Fahrzeugstrom und Stau

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FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »
Fahrzeugstrom und Stau
Hallo ihr lieben.

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich zu keinem (meiner Meinung nach) vernünftigem Ergebniss komme!

Aufgabe:
Warum kommt es bei einem Fahrzeugstrom von etwa 3000 Rahrzeugen/Stunde auf der Autobahn zum "Stau aufgrund erhöten Verkehrsaufkommen"?

Ermitteln Sie einen mathematischen Ausdruck für den Fahrzeugstrom N (Anzahl der Fahrzeuge pro Zeitintervall) in Abhängigkeit vom Betrag v der Geschwindigkeit.

Mein Ansatz:
wobei

Jetzt zur Abhängigkeit von v:
Ich habe mir gedacht, dass die Anzahl der Autos von dem Zeitintervall, der Geschwindigkeit und dem Abstand der Autos abhängt.
Also habe ich gesagt:
wobei und da ja nur an einem Punkt des Autos gemessen werden kann.

Also:


Nur ist der Abstand der Autos ja auch abhängig von der Geschwindigkeit, denn bei höherer Geschwindigkeit sollte man ja auch einen größeren Abstand einhalten.
Demnach sollte sein.
Für den Reaktionsweg habe ich mir überlegt:
Für den Bremsweg:
Sprich:

Soweit so gut. Nur gibt es jetzt hier noch folgende Fragen:
Für welchen Betrag der Geschwindigkeit hat N(v) einen Extremwert?
Also Ableiten. Das ist zwar eher mühsam, aber machbar.
Wie groß ist N bei diesem Geschwindigkeitsbetrag?
Wie groß ist A bei diesem Geschwindigkeitsbetrag?

Das verstehe ich dann leider irgendwie nicht mehr, wie ich das mit meinen Überlegungen anstellen soll?!?!?!

Hat da einer ne Idee?
Und ich weiß, das ist irgendwie auch ein bischen Physik *g*

Danke
Frederik
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mein Thema. Tanzen längere Antwort kommt gleich Augenzwinkern

So Der Weg bei der beschleunigten (verzögerten) Bewegung ist allgemein und damit hier


Zusammengesetzt ergibt das
Wobei und Konstanten sind.

Eingesetzt:

Boijoi Hässlich Augenzwinkern

Mach den mal schöner (Doppelbruch auflösen) dann sieht die Welt schon nicht mehr so schlim aus Augenzwinkern

Wenn Du dann real rechnen willst, setze die Reaktionszeit auf und die Bremsverzögerung auf etwa (Fahrschulwerte) geht aber auch ohne.

Ach hab ich Lust heute...



Das sieht doch schon nett aus, oder?
Weißt Du jetzt weiter?
FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »

Hui... okay... Ich hab dann mal die die Ableitung gemacht:



Tja.. und jetzt gleich Null setzen.... hmmm...

*g*
Gust Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob ihr bei dem Thema "privat" weitergedacht habt...

mich würde das Ergebnis irgendwie interessieren!

Deswegen hab ich da mal weitergerechnet - helft mir bitte, wenns falsch ist, oder aber helft mir mal beim Ergebnis (ganz alles hab ich nämlich noch nicht kapiert!





also:



oder:




hier komm ich irgendwie nicht weiter...!

__________________________
//edit:






Bringt das was, oder steh ich jetzt komplett im Wald?
FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe:




Bin aber trotzdem verwirrt "confused"

Weil da kommt als einheit für v raus *g*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Tipp: ist immer positiv, also ist extremal (Maximum) genau dann, wenn



extremal (Minimum) ist. Und mit dieser Funktion habt ihr wesentlich weniger Stress.
 
 
FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht... Also erstmal warum das so ist und warum des Einfacher sein soll?

Frederik
AD Auf diesen Beitrag antworten »



Muss ich noch mehr sagen?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fahrzeugstrom und Stau
Hier herrscht Einheitenverwirrung, deshalb:

Zitat:
Original von FrederikK
Für den Reaktionsweg habe ich mir überlegt:




Alles Folgende dürfte dann wohl falsch sein...
FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... glaube ja :-)

und

Wenn ich da jetzt einfach mal wieder die Probe mit den einheiten mache, dann bekomme ich doch oder nicht?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fahrzeugstrom und Stau
Zitat:
Original von sqrt(2)
Alles Folgende dürfte dann wohl falsch sein...

Nicht alles - mein Weg hat sogar teilweise diesen Fehler überstanden: Augenzwinkern


AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrederikK
Wenn ich da jetzt einfach mal wieder die Probe mit den einheiten mache, dann bekomme ich doch oder nicht?

Weil du falsch aufgelöst hast! Richtig ist

sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fahrzeugstrom und Stau
Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von sqrt(2)
Alles Folgende dürfte dann wohl falsch sein...

Nicht alles - mein Weg hat sogar teilweise diesen Fehler überstanden: Augenzwinkern


*hüstel* Da würd ich oben aber jetzt schnell editieren. Augenzwinkern

(Erst bei deinen Gleichungen ist mir der Fehler aufgefallen, den ich dann zurückverfolgt habe.)
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fahrzeugstrom und Stau
Ich stehe zu meinen abgeschriebenen Fehlern... Die Einheitenüberprüfung habe ich erst bei der Ableitung gemacht, und da war ja alles in Ordnung. Augenzwinkern
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fahrzeugstrom und Stau
Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Einheitenüberprüfung habe ich erst bei der Ableitung gemacht, und da war ja alles in Ordnung. Augenzwinkern


Hm? verwirrt

Zitat:
Original von Arthur Dent





Wieder ein Ironiedetektorausfall?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar - die Ableitung ist . Drei Postings, bis du das kapierst, hoffentlich nur drei ...
FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... peinlich eigentlich für mich... aber k.A. was ich mir dabei gedacht habe :-)

Nun also eine hoffentlich richtige (und vorallem richtig gerechnete) Korrektur:



und

EDIT:

Okay... scheint richtig zu sein.
Habe für folgende Ergebnisse:
und
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Offenbar - die Ableitung ist . Drei Postings, bis du das kapierst, hoffentlich nur drei ...

Ach so... Hammer Da war noch ein Konzentrationsausfall dabei.
FrederikK Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. also, das wenn wir sagen, dass und , der Fahrzeugstrom bei einer Geschwindigkeit von am höchsten ist?!?!

Also irgendwie werde ich das Gefühl nicht los, das schon meine überlegungen völlig falsch sind?!?!
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fahrzeugstrom und Stau
Dass mir das mit dem Reaktionsweg nicht aufgefallen ist Hammer Peinlich... Aber wir haben hier ja ein kompetentes Team aus aufmerksamen Helfern...

Also mit Arthurs einfacher Überlegung weitergerechnet (finde ich übrigens die elegentere Lösung)


Hey, kommt das gleiche raus *gg*
Der Form halber die Überrpüfung auf das Minimum:



Ein Minimum leigt bei vor. Interessant ist die Tatsache, dass der Reaktionsweg hier überhaupt keine Rolle mehr spielt... Das kann ich mir nicht vorstellen. *Fehlersuch* Denkfehler gefunden. Die Dichte ist sehr wohl von der Reaktionszeit abhängig aber nicht deren Maximum. Gut Was ist das eigentlich für ein Tempo?

Mmh, das entspricht nicht meinem subjektivem Empfinden...

Irgendwas stimm nicht!
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler gefunden
Fehler gefunden. Der optimale Abstand liegt nicht bei Reaktionsweg plus komplettem Bremsweg, sondern bei Reaktionsweg plus Bremswegdifferenz des bereits abgebremsten Fahrzeugs. Moment ich denk kurz drüber nach.
Nachträglicher Edit: Als Herleitung zu gebrauchen aber im Endeffekt ist nur der Reaktionsweg notwendig s.u.

4 Zeitpunkte
Bei beginnt das vordere Auto zu bremsen.
Bei beginnt das hintere Auto zu bremsen. Also
Bei steht das vordere Auto.
Bei steht auch das hintere Auto. Im Optimalfall ist der Abstand bei wir suchen den dafür notwendigen Abstand
Wir wissen weiter (unter idealen Bedingungen) dass gilt.

*arrgl* Kopfschmerz

Rückwärts betrachtet (is für mich leichter) für fährt das vordere Fahrzeug mit weg.
Jetzt beschleunigen beide () bis das erste Fahrzeug erreicht:
Dann fährt dieses mit der erreichten Geschwindigkeit weiter bis auch das zweite Fahrzeug soweit ist. Suchen wir also die Funktion, die durch geht und den Anstieg hat:

Der Abstand der beiden Autos zum Zetipunkt ist damit:

Setzen wir ein:



Das sieht auch gleich viel logischer aus, oder? Der Abstand nur Abhängig von Schläfrigkeit und Geschwindigkeit. wie war das in der Fahrschule? Halber Tacho? passt scho. allerdings berühren sich die Fahrzeuge nach einer solchen Bremsung...

Wieder in die ursprüngliche Gleichung:

Arthurs Trick:





Tja soweit war ich schon mal Augenzwinkern Bei optimalem Abstand gibt es kein praktisches Maximum.

Um diese Aufgabe lösen zu können muss eine nichtlineare Abhängigkeit des Abstandes von der Geschwindigkeit gegeben sein. Welche Abstandsbeziehung aber verwendet werden soll, ist nicht gegeben. Auch die Abstandsbeziehung "Halber Tacho" ist linear zur Geschwindigkeit...

Liebe Grüße, Jan
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