Beweis mittels vollständiger Induktion

26.10.2005, 14:51

brunsi

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Beweis mittels vollständiger Induktion

Hi, ich muss mal etwas mit Vollständiger Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

So dann gilt doch für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~1^2+2^2+...+n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

So dann möchte ich diese Aussage für n beweisen.

Dazu ist meine Induktionsvoraussetzung:

$\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang für n=1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~1=\frac{2^2}{4}=1 \end{eqnarray*}$

Damit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=(\sum_{k=1}^n~k^2)+(n+1) \end{eqnarray*}$

Ersetzen ist dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Hauptnenner Bilden:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

so ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\frac{n^4+2n^3+n^2+4n+4+1}{4} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? muss ich jetzt noch irgendetwas machen?

edit: hab da noch mal etwas verbessert und nun?

26.10.2005, 14:59

Poldi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion

Zitat:

Original von brunsi
muss ich jetzt noch irgendetwas machen?

Naja, den Term auf der rechten Seite solltest Du vielleicht schon noch so umformen, dass er sichtbar gleich dem ursprünglichen Rechtsterm (da aber natürlich n +1 statt n eingesetzt) - ist.

Gruß Poldi

Edit: Ich hab gerade nochmal genau hingesehen: Es wird Dir nicht gelingen, denn die Formel stimmt nicht! Für n = 4 z.B. gibt die linke Seite 30 und die rechte 100

26.10.2005, 15:06

brunsi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
du meinst also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\frac{n^2(n^2+2n+1)+4(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\frac{n^2((n+1)^2)+4(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

26.10.2005, 15:07

Poldi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
Nee, siehe mein Edit in obiger Antwort!

26.10.2005, 15:09

brunsi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
wo liegt denn genau mein fehler?

26.10.2005, 15:10

riwe

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion

Zitat:

Original von brunsi
Hi, ich muss mal etwas mit Vollständiger Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? muss ich jetzt noch irgendetwas machen?

da fehlt auf jeden fall ein quadrat!

ich wage allerdings zu bezweifeln, dass diese formel stimmt, ich kenne
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k ^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} <>\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
(zumindest für n > 1)
aber wer weiß
werner

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26.10.2005, 15:14

brunsi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
wo fehlt ein quadrat? ist mir unverständlich. hab das doch anch schema f gemacht wie im WOrkshop.

aber diese Darstellung gibt es tatsächlich.

26.10.2005, 15:20

riwe

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
das glied (k + 1) muß dem schema entsprechend heißen:
$\begin{eqnarray*} ....+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
aber überprüfe einmal deine formel für k = 3, 4 ..., da stimmt sie sowieso nicht, also kannst du nicht den induktionsanfang mit n = 1 wählen.
was ich von der formel halte siehe oben
werner

26.10.2005, 15:23

Poldi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
Das Quadrat fehlt am Summand (n + 1), aber die ganze Mühe macht keinen Sinn und der Fehler ist auch nicht bei Dir. Eine Formel zu beweisen, die nicht stimmt, geht nunmal nicht. Schau mal nach, ob Du vielleicht beim Abschreiben der Formel irgendwo einen Fehler gemacht hast!? Wenn nicht kannst Du die Formel nicht beweisen sondern nur wiederlegen und da reicht ein Gegenbeispiel und das bekommst Du mit jedem n > 1 !!

Edit: da war jemand schneller als ich ...

26.10.2005, 15:26

n!

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Werner hat recht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \end{eqnarray*}$

Alles andere ist falsch

26.10.2005, 15:28

brunsi

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RE: Beweis mittels vollständiger Induktion
ok, dann muss ich das noch einmal machen, hab mcih da vertan, da ist anstatt des k^2 ein k^3 drin, die schrift war zu klein, konnt eich nur in etwa erraten.

26.10.2005, 15:30

n!

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@brunsi

Wenn da steht,dass der Ausdruck für alle natürlichen Zahlen gilt,dann reicht ein Wert bereits aus

26.10.2005, 15:38

brunsi

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könntet ihr mir das bitte mal richtig aufschreiben, damit ichs durchblicke, was ihr nun genau von mir wollt!! verwirrt

verwirrt

26.10.2005, 15:40

riwe

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Zitat:

Original von n!
Werner hat recht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2= \frac{(n+1)(n+2)}{6} \end{eqnarray*}$

Alles andere ist falsch

ich will ja nicht lästig sein, aber die 2. formel ist (auch) falsch, da hast du dich vertippt.
richtig ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k ^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

werner

26.10.2005, 15:45

brunsi

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werner, diese formel kann ich aber ausschließen, da sie überhaupt nicht auf meinem blatt drauf ist. ich hatte mich wirklich nur in dem exponenten vertan.

26.10.2005, 15:45

n!

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Werner,hast natürlich recht.Mit lästig hat das nichts zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2005, 15:49

brunsi

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nein werner, diese formel, dei du da aufgeschrieben hast, steht bei mir nicht drin. ich muss meine formel also widerlegen??!

26.10.2005, 15:51

n!

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ja und das machst du je nach dem,was in der Aufgabe steht.Soll die vermeintliche Formel für alle n gelten? dann reicht EIN Gegenbeispiel

26.10.2005, 15:52

brunsi

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da steht nur : Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion.

edit:dann müsste also theoretisch hierdurch

also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k}^n~k^3=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$ das bewiesen sein oder?

26.10.2005, 16:14

riwe

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Zitat:

Original von brunsi
nein werner, diese formel, dei du da aufgeschrieben hast, steht bei mir nicht drin. ich muss meine formel also widerlegen??!

hallo brunsi,
kannst doch diese richtige formel durch VI beweisen!

deine ist falsch, und wie schon n! gesagt hat, zeige dass für EIN n, z.b. für n = 3 die formel nicht gilt!

bei deinem induktionsschluß - so er richtig wäre - sollte bei n + 1 an ende stehen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^{2} =\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
das ist aber nicht zu schaffen, da falsch!
aber vielleicht hast du einen tippfehler, deine formel gilt ja - siehe n! - für $\begin{eqnarray*} k^{3} \end{eqnarray*}$ , beweise sie hierfür!
(ich denke, dann hast du auch nr. 1 widerlegt, da $\begin{eqnarray*} k^{2}<k^{3}\;\forall\; k>1 \end{eqnarray*}$ )
aber wer weiß das schon
werner

wieso bist du eigentlich unglücklich verliebt? sofort ändern, dann erst wieder VI üben!

26.10.2005, 16:34

brunsi

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also ich habe :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

So meine Aussage soll für $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ gelten:

Induktionsanfang ist n=1 (könnte es acuh das Element 0 sein verwirrt

verwirrt

?)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3=1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3=1=1 \end{eqnarray*}$

Nun soll gelten (Induktionsannahme), dass n--->n+1 folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^3=(\sum_{k=1}^n~k^3)+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k =\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Hauptnenner bilden udn vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k =\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich da dann jetzt n=2 einsetze, haut es wieder icht hin, habe ich es damit dann gezeigt?

26.10.2005, 17:48

riwe

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da ist dein (alter) hund begraben! du mußt ja jetzt k^3 einsetzen!
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k ^{3}=\sum_{k=1}^n~k^{3}+(n+1)^{3} \end{eqnarray*}$
jetzt für die summe gemäß induktionsvoraussetzung einsetzen, auf gemeinsamen nenner bringen und fertig ist der spaß
gibt eben
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k ^{3}=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$

werner

27.10.2005, 07:46

Poldi

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Zitat:

Original von brunsi
könntet ihr mir das bitte mal richtig aufschreiben, damit ichs durchblicke, was ihr nun genau von mir wollt!! verwirrt

verwirrt

1. Dass Du Deine Aufgabenstellung nochmal überprüft, um auszuschließen, dass Du nicht einfach nur einen Abschreibfehler gemacht hast.

2. Dass Du in der Aufgabenstellung nachschaust, ob die Formel für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gezeigt werden soll.

3. Dass Du - sofern 2. zu bejahen ist - EIN Gegenbeispiel notierst und drunter schreibst, dass die Formel damit widerlegt ist.

4. Dass Du Dich dann der nächsten Aufgabe widmest - nach Möglichkeit eine, an der du die vollst. Induktion besser üben kannst als an dieser.

Gruß
Poldi

Edit: Tippfehler beseitigt
Edit 2: Huch - ich hatte gar nicht alle posts gelesen und habe erst jetzt gesehen, dass Ihr schon längst über diese Stelle raus seid ... Sorry!

27.10.2005, 08:37

brunsi

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jup macht das doch bitte mal ordentlich, ich bin wohl gerade nicht in der verfassung klar zu denken. bis später

27.10.2005, 08:53

riwe

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@hallo brunsi,
es sei an dieser stelle erlaubt, ich mache es zusammenfassend einmal vor:
aufgabe1:
$\begin{eqnarray*} \forall n\geq 1 \;\sum_{k=1}^n~k ^{2}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
EIN gegenbeispiel für n = 2:
$\begin{eqnarray*} 1+4=5<>\frac{4\cdot9}{4} =9 \end{eqnarray*}$
=> behauptung ist falsch
aufgabe 2:
$\begin{eqnarray*} \forall n\geq 1 \;\sum_{k=1}^n~k ^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
behauptung ist für n = 1 richtig und gelte für n = m, zu zeigen ist die richtigkeit für n = m + 1
(jetzt wieder mit n statt m)
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k ^{3}=\sum_{k=1}^{n}~k ^{3}+(n+1)^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} +(n+1)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4) =\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
womit alle glücklich sind
werner

27.10.2005, 09:09

brunsi

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danke dir werner. habe das gestern auch verstanden, bin momentan ein wenig durch den wind.

wieso muss ich denn eigentlich einmal das element m wählen?

27.10.2005, 09:25

riwe

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das ist ganz egal, ob du das n, m oder sonst wie nennst, tut mir leid, wenn ich da verwirrung angerichtet habe, soll nur heissen: für ein BESTIMMTES beliebiges n > 1.
werner

27.10.2005, 18:13

Mathespezialschüler

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