Ebene finden und begründen

17.10.2005, 17:50

aRo

Ebene finden und begründen

Hallo!

Ich habe leider schon eine graume Weile keine analyt. Geometrie gemacht und bin gerade als ich wieder etwas wiederholt hab (muss mich für morgige Nachhilfe vorbereiten) auf ein Problem gestoßen.

Die Aufgabe:
Bilde die Ebene E*, die auf E2 senkrecht steht und zum Ursprung den gleichen Abstand wie die Gerade g hat. Begründe: Alle Punkte, die auf keiner Scharebene liegen, liegen auf E*.

Also E2 bildet man aus: $\begin{eqnarray*} E_a : \begin{pmatrix} a \\ a-4 \\ 1 \end{pmatrix} \vec{x} +3a-6 = 0 \end{eqnarray*}$

Abstand d(g,Ursprung) = 2.121 (hatte ich keine Lust auszurechnen, habsch mitm Programm gemacht).

also mein Ansatz:
ich weiß dass (n1 etc, seien die Komponenten des NOrmalenvektors der gesuchten Ebene) : $\begin{eqnarray*} 2n_1 - 2n_2 + n_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Sonst weiß ich noch, dass:
$\begin{eqnarray*} |\frac{d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_1^3}}| = 2.121 \end{eqnarray*}$ sein muss. dabei ist d dieses Fitzelchen hinter dem Normalenvektor*x.

Hmm..weiter komme ich irgendwie nciht. damit kann ich ja noch nciht wirklich was anfangen, oder?

Gruß,
aRo

17.10.2005, 20:32

sqrt(2)

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RE: Ebene finden und begründen

Zitat:

Original von aRo
Abstand d(g,Ursprung) = 2.121 (hatte ich keine Lust auszurechnen, habsch mitm Programm gemacht).

Es wäre ganz nützlich, den genauen Wert zu haben, denn bei solchen Aufgaben kommt es wohl auf den an, in späteren Aufgabenteilen könnte die richtige Ebene E* die Rechnung erheblich erleichtern. Was ist überhaupt g?

Zitat:

Original von aRo
also mein Ansatz:
ich weiß dass (n1 etc, seien die Komponenten des NOrmalenvektors der gesuchten Ebene) : $\begin{eqnarray*} 2n_1 - 2n_2 + n_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du $\begin{eqnarray*} n_{1,2,3} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_{1,2,3} \end{eqnarray*}$ änderst, dann hast du die Ebenengleichung von $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ da stehen, deine Ebene soll aber senkrecht zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ stehen.

Zitat:

Original von aRo
Sonst weiß ich noch, dass:
$\begin{eqnarray*} |\frac{d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_1^3}}| = 2.121 \end{eqnarray*}$ sein muss. dabei ist d dieses Fitzelchen hinter dem Normalenvektor*x.

Aber nur, wenn der Normalenvektor noch normiert ist, also die Länge 1 hat (Hessesche Normalenform), womit du den Nenner ganz wegfallen lassen kannst und direkt eine Aussage über d hast. Zusammen mit der Information von oben ergibt sich direkt deine Ebene (du musst nur dafür sorgen, dass dein Normalenvektor auch wirklich dir Länge 1 hat).

Fast, denn eigentlich ist die Angabe zweideutig: Es gibt immer zwei Ebenen gleichen Normalenvektors, die den gleichen Abstand vom Ursprung haben.

17.10.2005, 22:24

aRo

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ich ruder da immer noch was rum.

also zur ersten bemerkung:
g ist die Gerade. Klar wärs nützlich hatte aber nicht so viel Zeit.

2) Meine Bedingung für die Komponenten des NOrmalenvektors rührt einfach von der Skalarmultiplikation des allgemeinen N-Vek. mit dem gegebenen, was ja dann null sein muss. Wie würdest du das denn an dieser Stelle machen?

3) Stimmt, das wäre ein guter Ansatz. Wenn ich den Normalenvektor normiere hätte ich noch eine Bedingung:
$\begin{eqnarray*} n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 1 \end{eqnarray*}$

trotzdem komme ich da nicht richtig weiter. Kannst du bitte etwas genauer werden? Wäre sehr hilfreich...muss das bis morgen erklären können Augenzwinkern

Gruß,
aRo

17.10.2005, 22:35

sqrt(2)

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Zitat:

Original von aRo
g ist die Gerade.

Schon klar, ich hätte die nur gern in Parameterform gehabt. Augenzwinkern

(Die Schnittgerade aller Ebenen der Schar? Ich habs mir gerade plotten lassen, und die scheint einen Abstand von $\begin{eqnarray*} \sqrt{4.5}\approx2.121 \end{eqnarray*}$ zu haben...)

Zitat:

Original von aRo
2) Meine Bedingung für die Komponenten des NOrmalenvektors rührt einfach von der Skalarmultiplikation des allgemeinen N-Vek. mit dem gegebenen, was ja dann null sein muss. Wie würdest du das denn an dieser Stelle machen?

Ach, so meinst du das... Hammer

Ja, Verwirrung meinerseits.

Da es unendlich viele mögliche Normalenvektoren gibt, ist das die einzige Bedingung, um irgendeinen Normalenvektor zu finden. Such dir einen Vektor aus, der diese Gleichung erfüllt. Den kannst du dann normieren, um das d weiter unten direkt verwenden zu können.

Zitat:

Original von aRo
3) Stimmt, das wäre ein guter Ansatz. Wenn ich den Normalenvektor normiere hätte ich noch eine Bedingung:
$\begin{eqnarray*} n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Allgemein muss über die linke Seite noch eine Wurzel, aber das macht hier ja keinen Unterschied und vielleicht weißt du das ja auch...

Zitat:

Original von aRo
trotzdem komme ich da nicht richtig weiter. Kannst du bitte etwas genauer werden? Wäre sehr hilfreich...muss das bis morgen erklären können Augenzwinkern

Wenn du beide Bedingungen verwendest (mit $\begin{eqnarray*} |\vec{n}|=1 \end{eqnarray*}$ ), dann hast du deine Ebene schon (in der zweiten hast du ja direkt d = 2.121 stehen).

17.10.2005, 22:50

aRo

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oh ja richtig. ich habs, danke.

naja, die Gerade hat ja jetzt so direkt keine Rolle gespielt.

Das mit der Wurzel wußte ich Augenzwinkern

Habs nur halt vereinfacht hingeschrieben.

Ich hatte irgendwie gedacht ich müsste aus meinen beiden n Gleichungen irgendwie das n errechnen und dabei eine Komponente frei wählen. Aber so wie dus jetzt vorgeschlagen hast leuchtet es mir auch ein, danke smile

Kannst du mir hierzu auch noch was helfen: Begründe: Alle Punkte, die auf keiner Scharebene liegen, liegen auf E*. Hmm....weiß ich jetzt auch nicht...mist smile

Gruß,
aRo

17.10.2005, 22:59

sqrt(2)

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Zitat:

Original von aRo
Kannst du mir hierzu auch noch was helfen: Begründe: Alle Punkte, die auf keiner Scharebene liegen, liegen auf E*. Hmm....weiß ich jetzt auch nicht...mist smile

Eine geometrische Begründung fällt mir jetzt nicht ein, aber rechnerisch begründen kann ich es.

Welches sind denn die Punkte, die auf keiner Ebene der Schar liegen?

(Übrigens, was hast du für E* raus? Das wird jetzt gleich wichtig...)

18.10.2005, 14:12

aRo

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Zitat:

Welches sind denn die Punkte, die auf keiner Ebene der Schar liegen?

Also dazu fällt mir jetzt nur folgende Bedingung ein:
$\begin{eqnarray*} ap_1+(a-4)p_2+p_3+3a-6 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Dabei sind p1, p2, p3 halt die Koordinaten des Punktes. Aber das hilft mir nicht wirklich weiter, oder doch?

Zitat:

(Übrigens, was hast du für E* raus? Das wird jetzt gleich wichtig...)

meine Ebene lautet:
$\begin{eqnarray*} E*: \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \vec{x} -2.121 = 0 \end{eqnarray*}$

hmm....stecke schon wieder fest unglücklich

Gruß,
aRo

18.10.2005, 15:49

Bjoern1982

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Wäre doch auch insofern interessant die Geradengleichung zu erfahren, als dass man ja dadurch eine neue Bedingungsgleichung aufstellen könnte, weil man ja dann wüsste, dass der Richtungsvektor dieser Geraden und der Normalenvektor der gesuchten Ebene E* senkrecht zueinander stehen (Lotbedingung).
Hieraus und daraus, dass E2 und E* senkrecht zueinander stehen lässt sich durch ein entsprechendes LGS ja schonmal der Normalenvektor der gesuchten Ebene E* bilden...

18.10.2005, 18:07

sqrt(2)

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Zitat:

Original von aRo

Zitat:

Welches sind denn die Punkte, die auf keiner Ebene der Schar liegen?

Also dazu fällt mir jetzt nur folgende Bedingung ein:
$\begin{eqnarray*} ap_1+(a-4)p_2+p_3+3a-6 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, aber so schlecht lösbar. Setze es umgekehrt an: Nimm einen allgemeinen Punkt $\begin{eqnarray*} (p_1|p_2|p_3) \end{eqnarray*}$ , so wie du es getan hast, und schaue, auf welcher Ebene der Schar dieser allgemeine Punkt liegt. Du wirst eine Bedingung dafür erhalten, dass ein Punkt auf keiner Ebene liegt.

Zitat:

Original von aRo
meine Ebene lautet:
$\begin{eqnarray*} E*: \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \vec{x} -2.121 = 0 \end{eqnarray*}$

Auweia. Das ist zwar eine Ebene, die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und den gleichen Abstand zum Ursprung wie die Gerade hat, aber nicht die Ebene, die alle Punkte enthält, die auf keiner Ebene der Schar liegen. Wie ich schon gesagt hatte, diese Angabe ist mehrdeutig und jetzt fällt mir auf, dass es unendlich viele solche Ebenen gibt. Enthältst du uns einen Teil der Aufgabenstellung vor?

Übrigens, $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{4.5} \end{eqnarray*}$ . Das ist wichtig für diese Aufgabe.

18.10.2005, 19:43

aRo

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okay, ich habe jetzt doch nochmal das AB hochgeladen, damit ihr euch die Aufgabe so anschauen könnt, wie ich sie vor mir habe.

@sqrt(2):

Also...ich weiß nicht wie du das meinst. So wie du das beschrieben hast ist das doch einfach das gleiche, was ich da geschrieben habe, nur mit einem Gleichzeichen?
Weiß nicht was du meinst.

Ob ich dir jetzt was von der Aufgabenstellung vorenthalte kannst du ja jetzt selbst schauen Augenzwinkern

http://img170.imageshack.us/img170/3723/ab016vj.jpg

19.10.2005, 12:33

sqrt(2)

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Ich denke, dein(e) Lehrer(in) hat in der Aufgabenstellung einen Fehler gemacht. Es sollte heißen

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}Bilde die Ebene $\bar{E}$, die auf $E_2$ senkrecht steht, den gleichen Abstand zum Ursprung wie $g$ hat und den Punkt $P$ enthält.\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Dann ist es eindeutig. Du musst den Normalenvektor also zusätzlich so wählen, dass P dann auch in der Ebene liegt.

19.10.2005, 15:04

aRo

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hi! ist ja nicht mein Lehrer. Das AB stammt von unserem Grundkurs. Habe das Zeug auch schon lange nicht mehr gemacht.

Naja, also ich müsste ja dann den Normalenvektor aus folgenden drei Gleichungen errechnen:

$\begin{eqnarray*} n_1^2 +n_2^2 +n_3^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2n_1-2n_2+n_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2n_1 - n_2 + 5 n_3 = 2.121 \end{eqnarray*}$

richtig?

Wie löse ich denn dieses LGS? Irgendwie komm ich nicht mit der 1.Gleichung klar.

Gruß,
aRo

19.10.2005, 16:08

sqrt(2)

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Das ist kein LGS mehr, schließlich hast du da eine quadratische Gleichung. Leider ist es so, dass auch meine Angaben nicht ein- sondern vierdeutig sind. Wie man dieses Gleichungssystem einfach lösen könnte, weiß ich jetzt auch nicht.

Eigentlich kann ich dir nur die Lösung für $\begin{eqnarray*} \bar{E} \end{eqnarray*}$ vorgeben, von der ich glaube, dass deine Lehrkraft sie haben wollte, denn so ist deine Aufgabe nicht zu lösen.

Der Normalenvektor, der zum Erfolg führt, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wenn man ihn normiert, erhält man die Ebene
$\begin{eqnarray*} \bar{E}:~\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\vec{x}+\sqrt{4.5}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar{E}:~\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\vec{x}+3=0 \end{eqnarray*}$ .

(Ich habe $\begin{eqnarray*} d=-\sqrt{4.5} \end{eqnarray*}$ gewählt.)

Die Ebene zu berechnen, auf der alle Punkte liegen, die in keiner Scharebene liegen, überlasse ich jetzt weiter dir, den Weg habe ich ja schon genannt.

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