Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden --> FOrmelsammlung!

14.04.2008, 20:01

MatheP4Hilfe

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden --> FOrmelsammlung!

Hi!

Ich brauch eure Hilfe!
Wie berechne ich den ABstand zwischen zwei windschiefen Geraden?
In meiner Formelsammlung steht:

$\begin{eqnarray*} d=\mid (q-p)*n \mid \end{eqnarray*}$

"Dabei ist q der Ortsverktor eines festen Punktes auf der ersten Geraden und p der Ortsvektor eines festen Punktes auf der zweiten Geraden, n ist der Normaleneinheitsvektor der beiden Geraden."

Kann ich jeden x-beliebigen Punkt nehmen?

Bitte helft mir!

14.04.2008, 20:03

riwe

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RE: Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden --> FOrmelsammlung!
ja, soferne sie auf der jeweiligen geraden liegen unglücklich

14.04.2008, 20:16

MatheP4Hilfe

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Aber ich bekomme dann ein falsches Ergebnis raus. Und für den Normalenvektor gibt es doch auch verschiedene Möglichkeiten

14.04.2008, 20:38

Topfi

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Habe es wie folgt gelernt:

Ebene aufstellen, die die Richtungsvektoren beider Geraden und den Stützvektor einer der beiden Geraden beinhaltet.

Normalenvektor bilden. - > Normierten Normalenvektor (n:|n|) bilden.

Formel : d=|(q-p)n´|

n´ ist der normierte Normalenvektor.
q ist ein Punkt der Ebene
p ist ein Punkt der Gerade
d ist der Abstand

Fertig.

Liebe Grüße,

Topfi

14.04.2008, 20:59

MatheP4Hilfe

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Beim Normalenvektor bleib ich stocken:

Ich habe die beiden Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja x1. x2 und x3 finden, sodass das Skalarprodukt 0 ergibt. Ich habe ein Gleichungssytem aufgestellt und erhalten:

X1 = 0,5X3
X2 = -0,333X3
X3 kann beliebig gewählt weden

Durch das Beliebige wählen von X3 kann ich ja verschiede Ergebnisse für den Normalenvektor erhalten

Das nimmt in die Formel eingesetzt doch EInfluss auf den Abstand!
Darin liegt mein Problem ;-)

14.04.2008, 21:03

Topfi

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Du bekommst dann lediglich ein Vielfaches des Normalenvektors als Lösung heraus. Am Ende in der Formel spielt das keine Rolle, da der Normalenvektor normiert wird. Und die Länge eines normierten Vektors ist immer "1".

Liebe Grüße,

Topfi

14.04.2008, 21:03

MatheP4Hilfe

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Ich geb mal die beiden Geraden an...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -6 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

WIe würdet ihr das rechnen?

14.04.2008, 21:06

MatheP4Hilfe

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Was ist denn ein Normierter Vektor?

14.04.2008, 21:30

riwe

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dein normalen vektor ist korrekt, und ein normierter vektor hat die länge 1, d.h. du mußt seine komponenten durch seinen betrag dividieren

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_0=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_3 = 6 \end{eqnarray*}$

14.04.2008, 21:32

riwe

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Zitat:

Original von MatheP4Hilfe
Ich geb mal die beiden Geraden an...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -6 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

WIe würdet ihr das rechnen?

und da du nun (endlich) die beiden geraden verrätst:
du hast ja 2 punkte der geraden, und der normierte vektor steht in meinem letzten beitrag

14.04.2008, 21:33

Topfi

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Ein normierter Vektor ist der ein Vektor geteilt durch seine Länge.

Müsste aber auch in der Formelsammlung stehen.

Ebene Aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -6 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalenvektor bilden: (Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} x \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normierter Normalenvektor:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{n}}{\mid \vec{n} \mid } \end{eqnarray*}$

Ebenen Abstandsformel:

$\begin{eqnarray*} |[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} ] * \begin{pmatrix} \frac{-3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{-6}{7} \end{pmatrix}| = d \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann: d = |-14| = 14

Liebe Grüße,

Topfi

14.04.2008, 21:44

MatheP4Hilfe

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Klasse!!! VIELEN LIEBEN DANK EUCH ALLEN!!!! ICH HABS VERSTANDEN!!!
Schreibe DOnnerstag Mathe P4, ich hoffe, ich kanns anwenden smile

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