Entwicklung einer Übergangsmatrix

15.04.2008, 14:10

Lara.22

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Entwicklung einer Übergangsmatrix

Hallo, hallo...

Ich hab heut auch Mathe geschrieben... Lief auch eigentlich alles soweit ganz gut, bis ich zu meiner letzten Aufgabe mit Übergannsmatrizen kam.
Dort stellte sich dann die Frage: Wie sieht die langfristige Entwicklung für folgende Matrik mit einer Anfangsverteilung von V(1000|0|0) aus?
Mit:
(0) (10) (5)
(0,1) (0) (0) = Ü
(0) (0,4) (0)

Hab alles versucht... stabile Grenzverteilung gibts nicht... Eigenwerte berechnet...

Kann mir da jemand weiter helfen?

(Im Endeffekt hab ich einfach die Verteilungen für 10, 20 und 30 Wochen hingeschrieben und gesagt, das die Entwicklung gegen Unendlich läuft)

15.04.2008, 15:18

Lara.22

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das ist zwar keine stochastische matrix, aber egal

15.04.2008, 15:53

Dorika

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hab auch einfach mit dem taschenrechner rumexperimentiert uns gesagt, dass sich die poulation exponentiell vervielfacht. Keine ahnung, ob das reicht.
bei A^250 wollte mein taschenrechner dann nicht mehr smile

smile

15.04.2008, 16:02

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Zitat:

Original von Lara.22
das ist zwar keine stochastische matrix

Richtige Feststellung. Damit erübrigen sich weitere Rechnungen bis geklärt ist, was das soll mit der "Ü-Matrix".

15.04.2008, 17:33

Lara.22

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@ Dorika:
Jaaa... das hab ich so ungefähr auch gemacht^^. Aber ich mein 11 Punkte von 150 für Sachen in den Taschenrechner eingeben? Es gab ja auch Kurse die keinen graphikfähigen/Matrizenrechnenden Taschenrechner hatten.. was sollten die dann machen?

@ Arthur Dent
Nicht jede Übergangsmatrix ist eine stochasitische Matrix... Oder reden wir gerade aneinander vorbei (-; ?
Die Aufgabe fiel jedenfalls unter diese Kategorie...

15.04.2008, 18:03

AD

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Zitat:

Original von Lara.22
Nicht jede Übergangsmatrix ist eine stochasitische Matrix.

Das sehe ich anders, und nicht nur ich.

Du kannst mir aber gern den inhaltlichen Sinn einer Ü-Matrix erklären, die keine stochastische Matrix ist - d.h.: Was bitte bedeutet hier "Übergang" ?

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15.04.2008, 18:18

Lara.22

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Das NRW-Bildungsministerium sieht das anders^^ und ob Wikipedia so die vertrauenwürdige Quelle ist...
War die Entwicklung einer Insektenpopulation... Unter dem Thema: Übergangsmatrizen...
Die Koeffizienten stehen für den Anteil der Überleben Viecher und die Anzahl der Eier die sie legen können...
Kann ja auch nix dafür, dass das in diesen Umgang so gebraucht wird, auch wenns falsch sein mag
Aber vllt kann sich man ja das Thema erstmal kurz anschaun bevor man es verschiebt...

Aber mal so ganz nebenbei: Hast auch vllt Ahnung was man da rechen musste?

15.04.2008, 19:51

AD

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Zitat:

Original von Lara.22
Das NRW-Bildungsministerium sieht das anders

Das ist natürlich eine absolut vertrauenswürdige Institution in Sachen Mathematik. ROFL

ROFL

Also mal ernsthaft: Die obige Matrix ist keine Ü-Matrix. Und wenn da gar Werte größer als 1 (wie die 5 oder die 10) drinstehen, dann hat das nichts aber auch gar nichts mit Anteilen zu tun. Da bin ich mir 500% oder gar 1000%-ig sicher. Big Laugh

Big Laugh

Meine Vermutung: Du hast die Aufgabe einfach falsch wiedergegeben, zumindest die Zahlenwerte.

15.04.2008, 20:06

Lara.22

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Die Matrix stimmt hundertpro.... Stand genauso (abgesehen davon das sie mit einem Formeleditor geschrieben wurde) in der Aufgabe.
Und sowohl Entwicklungs- als auch Austauschprozesse können durch eine Übergangsmatrix beschrieben werden, grad nochmal nachgeguckt (-:
Ersteres ist hier der Fall.
Aber die Diskussion wer jetzt Recht hat oder nicht Hilft auch nicht bei der Lösung der Aufgabe...
Ein liebenswürdiger Mathestudent erklärte mir grad iwas von konvergieren oder so...
Bringt mich aber auch nciht wirklich weiter einen rechnerischen Weg für die Lösung der Aufgabe zu finden.

15.04.2008, 20:19

Dual Space

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Zitat:

Original von Lara.22
Aber vllt kann sich man ja das Thema erstmal kurz anschaun bevor man es verschiebt...

Ich hab das Thema verschoben ... aus genau den Gründen die Arthur Dent ins Feld geführt hat.

Mir ist der Begriff einer Übergangsmatrix nur aus der Stochastik bekannt. Aber ich lasse mich gern eines Besseren belehren. Nur müsstest du dafür endlich mal erklären welchen Übergang diese Matrix beschreibt, also was der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte für eine Bedeutung hat. Offenbar kannst du das aber nicht. Also würde ich an deiner Stelle erstmal drüber nachdenken, warum dein Beitrag in einem Forum für Mathematik verschoben wurde - du hingegen riskierst gleich eine große Lippe und diskreditierst grundlos Wikipedia.

15.04.2008, 20:24

AD

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Ok, nachdem im anderen Thread geklärt ist, dass das keine reine Ü-Matrix ist, sondern dass diese Matrix (ohne Ü Augenzwinkern

Augenzwinkern

) die Entwicklung der Population beschreibt:

Eine stabile Grenzverteilung kann es nur geben, wenn der betragsgrößte Eigenwert gleich Eins ist. Im vorliegenden Fall ist der größer als Eins.

15.04.2008, 20:25

Lara.22

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V(1) sind Eier
V(2) sind junge Insekten
V(3) sind alte Insekten
Die Koeffizienten sind, wie eben gesagt, der Anteil der Überlebenden Viecher bzw die Anzahl der Eier die sie legen....

15.04.2008, 20:28

Lara.22

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Das es keine stabile Grenzverteilung gibt ist mir schon klar, aber hilft nicht bei der Lösung der Aufgabe oder? *schnüff*

15.04.2008, 20:29

Lara.22

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Ich hatte auch iwie das Gefühl, dass die Verteilung in einem bestimmten Verhältnis wächst, aber ich konnte nicht berechnen in welchem.

15.04.2008, 20:35

AD

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Die Population wächst unbegrenzt. Mit welchem Nachweis dafür man sich in der Schulmathematik zufrieden gibt, das wäre noch zu klären.

15.04.2008, 21:25

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ok, nachdem im anderen Thread geklärt ist, dass das keine reine Ü-Matrix ist, ...

Darf man fragen in welchem?

*verschoben*

15.04.2008, 21:25

AD

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15.04.2008, 21:34

Dual Space

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Danke.

smile

15.04.2008, 21:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Eine stabile Grenzverteilung kann es nur geben, wenn der betragsgrößte Eigenwert gleich Eins ist.

Naja, es können ja auch alle kleiner als 1 sein. Dann geht halt alles gegen Null, und das ist auch stabil, oder? Oder würde man das dann nicht mehr so nennen?

Ich habe mir mal die Eigenwerte und -Vektoren angeschaut. Im Span der Eigenvektoren bzgl. der beiden Eigenwerte, die vom Betrag her < 1 sind, liegt kein Vektor, in dem alle Einträge positiv sind. Von daher geht für jede realistische Anfangs"verteilung" die n-te "Verteilung" gegen +Unendlich. Alle Einträge explodieren exponentiell.

15.04.2008, 22:33

Hans20

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Hmm Arthur Dent

Was kann man denn jetzt zur langfristigen Entwicklung sagen bzw. wie wärest du vorgegangen wenn dir so eine aufgabe begegnet wäre..

ich hab geschrieben, man kann keine genaue langfristige entwicklung angeben, da diese matrix keine grenzmatrix hat...

aber das hört sich so blöd an

danke

15.04.2008, 23:16

Lara.22

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[/quote]
Ich habe mir mal die Eigenwerte und -Vektoren angeschaut. Im Span der Eigenvektoren bzgl. der beiden Eigenwerte, die vom Betrag her < 1 sind, liegt kein Vektor, in dem alle Einträge positiv sind. Von daher geht für jede realistische Anfangs"verteilung" die n-te "Verteilung" gegen +Unendlich. Alle Einträge explodieren exponentiell.[/quote]

Versteh ich nicht so ganz. Ich mein: Klar, zwei der Eigenwerte sind negativ, einer positiv und liegt nach meiner Rechnung iwie bei 1,03 oder so (-x^3+x+0,2=0 für die Determinante), aber wie kann man darauf auf eine exponentielles Wachstum schließen? Und wie sich die Funktion entwickelt (jetzt nnicht vereinfacht auf "läuft gegen unendlich" sondern "läuft in folgenden Verhältnissen gegen uneendlich")

15.04.2008, 23:24

chrizke

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Ich hab, wie schon im OT-Thread geschrieben das per Brute-Force gemacht.

Einfach mehrere Wochen ausgerechnet und dann meine Beobachtung geschildert.
Aber keine Ahnung was die da erwartet haben.

15.04.2008, 23:25

Musti

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Wie ich sehe, bin ich nicht der einzige gewesen der Probleme mit dieser Aufgabe hatte.

Naja vielleicht ein wenig seltsam, aber ich hab einfach mal die Population für die ersten ca. 8 Wochen berechnet und hab dann halt so die wesentlichen Unterschiede beschrieben.
Ich fand es besser als nichts zu machen, aber ich kann mir nicht vorstellen dass es dafür Punkte gibt.

15.04.2008, 23:35

chrizke

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Doch ich rechne damit, dafür noch Punkte zu bekommen, da der Lehrer ja die Möglcihkeit hat, vom vorgeschriebenen Lösungsweg selbstverständlich abweichende Wege zu bepunkten und mmn zeigt das schon recht gut, worauf es hinauslaufen soll.

16.04.2008, 02:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lara.22

Zitat:

Ich habe mir mal die Eigenwerte und -Vektoren angeschaut. Im Span der Eigenvektoren bzgl. der beiden Eigenwerte, die vom Betrag her < 1 sind, liegt kein Vektor, in dem alle Einträge positiv sind. Von daher geht für jede realistische Anfangs"verteilung" die n-te "Verteilung" gegen +Unendlich. Alle Einträge explodieren exponentiell.

Versteh ich nicht so ganz. Ich mein: Klar, zwei der Eigenwerte sind negativ, einer positiv und liegt nach meiner Rechnung iwie bei 1,03 oder so (-x^3+x+0,2=0 für die Determinante), aber wie kann man darauf auf eine exponentielles Wachstum schließen? Und wie sich die Funktion entwickelt (jetzt nnicht vereinfacht auf "läuft gegen unendlich" sondern "läuft in folgenden Verhältnissen gegen uneendlich")

Sei $\begin{eqnarray*} x = (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ eine Anfangskonstellation. Natürlich sind alle $\begin{eqnarray*} x_j \ge 0. \end{eqnarray*}$ Wir haben 3 verschiedene Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3. \end{eqnarray*}$ Zu jedem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_j \end{eqnarray*}$ gibt es einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_j. \end{eqnarray*}$ Da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, bildet $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3. \end{eqnarray*}$ Das heißt, dass es reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} \mu_1,\mu_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_3 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} x = \mu_1 v_1 + \mu_2v_2 + \mu_3v_3. \end{eqnarray*}$

Die n-te Konstellation ist

$\begin{eqnarray*} A^nx = A^n(\mu_1 v_1 + \mu_2v_2 + \mu_3v_3) = \mu_1 A^nv_1 + \mu_2 A^nv_2 + \mu_3 A^nv_3. \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} Av_j = \lambda_jv_j \end{eqnarray*}$ gilt, haben wir

$\begin{eqnarray*} A^nx = \mu_1\lambda_1^nv_1 + \mu_2\lambda_2^nv_2 + \mu_3\lambda_3^nv_3. \end{eqnarray*}$

Sei mal $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ der Eigenwert mit Betrag größer als 1. Wenn $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ jetzt Null wäre, dann hätten wir

$\begin{eqnarray*} A^nx = \mu_2\lambda_2^nv_2 + \mu_3\lambda_3^nv_3, \end{eqnarray*}$

und das geht gegen Null für $\begin{eqnarray*} n\to\infty. \end{eqnarray*}$ Aber $\begin{eqnarray*} \mu_1 = 0 \end{eqnarray*}$ kann nicht sein, denn dann wäre ja (s.o.)

$\begin{eqnarray*} x = \mu_2v_2 + \mu_3v_3\in{\rm span}\{v_1,v_2\}. \end{eqnarray*}$

Aber da es (siehe mein zitierter Text) keinen Vektor aus diesem Span gibt, welcher nur nichtnegative Einträge hat und nicht der Nullvektor ist, kann das nicht sein. Für große n ist also

$\begin{eqnarray*} A^nx \approx \mu_1\lambda_1^nv_1, \end{eqnarray*}$

denn der Rest geht ja gegen Null. Nun sorgt das $\begin{eqnarray*} \lambda_1^n \end{eqnarray*}$ dafür, dass die Einträge von $\begin{eqnarray*} A^nx \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ exponentiell wachsen. $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , da die Einträge in $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ alle positiv sind ( $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ ist positiv, da sonst die Einträge in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ alle negativ wären).

16.04.2008, 13:58

Lara.22

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Wow....
Vielen Dank! Genial^^
Tja jetzt müsste einem nur noch so was in der Klausur einfallen. Nur wir haben im Unterricht leider nie die konkrete Bedeutung von Eigenvektoren (abgesehen für 1) gemacht )-:
Vielen Dank für die Hilfe

16.04.2008, 14:29

Musti

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Ja aber ich kann mir nicht vorstellen, dass wir die Aufgabe so bearbeiten sollten.
Erstens konnte man die Eigenwerte nicht erraten und ohne es erraten zu können, können wir die Nullstellen von Gleichungen dritten Grades mit dem Wissensstand den wir mitbringen müssen, nicht bestimmen.

Desweiteren haben wir die Bedeutung von Eigenwerten auch noch nie so explizit besprochen, aber WebFritzi Danke für diese nette Veranschaulichung.

16.04.2008, 14:43

Lara.22

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Hmm.. also wir mit dem dicken Taschenrechner konnten die einfach berechnen lassen.. Außerdem lassen die sich auch aus dem Newtomverfahren für die anderen Taschenrechner berechnen ohne allzu großen Aufwand...
Aber ich kanns mir iwie auch schwer vorstellen... Aber ich mag die Erklärung...

16.04.2008, 14:50

Musti

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Ja nicht alle haben das Privileg, dass ein Taschenrechner für jemanden die Nullstellen berechnet.
Da wir das Newton Verfahren nicht gelernt haben, dürfte man das auch von uns nicht erwarten.
Wenn es allerdings doch so ist, dann sollte man mal mit dem Direktor sprechen und ihn drauf aufmerksam machen, dass der Lehrer der uns Mathe unterrichtet hat einiges vergessen hat.

17.04.2008, 11:20

AD

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Eine andere Möglichkeit zum Nachweis des unbeschränkten Wachstums, die ohne Eigenwerte (werden die in der Schule überhaupt schon behandelt?) auskommt:

Man berechnet eine geeignete Potenz $\begin{eqnarray*} A^m \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} (A^m)_{11} > 1 \end{eqnarray*}$ , das ist z.B. erstmals für $\begin{eqnarray*} m=6 \end{eqnarray*}$ der Fall mit $\begin{eqnarray*} (A^6)_{11} = 1.04 \end{eqnarray*}$ .

Dann hat man schon mal nachgewiesen, dass für $\begin{eqnarray*} x_n = A^n x_0 \end{eqnarray*}$ die erste Komponente grob gemäß $\begin{eqnarray*} x_{6n,1} \geq x_{0,1}\cdot 1.04^n = 10\,000\cdot 1.04^n \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden kann. D.h., für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ wächst das unbeschränkt.

Für die "Zwischenindizes" sowie die anderen zwei Komponenten sind noch ein paar Zusatzüberlegungen anzustellen, um auch deren unbeschränktes Wachstum nachzuweisen.

------------------------------

Ob dieser Weg nun günstiger ist - immerhin muss $\begin{eqnarray*} A^6 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet werden - sei mal dahingestellt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.04.2008, 23:52

Lara.22

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Versteh ich nicht wirklich...
Erstmal, warum wählst du A(11) für deine Untersuchung? Für die erste Komponente (v(1)) gelten doch alle 3 Koeffizienten der ersten Zeile. Und wie schließt du von da auf die Ungleichung? Für die dritte Komponente (v(3)) sind bei der Matrik^6 alle drei Koeffizienten kleiner Null, aber von da kann man ja auch nicht schließen, dass die gegen Null laufen.. *verwirrt sei*
Und ja man bespricht Eigenvektore, aber eher im Bezug auf Abbildungsmatrizen.

18.04.2008, 07:51

AD

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Zitat:

Original von Lara.22
Erstmal, warum wählst du A(11) für deine Untersuchung?

Weil das eben schnell klappt! Ein vergleichbarer Weg bei der zweiten oder dritten Komponente klappt erst für höhere Matrixpotenzen als $\begin{eqnarray*} A^6 \end{eqnarray*}$ bzw. braucht zusätzliche Begründungen, weil die zugehörigen Anfangsvektorkomponenten gleich Null sind.

Zitat:

Original von Lara.22
Für die erste Komponente (v(1)) gelten doch alle 3 Koeffizienten der ersten Zeile. Und wie schließt du von da auf die Ungleichung?

Alle Koeffizienten der Matrix, und folglich auch alle Koeffizienten der Matrixpotenzen, sind nichtnegativ. Also kann man diese Abschätzung (das ist ja eben keine Gleichung, sondern eine Ungleichung!) vornehmen.

Zitat:

Original von Lara.22
Für die dritte Komponente (v(3)) sind bei der Matrik^6 alle drei Koeffizienten kleiner Null, aber von da kann man ja auch nicht schließen, dass die gegen Null laufen..

Hab ich ja auch gar nicht behauptet - leg mir keine falschen Folgerungen in den Mund! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Da derartige Potenzabschätzungen nur Abschätzungen nach unten sind, taugen sie nichts für Konvergenzbetrachtungen gegen Null!!! Ich hab folgendes gesagt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Für die "Zwischenindizes" sowie die anderen zwei Komponenten sind noch ein paar Zusatzüberlegungen anzustellen, um auch deren unbeschränktes Wachstum nachzuweisen.

Zitat:

Original von Lara.22
Und ja man bespricht Eigenvektore, aber eher im Bezug auf Abbildungsmatrizen.

Na dann vergiss doch einfach meinen Beitrag, wenn er dir nicht gefällt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2008, 19:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann hat man schon mal nachgewiesen, dass für $\begin{eqnarray*} x_n = A^n x_0 \end{eqnarray*}$ die erste Komponente grob gemäß $\begin{eqnarray*} x_{6n,1} \geq x_{0,1}\cdot 1.04^n = 10\,000\cdot 1.04^n \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden kann. D.h., für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ wächst das unbeschränkt.

Wieso ist denn $\begin{eqnarray*} x_{0,1} = 10\,000\,? \end{eqnarray*}$

Schöne Erklärung! Freude

Freude

19.04.2008, 19:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lara.22
Wie sieht die langfristige Entwicklung für folgende Matrik mit einer Anfangsverteilung von V(1000|0|0) aus?

Autsch, das hatte ich gar nicht gesehen. Oh man, und ich quatsch da was von zulässigen Anfangsvektoren... Forum Kloppe

Forum Kloppe

21.04.2008, 09:43

AD

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Ähem, ich sollte wohl doch zum Optiker gehen, hab mich bei den Nullen verzählt. Hammer

Hammer

Also überall, wo ich $\begin{eqnarray*} 10\,000 \end{eqnarray*}$ geschrieben habe, muss natürlich $\begin{eqnarray*} 1\,000 \end{eqnarray*}$ stehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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