damit ich den 2. alleine lösen kann. Bin dankbar für jeden Tip..

13.04.2008, 19:07

system-agent

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Na Induktion ist doch eine gute Idee. Der Induktionsanfang sollte klar sein. Schreibe für den Schritt erstmal ganz ordentlich auf was die Induktionsvoraussetzung ist. Verwende dann die Definition der Fibonacci-Folge um einen "unpassenden Index" loszuwerden, das heisst:
$\begin{eqnarray*} f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n} \end{eqnarray*}$

So "hangelst" du dich zurück bis du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst.

13.04.2008, 19:27

gastxy

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ch weiß ja noch nichtmal, wie ich zeigen soll, dass induktionsverankerung für n=1 gültig ist
induktionsannahme ist:

$\begin{eqnarray*} f_{2n+1}^2 - f_{2n} * f_{2n+2} = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt doch erstmal der test, ob es für n>2 funktioniert.. .. sieht das dann so aus ?

$\begin{eqnarray*} f_{2*(2)+1}^2 - f_{2*2} * f_{2(*2)+2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{5}^2 - f_{4} * f_{6} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{5}^2 - f_{4} * f_{6} = 1 \end{eqnarray*}$

ich habe probleme mit dem
$\begin{eqnarray*} f_{5}^2 \end{eqnarray*}$

Wie ich das umschreiben, bzw auflösen soll. Sry wenn ich mich anstelle, versuche mir aber mühe zu geben

13.04.2008, 19:41

WebFritzi

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Die Aussage lässt sich auch ganz wunderbar ohne Induktion beweisen - und zwar mit Hilfe der Formel von Moivre-Binet. Diese lautet wie folgt

$\begin{eqnarray*} F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(a_+^n - a_-^n), \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} a_+ := \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_- := \frac{1-\sqrt{5}}{2}. \end{eqnarray*}$

Man verifiziert leicht, dass

$\begin{eqnarray*} a_+a_- = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_+ - a_- = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

gelten. Damit haben wir dann

$\begin{eqnarray*} F_k^2 - F_{k-1}F_{k+1} &=& \frac{1}{5}\left( (a_+^k - a_-^k)^2 - (a_+^{k-1} - a_-^{k-1})(a_+^{k+1} - a_-^{k+1}) \right)\\&=& \frac{a_+^{k-1}a_-^{k-1}}{5}\cdot(a_-^2 - 2a_+a_- + a_+^2)\\&=& \frac{(a_+a_-)^{k-1}(a_+ - a_-)^2}{5}\\&=& (-1)^{k-1}, \end{eqnarray*}$

was gerade die Behauptung ist.

13.04.2008, 20:05

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Alternativ weist man

$\begin{eqnarray*} F_{m+1}F_{m-1}-F_m^2 = (-1)^m \end{eqnarray*}$

durch Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nach. Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} m \to m+1 \end{eqnarray*}$ nutzt man die Rekursion:

$\begin{eqnarray*} F_{m+2}F_m-F_{m+1}^2 = (F_{m+1}+F_m)F_m-(F_m+F_{m-1})F_{m+1} = \cdots \end{eqnarray*}$

13.04.2008, 20:15

WebFritzi

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lol, hier ist die Induktion natürlich viel einfacher als der Induktionskiller-Beweis. Augenzwinkern

14.04.2008, 00:44

gastxy

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So.

für n=1 ist Aussage bewiesen. Sicherheitshalber hab ich es auch für n=2 mal getestet.

Beim Induktionsschritt habe ich jedoch noch probleme und weiß nicht, wie genau ich diesen "vollführen soll".. mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f_{2*(n+1)+1}^2 - f_{2*(n+1)} * f_{2(n+1)+1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{2n+3}^2 - f_{2n+2} * f_{2n+3} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{2n+3}^2 - f_{2n+5}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{2n-3}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Das ist doch aber Falsch so...jedenfalls für zahlenbeispiele... Hat jemand nen Tipp

14.04.2008, 02:13

Mathespezialschüler

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Liest du die Beiträge, die dir geschrieben werden, auch? Da!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Alternativ weist man

$\begin{eqnarray*} F_{m+1}F_{m-1}-F_m^2 = (-1)^m \end{eqnarray*}$

durch Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nach. Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} m \to m+1 \end{eqnarray*}$ nutzt man die Rekursion:

$\begin{eqnarray*} F_{m+2}F_m-F_{m+1}^2 = (F_{m+1}+F_m)F_m-(F_m+F_{m-1})F_{m+1} = \cdots \end{eqnarray*}$

Deine Umformungen ergeben für mich im Übrigen absolut keinen Sinn.

14.04.2008, 07:14

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@gastxy

Vielleicht ist es mal an der Zeit, über die Startwerte zu sprechen:

$\begin{eqnarray*} F_0=0,\quad F_1=1 \end{eqnarray*}$ .

Mit der Rekursion lassen sich die nächsten paar Werte berechnen:

$\begin{eqnarray*} F_2=1,\quad F_3=2,\quad F_4=3,\quad F_5=5,\quad F_6=8 \end{eqnarray*}$ ,

soweit das für den Induktionsanfang bzw. deine Rechnungen gebraucht wird. Alle diese Zahlenbeispiele bestätigen die Formeln, folglich hast du dich irgendwo verrechnet.

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