Partielle Ableitung einer Fläche

03.04.2004, 10:02

Yelina

Partielle Ableitung einer Fläche

Die Funktion heißt:

$\begin{align*} z = f(x,y):= (2x^2) * (y-1) - y^2 + \frac{3}{4} \end{align*}$

Die partiellen Ableitungen ergeben:

nach x: $\begin{align*} f(x)=4x*(y-1) \end{align*}$

nach y: $\begin{align*} f(y)=2x^2-2y \end{align*}$

Um Extremwerte zu berechnen setze ich die Komponenten =0:

$\begin{align*} 0=4x*(y-1) \end{align*}$ und es ergibt y=1

$\begin{align*} 0=2x^2-2y \end{align*}$ und mit y=1 komme ich auf $\begin{align*} \|x\|=1 \end{align*}$

Damit komme ich auf 2 Punkte:

P1(1;1;-1/4)
P2(-1;1;-1/4)

Und wie kann ich jetzt die beiden Einzelkomponenten wieder zusammenfügen, um die 2. und 3. Ableitung bezüglich Art des Extremas (und Sattelpunkt) zu bestimmen? verwirrt

03.04.2004, 10:15

mausi201

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RE: Partielle Ableitung einer Fläche
Hey yelina lernst du auch für Analysis Prüfung am Montag bei Sauvigny???

03.04.2004, 11:03

Yelina

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RE: Partielle Ableitung einer Fläche
Ja, aber ich komme hier einfach nicht weiter - diverse Mathe-Scripte im Internet brachten mich nur zur Determinantenform der Hesse-Matrix, welche mir aber auch nicht viel Aufklärung bringt. Hilfe

03.04.2004, 15:21

Drödel

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RE: Partielle Ableitung einer Fläche
Hallo Yelina, ich versuch mal Licht ins Dunkel zu bringen - ein paar Anmerkungen zu den Schreibweisen hab ich da auch noch.

Zitat:

Original von Yelina
Die Funktion heißt:
$\begin{align*} z = f(x,y):= (2x^2) * (y-1) - y^2 + \frac{3}{4} \end{align*}$
Die partiellen Ableitungen ergeben:
nach x: $\begin{align*} f(x)=4x*(y-1) \end{align*}$
nach y: $\begin{align*} f(y)=2x^2-2y \end{align*}$

Nicht so

. partielle Ableitungen bilden ist schon ok. Das ist der erste Schritt, aber schreibt ihr dann wirklich f(x) bzw f(y) dafür? Wie notierst du dann die zweimalige partielle Ableitung nach x oder y?
Ich würde folgendes vorschlagen: Entweder $\begin{align*} \frac{\delta}{\delta x}f(x,y) \end{align*}$ für die erste partielle Ableitung dach x (für y entsprechend) oder aber $\begin{align*} f_x(x,y) \end{align*}$ (ist in vielen Büchern als erste partielle Ableitung nach x definiert - sollte man dann aber einmal "dazusagen")

Zitat:

Um Extremwerte zu berechnen setze ich die Komponenten =0:
$\begin{align*} 0=4x*(y-1) \end{align*}$ und es ergibt y=1
$\begin{align*} 0=2x^2-2y \end{align*}$ und mit y=1 komme ich auf $\begin{align*} \|x\|=1 \end{align*}$

bei der ersten Gleichung hast du noch übersehen, dass x=0 auch eine mögliche Nullstelle der ersten partiellen Ableitung nach x ist. Diese Nullstelle führt auf y=0. D.h. du hast insgesamt 3 "kritische Punkte", die für eine Extremstelle in Frage kommen.

Zitat:

Damit komme ich auf 2 Punkte:
P1(1;1;-1/4)
P2(-1;1;-1/4)
Und wie kann ich jetzt die beiden Einzelkomponenten wieder zusammenfügen, um die 2. und 3. Ableitung bezüglich Art des Extremas (und Sattelpunkt) zu bestimmen? verwirrt

Was willst du da zusammensetzen? Berechne einfach die zweiten partiellen Ableitungen $\begin{align*} \frac{\delta^2}{\delta x^2}f(x,y) \qquad \frac{\delta^2}{\delta y^2}f(x,y) \qquad\frac{\delta^2}{\delta x \delta y }f(x,y) \qquad\frac{\delta^2}{\delta y \delta x}f(x,y) \qquad \end{align*}$ . Wobei $\begin{align*} \frac{\delta^2}{\delta x \delta y}f(x,y) = \frac{\delta^2}{\delta y \delta x}f(x,y) \end{align*}$ , falls f(x,y) zweimal stetig partiell differenzierbar ist (Satz von Schwarz)

Um jetzt nachzuweisen, dass einer der Punkte ein Extremwert ist und um zu entscheiden, ob Maximum oder Minimum berechnet man die Determinante der zweiten partiellen Ableitungen (ich schreibs mal mit der kürzeren Indexschreibweise der partiellen Ableitungen)

$\begin{align*} D:=\|\array{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)}\| = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - f_{yx}(x,y) \cdot f_{xy}(x,y) \end{align*}$

Ist der Wert der Determinante kleiner 0, so hat die Funktion f(x,y) in diesem Punkt keinen Extremwert. Ist die Determinante größer Null, so hat die Funktion f(x,y) in (xo,yo) ein Maximum, falls $\begin{align*} f_{xx}(x_o,y_o) <0 \end{align*}$ , ein Minimum, falls $\begin{align*} f_{xx}(x_o,y_o) >0 \end{align*}$

Reicht das schon?

Happy Mathing

03.04.2004, 17:30

Polynom

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Also ich hab da 4 Punkte raus.
Aus fx: x1=0, y1=1
Aus fy: x2=1, y2=0

Daraus ergeben sich dann 4 Punkte:
P1(0,1)
P2(0,0)
P3(1,0)
P4(1,1)

Diese dann einfach in die Hesse einsetzen und Extrema bzw Sattelpunkte ableiten, nach Vorschrift.

03.04.2004, 17:38

Yelina

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Ah ja, ein wenig dämmert es Tanzen

Wenn ich die Determinantenschreibweise richtig interpretiere, ist also
$\begin{align*} f \end{align*}$ xx $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ die Ableitung nach x von der Ableitung nach x,
$\begin{align*} f \end{align*}$ yy $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ die Ableitung nach y von der Ableitung nach y,
$\begin{align*} f \end{align*}$ yx $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ die Ableitung nach y von der Ableitung nach x,
$\begin{align*} f \end{align*}$ xy $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ die Ableitung nach x von der Ableitung nach y ? verwirrt

03.04.2004, 20:01

Polynom

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Bevor ichs vergesse. Schreibe Montag auch die Mathe Prüfung. Augenzwinkern

03.04.2004, 23:39

Drödel

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Zitat:

Original von Polynom
Also ich hab da 4 Punkte raus.
Aus fx: x1=0, y1=1
Aus fy: x2=1, y2=0
Daraus ergeben sich dann 4 Punkte:
P1(0,1)
P2(0,0)
P3(1,0)
P4(1,1)

VORSICHT! Damit beim Punkt P(xo / yo) ein Extremwert vorliegt müssen alle partiellen ersten Ableitungen Null sein!

$\begin{align*} f_x = 4x(y-1) \end{align*}$
$\begin{align*} f_y = 2x^2-2y \end{align*}$

Aus der partiellen Ableitung nach x kann man folgern, dass entweder x= 0 oder y=1 sein MUSS. Damit fällt dein Punkt P3 schon mal "flach", denn da ist weder x=0 NOCH y=1. Alle anderen Punkte sind prinzipiell noch möglich, ABER:
Es muss ja auch noch die erste partielle Ableitung nach y gleich Null ergeben, d.h. x^2=y muss ebenfalls erfüllt sein.

1) Falls x=0 , dann geht das nur wenn auch y= 0 ---> P1(0 / 0)
2) Falls y=1 , dann kann x=1 oder x=-1 und damit --> P2(1 / 1) , P3(-1 / 1)

Mehr geht nicht! Wie du auf P1(1/0) kommst ist mir ebenfalls rätselhaft. verwirrt

@Yelina Jepp du hast recht $\begin{align*} f_{xx} \end{align*}$ meint die zweifache partielle Ableitung nach x, d.h. erst einmal partiell nach x ableiten und die daraus errechnete Funktion nochmal partiell nach x ableiten. Bei den anderen Bezeichnungen entsprechend.

Happy Mathing

04.04.2004, 10:48

Yelina

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Danke für die Hilfe smile

04.04.2004, 19:03

Polynom

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Ah ein Licht am Horizont. Nu hab ichs verstanden. Thx :]

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