Beweis mit Kreuzprodukt

20.10.2005, 21:43	phst	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Kreuzprodukt Hallo Leute, ich muss folgende Beweise erbringen: $\begin{eqnarray} (c \times b) \cdot (a \times d) = (c \cdot a) (b \cdot d) - (c \cdot d) (b \cdot a) \\ (b \times a) \cdot (( a \times c) \times (c \times b)) = (b \cdot (a \times c))^2 \\ a \times (b \times c) + b \times (c \times a) + c \times (a \times b) = 0 \end{eqnarray}$ mit Auflösung in die Koordinaten wäre das relativ leicht, aber unelegant und langwierig. Hat vielleicht einer von euch einen besseren Tipp? Bitte keine fertigen Lösungen, ich will ja noch was lernen Danke, Philipp
21.10.2005, 06:23	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja dein Glück mit Tensoren probieren.
21.10.2005, 07:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man einmal einen Zusammenhang zwischen äußerem und innerem Produkt hat, kann man natürlich versuchen, weitere Formeln zwischen beiden Produkten herzuleiten. Der erste Schritt (z.B. die Graßmann-Identität), so jedenfalls meine Vermutung, wird aber immer eine Koordinatenrechnung sein. Aber man soll niemals nie sagen ... Die erste Identität kann als ein Zusammenhang zwischen Winkeln aufgefaßt werden. Bezeichnet man nämlich mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{c} \times \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ so gilt: $\begin{eqnarray} \sin{\alpha} \cdot \sin{\beta} \cdot \cos{\varphi} = \cos{\gamma} \cdot \cos{\delta} - \cos{\mu} \cdot \cos{\nu} \end{eqnarray}$ Hierauf kommt man, wenn man in der zu beweisenden Beziehung alle Skalarprodukte konsequent durch $\begin{eqnarray} \vec{x} \vec{y} = \left\| \vec{x} \right\| \, \left\| \vec{y} \right\| \, \cos{\psi} \end{eqnarray}$ (worin $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ der Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ ist) ersetzt sowie die Formel $\begin{eqnarray} \left\| \vec{x} \times \vec{y} \right\| = \left\| \vec{x} \right\| \, \left\| \vec{y} \right\| \, \sin{\psi} \end{eqnarray}$ verwendet. Ob man jetzt umgekehrt erst irgendwie diese Winkelbeziehung herleiten kann, um dann schließlich deine Formel zu zeigen, kann ich nicht übersehen. Ich halte das aber eher für schwierig.
21.10.2005, 14:47	phst	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten! Es sieht wohl doch so aus, dass wir die Möglichkeit mit Komponenten verwenden sollen. Das wird halt viel Schreibarbeit, aber es sollte funktionieren.

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