Normaler Endomorphismus

Neue Frage »

Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Normaler Endomorphismus
Sei Vektorraum und ein Endomorphismus von mit . Zeigen Sie:

f ist normaler Endomorphismus.
Ist ein Eigenwert von f, dann ist oder

zu :

bin selten doof Hammer . vergesst die a

zu:

Es muss gelten:







Stimmt das so?

Gruß
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



Das ist falsch. Wenn man den vorletzen Term auswertet kommt man auf . Das ist auch das Problem wenn man Terme in sich umstellt und einsetzt. Da kommt immer was der Form a = a heraus. Wenn Du a + b = 2 umstellst, kommst du auch nicht auf die Idee a = b - 2 zu setzen, dann b - 2 + b = 2 zu betrachten und die b's wieder mit b = 2 - a zu ersetzen.

Der Beweis der Normalität ist ziemlich straight forward



Linearität benutzen und dann das Du für schreiben kannst. Das hier

Zitat:


Stimmt so auch nicht. Zwar hat f* die gleichen Eigenwerte wie f, jedoch im Allgemeinen nicht die gleichen Eigenvektoren. Die Idee ist aber mehr oder minder richtig. Ich würde so ansetzen: Sei x ein Eigenvektor von f zum EW Lambda, dann ist



In unserem Fall ist also x ein Eigenvektor von f und sogar von f*. Da die Eigenwerte gleich sein müssen von f und f* muss also was gelten?

Im übrigen kannst Du fehlerhafte Sachen ruhig im Thread lassen. Das Hilft vielleicht auch anderen. Aber so macht mein obiger Quote leider überhaupt keinen Sinn mehr.
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,



So richtig?

Zu Aufgabe (b):

Wieso hat f* im Allgemeinen nicht die gleichen Eigenvektoren? Das versteh ich nicht ganz und würde mich bei einer Antwort freuen. Mit (a) ist die Normalität bewiesen und damit doch auch hermetisch bewiesen, also f=f*. Das heisst doch gerade, das die gleichen Vektoren gleich abgebildet werde.

Gruß
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit (a) ist die Normalität bewiesen und damit doch auch hermetisch bewiesen, also f=f*


Das ist falsch, es gibt Normale Endomorphismen die nicht hermitesch sind. Es ist zwar



aber doch nicht f = f*. Wenn f hermitesch wäre, wäre klar das die Eigenvektoren von f und f* gleich sind. Aber das sind sie eben nicht. Es gilt:

f hermitesch => f Normal

aber die Implikation

f Normal => f hermitesch

ist falsch

Insbesondere ist diese Aufgabe hier ein Gegenbeispiel warum es nicht klappt. Wäre f = f*, dann wäre f = f² - f oder 2f = f². Also 2f(x) = f(f(x)). Diese Gleichung ist aber nur erfüllt wenn f(x) ein Eigenvektor von f zum Eigenwert 2 ist. Das heisst ist f(x) kein Eigenvektor zu 2 (zum Beispiel ein Eigenvektor zum EW 0) so ist f = f* verletzt.

Zitat:


So richtig?
,


So hab ichs auch. Das Ganze ist offensichtlicher wenn man



schreibt, aber Deines hab ich auch aufgeschrieben Augenzwinkern .

edit :

Übrigens haben wir so auch eine Bedingung gefunden wann f = f* ist, wenn f* = f² - f gilt. Nämlich wenn f² = 2f ist, und f* = f^2 - f , dann ist f* = f.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke sehr.

Zitat:
Da die Eigenwerte gleich sein müssen von f und f* muss also was gelten?








Und daraus folgen dann die Eigenwerte.

Gruß
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Leider hat Romaxx weder den Körper von V genannt noch ausgesprochen, dass V endlichdimensional sein soll. Ich nehme mal das letztere an (obwohl es unerheblich ist), also n = dim V, und außerdem K = IC oder K = IR. Als normaler Endomorphismus ist f diagonalisierbar - und zwar mit einer unitären (bzw. symmetrischen) Abbildung mit Mit U gilt also



wobei D eine Diagonalmatrix in (bzw. ) ist. Damit zeigt man leicht D* = D² - D, und die Behauptung ist nur noch für Diagonalmatrizen nachzuweisen, was sehr einfach geht. Man beachte dabei, dass im Falle K = IC die Einträge in D (also die Eigenwerte von f) nicht reell sein müssen.


EDIT:

Zitat:
Original von Roman Föll
Okay danke sehr.

Zitat:
Da die Eigenwerte gleich sein müssen von f und f* muss also was gelten?




[...] Und daraus folgen dann die Eigenwerte.


Nein, so ist das nicht OK. Zwar weißt du jetzt, dass ein Eigenwert von f* ist, aber das muss ja nicht zwangsläufig lambda sein.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, eine Definition meines Scriptes besagt:

Sei normaler Endomorphismus von und sei ein Eigenvektor zum Eigenwert .
Dann ist ,
d.h. ist Eigenvektor von zum Eigenwert .
Insbesondere ist .

Besagt das denn jetzt nicht, das beide die gleichen Eigenwerte bzw. Eigenvektoren haben?

@WebFritzi

Ich verstehe leider nicht ganz was du meinst mit deinem Vorschlag.

Gruß
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
Hallo, eine Definition meines Scriptes besagt:

Sei normaler Endomorphismus von und sei ein Eigenvektor zum Eigenwert .
Dann ist ,
d.h. ist Eigenvektor von zum Eigenwert .
Insbesondere ist .


Also, zuerstmal ist das natürlich keine Definition, sondern ein Satz. Aber du hast recht. Aus folgt nach deiner "Definiton" einerseits und andererseits wegen



Also gilt bzw Beachte das komplex konjugierte! Das hattest du oben nicht. Die einzigen Lösungen dieser Gleichung sind dennoch 0 und 2.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »