Beweis Kreuzprodukt mit Epsilon Tensor

23.10.2005, 14:49	Neko	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Kreuzprodukt mit Epsilon Tensor Hallo, wie zeige ich am klügsten, dass $\begin{eqnarray} \nabla\times(\vec{E}\times\vec{F})=(\vec{F}\cdot\nabla)\cdot\,\vec{E}-(\vec{E}\cdot\nabla)\cdot\vec{F}+\vec{E}\nabla\cdot\vec{F}-\vec{F}\nabla\cdot\vec{E} \end{eqnarray}$ In Komponenten auflösen und einzeln ableiten würde sicher ne Seite füllen. Daher mit Epsilon Tensor: $\begin{eqnarray} \nabla\times(\vec{E}\times\vec{F})=\nabla\times(\epsilon_{imn}E_{m}F_{n})=\epsilon_{opq}\nabla_{q}\epsilon_{imnq}E_{mq}F_{nq} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Wenn ja, wie gehts dann weiter? Grüße Flo
23.10.2005, 15:00	Neko	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: Sry, Epsilon Tensor mit 4 Indizes ist natürlich quatsch. Aber wie mach ichs dann? Helft mir, ich will nich alle Komponenten aufschreiben
23.10.2005, 16:24	havoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstens: das = in deiner zweiten Formelzeile ist falsch. Zu deiner Frage: 1. Setze $\begin{eqnarray} (E \times F)=D \end{eqnarray}$ (Alles vektoriell gemeint, weiss nur net wie mans macht ) 2. Setze ein: $\begin{eqnarray} (rot(D))_k= \varepsilon_{ijk} \sum_{i=1}^3~\sum_{j=1}^3~\partial_i D_j \end{eqnarray}$ 3. Rechne aus: $\begin{eqnarray} D_j= \varepsilon_{lmj} \sum_{l=1}^3~ \sum_{m=1}^n~E_l F_m \end{eqnarray}$ 4. Einsetzen, dann mit $\begin{eqnarray} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmj}= \varepsilon_{jki} \varepsilon_{jlm} = \delta_{kl} \delta_{im} - \delta_{km} \delta_{il} \end{eqnarray*}$ die Summen auswerten, zu einem Vektor zusammenfassen und fertig.
23.10.2005, 17:37	Neko	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal, das hat mich weitergebracht. Jetzt bin ich hier: $\begin{eqnarray} \delta_{kl}(\partial_{i}E_{l})F_{i}+\delta_{im}(\partial_{i}F_{m})E_{k}-\delta_{il}(\partial_{i}E_{l})F_{k}-\delta_{km}(\partial_{i}F_{m})E_{i} \end{eqnarray}$ aber ich krieg die letzten Kroneckers nich weg. Hm...
23.10.2005, 19:02	havoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also beim Zwischenergebnis bin ich mir nicht ganz sicher, aber mit den Kroneckers kann ich dir helfen! Schau dir z.B. das zweite an: $\begin{eqnarray} \delta_{im} ... \end{eqnarray}$ Der Ausdruck ist natürlich nur von Null verschieden für i=m, d.h. du musst auf jeden Fall i=m setzen, dann bricht eine der (implizit natürlich gegebenen) Summen zusammen. Beim ersten Term differenzierst du die k-te Komponente von E nach allen 3 Indices und summierst, also die Divergenz der k-ten Komponente von E, dann schaust du dir die anderen beiden Komponenten hier noch an, und fertig. Beim dritten Term setzt du wieder i=l, eine der Summen bricht zusammen. Beim vierten Term: m=k, eine Summe bricht wieder mal zusammen. Alles in allem einfach Indices im Delta einsetzen, dann noch k von 1 bis 3 laufen lassen und fertig. Ich hoff, alles ist klar, sonst schreib ich noch mit Latex auf.
28.02.2010, 15:55	pik0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, der Thread ist zwar schon uralt, aber ich wollte der Vollständigkeit halber einen Link mitteilen: Epsilon-Tensor Beweise
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