Trigonometrische Gleichungen

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18.10.2005, 00:25	hyperbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Gleichungen Ich habe folgende Gleichung beim Mathetest gehabt: $\begin{eqnarray} sin2x+cos2x=1 \end{eqnarray}$ Ich habe dann die Additionstheoreme angewendet und bekam folgendes raus: $\begin{eqnarray} 2sinxcosx+1-2sin²x=1 \end{eqnarray}$ Dann habe ich 1 raus subtrahiert und eingeklammert: $\begin{eqnarray} 2sinx(cosx-sinx)=0 \end{eqnarray}$ Nun muss ich ja das erste Produkt gleich Null setzen und habe als erste Lösung für $\begin{eqnarray} sinx=0 \end{eqnarray}$ rausbekommen $\begin{eqnarray} x=2\pi k (k\in Z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'=\pi +2\pi k(k\in Z) \end{eqnarray}$ . Nun muss ich das zweite Produkt $\begin{eqnarray} cosx-sinx=0 \end{eqnarray}$ berechnen. Ist mein Rechenweg eigentlich richtig und ich komme bei der Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} cosx-sinx=0 \end{eqnarray*}$ nicht voran. Kann mir jemand helfen? Wir müssen eine Berichtigung für den Test abgeben und die werden benotet. ich möchte mir bei allem sicher sein PLEASE
18.10.2005, 00:36	Fermat	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das sieht schonmal gut aus und ersetze bei $\begin{eqnarray} cosx-sinx=0 \end{eqnarray}$ sinx oder cosx mit dem trigonometrischen pythagoras. dann müsstest du es ziemlich einfach rauskriegen.
18.10.2005, 00:41	hyperbel	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für den tipp ich werde es einmal versuchen auszurechnen vielen dank nochmals
18.10.2005, 00:52	hyperbel	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe nun folgendermaßen den trig. Pythagoras angewendet: $\begin{eqnarray} sin²x+cos²x=1 \end{eqnarray}$ Das habe ich nach cosx umgewandelt und habe $\begin{eqnarray} cosx=\sqrt{1-sin²x} \end{eqnarray}$ rausbekommen. Das habe ich dann in die Gleichung eingesetzt und es sah dann so aus: $\begin{eqnarray} \sqrt{1-sin²x}-sinx=0 \end{eqnarray}$ Das habe ich dann quadriert: $\begin{eqnarray} 1-sin²-sin²x=0 \end{eqnarray}$ und weiter zusammengefasst: $\begin{eqnarray} 1-2sin²x=0 \| -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2sin²x=-1 \end{eqnarray}$ und das geteilt durch (-2) $\begin{eqnarray} sin²x=0,5 \end{eqnarray}$ und daraus die wurzel gezogen und dann wie üblich die basislösungen mit der ganzen $\begin{eqnarray} 2/pi \end{eqnarray}$ -Geschichte. Ist dieser Rechenweg korrekt?
18.10.2005, 00:55	Fermat	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist richtig und das ergebnis müsste dann x=1/4*pi sein.
18.10.2005, 00:57	hyperbel	Auf diesen Beitrag antworten »
JAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA ich hab es richtig. ich habe beim test gar nicht daran gedacht den trig. P. anzuwenden. Ich habe dann einfach versucht, es graphisch zu lösen, aber dass ist ja immer nur die hälfte der punktzahl wert. vielen dank nochmals!!!
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18.10.2005, 01:23	hyperbel	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe nochmals eine aufgabe durchgerechnet und habe wahrscheinlich im test einen vorzeichenfehler gemacht. ist folgende Rechnung(wo ich am ende allerdings nicht weiterkomme)richtig? $\begin{eqnarray} 3-4sin²-2cosx=0 \end{eqnarray}$ Anhand des trig. Pythag. bekomme ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} 3-4sin²-2(\sqrt{1-sin²x} )=0 \end{eqnarray}$ das ganze hab ich dann quadriert $\begin{eqnarray} 9+16sin³x+4(1-sin²x)=0 \end{eqnarray}$ Dann habe ich 9 und 4 subtrahiert: $\begin{eqnarray} 16sin³x-4sin²x=-13 \end{eqnarray}$ Dann hab ich eingeklammert: $\begin{eqnarray} 4sinx(4sin²x-sinx)=-13 \end{eqnarray}$ ist der rechenweg überhaupt richtig?und wie soll ich am ende weiter rechnen?
18.10.2005, 01:43	Fermat	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast falsch quadriert rechne doch mal klammer mal klammer da kommt dann was anderes raus. Du hast jeden teil einzeln quadriert du musst aber das ganze quadrieren edith: Ich hab vergessen zu sagen dass ich erst den wurzelterm auf die rechte seite holen würde und dann quadrieren würde.
18.10.2005, 02:47	hyperbel	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für den tipp so bin ich zu einem aussagekräftigen ergebnis gekommen und hatte dabei nicht mal probleme ich danke dir nochmals und wünsche dir eine schöne nacht noch
18.10.2005, 11:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Physikalisch ausgedrückt: Überlagerungen von harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz, nur unterschiedlicher Phase und Amplitude, ergeben wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz - siehe auch trigonometrische Funktion Hier bedeutet das einfach $\begin{eqnarray} \sin(2x)+\cos(2x)=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray}$ , womit dein Ursprungsproblem $\begin{eqnarray} \sin(2x)+\cos(2x)=1 \end{eqnarray}$ einfach in $\begin{eqnarray} \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ übergeht. Macht doch nicht immer alles so kompliziert...

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